高中数学苏教版2推理与证明2．2直接证明与间接证明苏教版选修综合法（40张）

主题：综合法【自主认知】1.观察不等式证明，思考此证明过程是从什么入手证明结论成立的？在锐角三角形ABC中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【证明】因为△ABC为锐角三角形，所以A+B>

所以A>-B，因为y=sinx在上是增函数，所以sinA>sin=cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.提示：是利用函数y=sinx在上是增函数这一性质入手证明结论成立的.2.问题1中的证明过程是否为“顺推法”？提示：证明过程是以已知入手，借助不等式的性质和三角函数的单调性得出结论的.➡根据以上探究过程，试着写出综合法的定义及证明流程：1.综合法的定义一般地，利用_________和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_________，最后推导出所要证明的_____成立，这种证明方法叫做综合法.已知条件推理论证结论2.综合法的流程其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的_____，Q1，Q2，…，Qn表示中间结论.结论【合作探究】1.综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.2.综合法逻辑推理的依据是什么？提示：综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论.【过关小练】1.若实数a，b满足0<a<b，且a+b=1，则下列四个数中最大的是(

)A. B.2abC.a2+b2 D.a【解析】选C.因为a+b=1，a+b>所以2ab<由a2+b2>又因为0<a<b，且a+b=1，所以a<，所以a2+b2最大.2.在△ABC中，若a>b，则比较大小：sinA

sinB.【解析】在△ABC中，由正弦定理可知可知又因为a>b，所以sinA>sinB.答案：>【归纳总结】对综合法的四点说明(1)思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程.(2)优点：条理清晰，易于表述.(3)缺点：探路艰难，易生枝节.(4)思维过程，原因→结果.综合法的两个特点(1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹.(2)因用综合法证明命题“若A到D”的思考过程可表示为：故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”.类型一：用综合法证明不等式问题【典例1】已知a，b，c>0，且a+b+c=1，求证：(1)a2+b2+c2≥(2)【解题指南】(1)构造再分别利用基本不等式.(2)构造再利用(a≥0，b≥0)求解.【解析】(1)因为所以(当且仅当a=b=c=时取“=”)所以a2+b2+c2≥(2)因为三式相加得(当且仅当a=b=c=时取“=”)，所以【规律总结】综合法证明不等式的主要依据(1)a2≥0(a∈R).(2)(a-b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2+b2≥2ab，≥ab，a2+b2≥(3)若a，b∈(0，+∞)，则特别地，(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a，b，c∈R).由基本不等式a2+b2≥2ab，易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，而此结论是一个很重要的不等式，许多不等式的证明都可以用该结论.(5)a+b+c，a2+b2+c2，ab+bc+ca这三个式子之间的关系由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出，三个式子中知道两个式子，第三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来.【巩固训练】设a，b，c为不全相等的正数，且abc=1，求证：【证明】因为a>0，b>0，c>0，且abc=1，所以又bc+ca≥同理因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“=”号不能同时成立.所以2(bc+ca+ab)>2()，即bc+ca+ab>故【拓展延伸】证明不等式的注意点在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.【补偿训练】已知x>0，y>0且x+y=1，求证：【证明】方法一：因为x>0，y>0，1=x+y≥所以xy≤所以方法二：因为1=x+y，所以又因为x＞0，y＞0，所以≥2，所以≥5+2×2=9.类型二：利用综合法证明数列问题【典例2】设数列{an}的前n项和为Sn，且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠-3.(1)求证：{an}是等比数列.(2)若数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足b1=a1，bn=f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求证：为等差数列.【解题指南】(1)中利用an+1与Sn和Sn+1之间的关系结合等比数列的定义证明.(2)中利用定义证明，即=常数(n≥2).【证明】(1)由(3-m)Sn+2man=m+3得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3，两式相减得(3+m)an+1=2man(m≠-3)，所以所以{an}是等比数列.(2)b1=a1=1，q=f(m)=所以n∈N*，n≥2时，bn=f(bn-1)=·

⇒bnbn-1+3bn=3bn-1所以数列为首项为1，公差为的等差数列.【规律总结】综合法证明数列问题的依据【巩固训练】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3…)，证明：(1)数列是等比数列.(2)Sn+1=4an.【证明】(1)因为an+1=Sn+1-Sn，an+1=Sn(n∈N*)，所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，整理，得nSn+1=2(n+1)Sn，所以(n∈N*).故数列是公比为2，首项为1的等比数列.(2)由(1)知(n≥2).因为an+1=Sn，所以an=Sn-1(n≥2)，所以Sn+1=4(n+1)·=4an(n≥2).又a2=3S1=3，故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数n≥1，都有Sn+1=4an.【补偿训练】在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)设bn=，求证数列{bn}是等差数列.(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=2an+2n，所以因为bn=，所以bn+1==bn+1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，(2)由(1)得bn=n，an=n·2n-1.因为Sn=1×20+2×21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1，所以2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n，两式相减得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.类型三：综合法证明其他问题【典例3】证明：sin(2α+β)=sinβ+2sinαcos(α+β).【解题指南】利用所证等式两边角的关系，借助三角公式证明等式成立.【证明】因为sin(2α+β)-2sinαcos(α+β)=sin[(α+β)+α]-2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.所以原命题成立.【延伸探究】1.(变换条件)在例题中令α=β，求证：sin3α=3sinα-4sin3α.【证明】左边=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α=2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α=3sinα-4sin3α=右边.所以sin3α=3sinα-4sin3α.2.(变换条件)把延伸探究1改为“cos3α=4cos3α-3cosα”，如何证明？【证明】左边=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα=2cos3α-cosα-2cosα(1-cos2α)=4cos3α-3cosα=右边.所以cos3α=4cos3α-3cosα.【规律总结】综合法证明的关键(1)明确条件：充分寻找题目的条件，可在图形上标注(如立体几何的证明)，并尽力对知识点进行拓展、联想、挖掘题目的隐含条件.(2)关注目标：综合法证明问题一定要结合题目结论，明确证明方向，这样可少走弯路.(3)注意转化思想的应用.【巩固训练】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(1)证明：CD⊥AE.(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.因为