极射赤平投影CAD图解

极射赤平投影CAD图解一、序言

岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素

极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：

1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的表面称为球面。

3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。

6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。苏

7勺.钥极点：通过球玉心的直线与球镰面的交点称为火极点，一条直秋线有两个极点蚕。铅直线交球菠面上、下两个播点（也就是极披射点）；水平能直线交基圆上畅两点；倾斜直流线交球面上两父点（如图五狗中跟A露、矿B停）。风（二）平面的嘉赤平投影皇组松平面与球面相走交成大圆或小槐圆，我们把大桐圆或小圆上各专点和上极射点壁（迈P国）的连线与赤温平面相交各点漂连线称为相应晓平面的赤平投馒影。劳

1蚁.央过球心平面的混赤平投影随平酒面的倾斜而变侨化：倾斜平面弯的赤平投影为萌大圆弧（如图绒二中赛的郑N怖B剥′著S缓）；直立平面泻的赤平投影是浅基圆的一条直渴径（如图一躁（少a叙）中爬的轨N突S姨）；水平面的葛赤平投影就是暴基圆（如图一良中提的啊NES追W欲）。糕

2乌.败不过球心平面榴的赤平投影也南随平面倾斜而汽变化：直立平悄面的赤平投影酸是基圆内的一私条圆弧（如图途三泡K妙D夹′眠H顽）；倾斜平面吊的赤平投影有的以下三种情况伍：自⑴富当倾斜小圆在蠢赤平面以下时缩，投影是一个牵圆，且全部在张基圆之内（如真图奴三狸F蚕G咸）周；泡⑵割当倾斜小圆全汉部位于上半球贞时，投影也是奔一个圆，但全水部在基圆之外剂；痒⑶境当倾斜小圆一全部分在上半球亲，另一部分在犹下半球时，赤猎平面以下部分咽的投影在基圆挡之内，以上部屿分的投影在基宵圆之外。当球柳面小圆通过上剩极射点时，其耳赤平投影为一莫条直线（如图葱一帅（介c绞）抱中失PAC绳B烦的投影钓为荣A刘B讲）；水平小圆瞧的赤平投影在讨基圆内（如图肆四南中遗A心′依B删′踩）漂，时A筹′络B谷′姥是一个与基圆幻同心的圆。察（三）直线的肃赤平投影妥族破直援线拘A咱B污的投影点就是雁其极舞点滥A耽、艘B怪和极射漫点袍P悦的连线与赤平奋面的交碧点穿A在′棵、线B蜓′才。铅直线的投液影点位于基圆竖中心；过球心吩的水平直线的昌投影点就是基谋圆上两个极点才，两点间距离捷等于基圆直径条；倾斜直线的惑投影点有两个弓，一点在基圆至内，另一个在栽基圆外，两点说呈对蹼点，在童赤平投影图上县两点的角距相袖差讲180季°连（如图五）。辆（四）吴氏网间及邀其瓶CA是D乘制作垄昏章目前广泛使用约的极射赤平投那影有等角距投横影网和等面积递投影网。等角亿距投影网是由未吴尔福发明的渡，简称吴氏网堂；等面积投影沉网是由施密特赢发明的，简称固施氏网。两者朽的主要区别在妈于：球面上大发小相等的小圆婶在吴氏网上的件投影仍然是圆猎，投影圆的直湿径角距相等，腔但由于在赤平写面上所处位置嘱不同，投影圆劝的大小不等，遮其直径随着投满影圆圆心与基窄圆圆心的距离旬增大而增大。华而在施氏网上玉的投影则呈四治级曲线，不成器圆，但四级曲同线所构成的图堤形面积是相等伞的，且等于球摩面小圆面积的归一半。使用吴椅氏网求解面、梳线间的角距关释系时，旋转操蚊作显示其优越买性，不仅作图慎方便，而且较遥为精确。而使哈用施氏网时，杯可以作出面、巩线的极点图或引等密度图，能哥够真实反映球剩面上极点分布至的疏密，有助衫于对面、线群更进行统计分析真，但其存在作边图麻烦等缺点绕。旧

1上.伶吴氏网的结构贯及成图原理仇替艘吴氏网（图六专）由基圆、南洋北经向大圆弧斥（博NG所S喇）、东西纬向膏小圆弧肃（炊AC却B剂）等经纬线组怪成。标准吴氏烘网的基圆率直径鞋为夕20c伙m犯，经、纬线间严的角距崭为掠2优°泳。旱

(掏1气)搜基圆，由指北零方向校（百N减）厦为皆0°掩,舌顺时针方向刻战出盲360界°袋，这些刻度起抖着量度方位角勤的作用；陈

(裳2塘)妻经向大圆弧是洲由一系列通过酷球心，走向南湖北，分别向西蓬和向东倾斜，酱倾角老由宣0季°呜到债90捞°洽（角距间隔药为蜘2性°字）的许多赤平赛投影大圆弧所集组成。这些大都圆弧与东西直冻径纷线膨E贷W矿的交点到端点金（般E委点誉和归W唯点）的距离分泰别代表各平面袜的倾角。如图亩六肺中吧G费W骗表示的大圆社弧热NG系S漆所代表的平面顷向西倾斜，倾颠角旱为创30怪°勇。葵

(旬3盾)百纬向线是由一建系列走向东西锣的直立平面的茄赤平投影小圆秀弧所组成。这睬些小圆弧离基粗圆的圆鬼心阁O勾愈远，其所代狼表的球面小圆劳的半径角距就罪愈小，反之离饶圆涂心建O膝愈近，则半径赴角距就愈大。莫相邻纬向小圆狡弧间的角距也闻是麻2困°帖，它分割南北累直径线的距离柿，与经向大圆鞋弧分割东西径册线的距离是相渠等的。如图六裹所示择，列E宽D国＝颈S堂H宵＝见W蹲G渔＝阔N瓦F遮，角距都睛为植30稼°予。别

2哭.国吴氏网脾的奴CA定D形图解状休道绘制吴氏网，纯其实质就是在退赤平大圆上画李出经向大圆弧蛛和纬向小圆弧述。那么这些大习圆弧和小圆弧晓都是怎样是绘童制出来的呢？响在没佩有欢CA占D昂制图系统软件时以前，人们通油过平面几何关言系利用圆规、逃直尺等原始工线具绘制，其绘贵制过程很复杂呀。而月在连CA厉D娃制图系统软件向下，绘制大圆拢弧和小圆弧是狡非常简的，下如面就介绍它们息的原理和绘制询过程。骤

(拘1参)扰绘制大圆弧的雕原理与步骤吼央嫂要绘制大圆弧证，应至少知道茫大圆弧上的三如个禾点抢N膏、美S抽、钓B辨′适（如图二所示晌），其喇中漫N遣、刻S疗点是每条大圆牵弧都必须经过睛的，是已知点川。现在只要能膏确定经向大圆岛弧与东西径淋线厅E像W使的交凉点伶B晨′啄，问题就迎刃届而解。叛致翻①铜标计遍算发O俗B委′歉长度商贪卧根据倾斜平面拾的倾角、基圆俭的直径，可按斜下式计算桨点迎O饥与蜂点罪B购′挂之间的距离举忌（公式一）央式澡中快痛R蛙—先—患基圆的半径；乐α—绸—溪大圆弧所代表碧平面的倾角洁（倡°稳）。压征对②匹以基圆的圆心选为圆心窑，呢O批B习′虏长为半径画一拆个圆，该圆与运基圆的东西径鼓向科线藏E女W遍交乳于俭B愈′卧点。渡良齐③述过磨N薯、游S奥、笑B扮′语三个点画一个妖圆，并剪掉基后圆外部分，大聚圆弧也就绘制改完成。寄

(钓2俗)允绘制小圆弧的露原理与步骤惕洪组要绘制半径角密距迷为裳窝的小圆弧，同门样也应至少知奔道小圆弧上的连三个点（如图飞六所示能的和A喝、诊C旧、茎B赞三个点）。根升据吴氏网的结膛构与原理，可念以通棚过置CA气D碰制图确耗定睡A篇、演C叙、辱B迟三个点的位置贡。斩铃召①午确定飘点扣C舞，首先用公式伤一计算叔点忘O宣与采点蚕C观间距离，但其戴中被蓬为小圆弧的半告径角距；然后址以基圆的圆心暴为圆心寻，白O喊C醉长为半径画圆凤，该圆与基圆妻的南北径向档线牧N宴S拘交于于榨C拿点。依县并②择以基圆的圆心挪为基点，将南四北径谁线袍O拿N办分别逆时针和回顺时针旋转角因度抖盒，得两条直线拔，分别与基圆故交移于崖A陷、浩B毛点仓婚日。攻行异③伐过渐A宇、割C之、庙B研三个点画一个括圆，并剪掉基俗圆外部分，小蹄圆弧也就绘制偶完成。奴三、赤平投影卸网删CA警D弄图解的应用增汽著利用传统标准掠吴氏网对平面缝、直线进行投容影时，一般步召骤是：把透明板纸（或透明胶朝片等）蒙在吴衣氏网上，画基霞圆瘦及墙“溉十冈”于字网心，并用马针固定于网心跑上，使透明纸不能够绕网心旋腐转。然后在透维明纸上标斗出豆E上、循S炼、慈W科、捷N纱，以正北鸽（区N等）羞为司0糊°恭，顺时针数缸到援360悔°绒。东西直齐径可E窜W多确定倾角，一乎般是圆周威为荐0要°酬，至圆心鞭为炉90止°签。这样做具有阿以下缺点：一引是较麻烦，二帐是当旋转透明坐纸时，容易从负针孔处发生破理裂而移位；三抽就是准确性不陵高；四是效率弯低。如果肆用马CA件D厅制图，则可避季免上述不足，弟且使作图更简竿化，用不着吴感氏网中的那么凡多的经、纬线观，只需要画出允基圆及其南北焦径线和东西径未线。娃

1毅.羊平面赤平投影堆的描CA与D右图解（如图七害）迎豪耽例临1嘴：一平面产狸状爹126诚°子∠峰30企°卵，绘制其赤平腐投影图。堡

(宽1衡)闲绘制一直径甘为傍20c构m丝的基圆，同时夫画出铅直和水蒙平两条直径，兰并标礼出横E拢、夸S倦、更W舍、奋N炮。后面的例子语均需要这一步仅，画法与之相罪同，所以不再盗重复。额

(花2投)婶平面的倾向蹦是榆126续°西，则其走向摇为氧36趋°青。将南北径线墙绕基圆的圆浪心摸O轨顺时针旋纺转担36样°慨到先达灰A僵B寻位置，与基圆锻交陷于味A尼、贡B端两点，牙则钟A愿B琴就是平面的走挽向线。叔

(央3且)隶以基圆的圆停心罢O摆为基点，将射裳线膛O亲N扇顺时针旋膛转咳126辩°并到避达办O被D齐位置，与基圆经相交于较点寿D需，探则红O新D降即为该平面的越倾向线。太

(彼4棋)聪用公式一计算暖线既段饥O灰C昨长度。以基圆允的圆粉心抛O途为圆心发，萍O治C肥为半径画圆，会交盗O器D向于捷C香点。匪

(遇5筝)拉采用三点法，萍即门过密A闪、摊C游、铁B植三点画圆，并旨切掉基圆外部释分，所得大圆摘弧仓AC你B袭即为该平面的丛赤平投影。战

2往.蒙直线赤平投影押的改CA升D缘图解（如图八悲）础畏动例显2迎：一直线产术状浴330加°振∠达40寿°盟，绘制其赤平候投影图。燥

(沟1爽)券将碧O姥N尚绕圆活心兴O骡顺时针旋净转忆330亦°配后到址达则O丑A声位置，与基圆泡交于老点衔A镇，雄则念O飞A茄即为该直线的疫倾伏向。孟

(颜2辰)熊用公式一计豪算洁O跟A已′畏值。以基圆的美圆味心霞O因为圆心烟，技O欧A烫′滨为半径画圆，洁交遭O王A亭于免A邀′拖点，则梳点摸A衫′凳即为该直线的务赤平投影。罗

3例.骤平面法线赤平衣投影躬的劈CA侵D控图解（如图九倚）财但雨例山3遣：一平面产状泛为怖105哗°少∠窄40拢°励，绘制其法线焰的赤平投影。丢

(惠1冻)抗按后例日1遮所述方法，绘历制产状杠为炎105仔°妨∠粘40往°款平面的赤平投者影大圆宫弧鼻N舰B耍′腐S梨。掉

(狭2玩)寺平面法线的倾纤角与平面的倾虫角之和等撒于稍90估°傅，因此平面法绕线的倾角背为避50考°裤。用公式一计谢算昆O念A吩′脑。以基圆的圆赶心夕O侮为圆心荡，晒O匀A荐′针为半径画圆，灌交很B载′餐O败的延长线似于徐A劳′击点，阅则母A庙′壁点为该平面法筋线的赤面投影麦，也称其为平纠面的极点。蚁嫂阻由于平面法线纱倾向与平面倾宇向相反，相足差谋180怕°慈，平面法线的闯倾角与平面的追倾角之和等肥于壳90沉°廊，因此也可根曲据平面法线产虎状与平面产状园间的这种关系导，首先计算法倘线的产状雀为池285劫°援∠摔50内°姐，然后再按树例体2长方法绘制法线僚的赤平投影。础

4旅.苦相交两条直线糠所构成平面的邪产状往鸦罢例嫂4充：已知两直晚线粥180光°渐∠次20托°仪和湖90省°露∠殊32.3班°幻相交，用赤平阳投影法求解这蓝两条直线所构辛成平面的产状随（如图十肯（鲜a锈）、膜（舞b蹦））。肉

(柱1定)呢为很好地利鹅用舌CA绳D蚊制图解决这个碎问题，引入两脏条直线倾角与绞平面倾角间的累关系式：社

t捆an往2稠β拦sin黎2婆γ孝=tan同2挥α滔1+ta岁n碌α仓2-2ta兼n质α附1ta符n徒α并2co勇s架γ笋降（公式二）太式朗中难β—削—宾两条相交直线疏所构成平面的渣倾角膝（阵°捞）；绿α饼1双、亏α仰2微—声—嚷分别为两条直帆线的倾伏角忧（炼°拔）；栋γ—透—础两条直线倾向千夹角玩（雀°符）。宽用公式二计算繁两条直线所构糠成平面的倾角作为仍β公=36.13邻°百。臭

(图2剂)逃确定投影大圆关弧的圆思心洞O展′垦，桶点偏O感′施应在线岂段享C动′殊F结′贞的垂直平分线鼠上。要确定汪点睁O丈′珠的位置，需要久用下列公式计任算平面的赤平友投影大圆弧的贱半肝径婶剃。计算出赤平均投影大圆弧的蒜半本径愧疮后，再以住点哗C销′植或者独点迫F偏′毒为圆心画圆，章与线惧段甘C勤′需F桂′执的垂直平分线红相交于版点壮O第′柿。愁（公式三）碧式阔中经R驴’—凯—陪赤平投影大圆先弧的半抽径料;卫R终—创—粘基圆的半径。缠

(莲3浇)皂确定平面的走费向场A秩B拘：稼以锋O芦′毁为圆心，赢以顽离为半径画圆，号与基圆相交于效两杀点很A邀、眉B霉，晓则抚A滑B促即为所求平面蹦的走向，退为据30扩°劣。由此算出该微平面的倾向呀为唐120舱°白。浪因此所求平面择产状册为旗120呈°钉∠倾36漏°寒。遮此外，两条直冻线所构所平面哗的倾向，也可梨由下式计算确先定：窜（公式四）鸣式消中引—茫—旗平面倾向与直暑线土1更倾向之差；板其余符号意义宽同公式二。鞋碎5歉．相交两条直凯线的夹角及其伪角平分线从直还例穿5因：用赤平投影废法求解暮例催4手两条直线的夹铲角及其角平分介线（图十乡（捧c起））。珠

(珍1营)映按肚例距4砖作法，确定两份条直线所构成捎平面的赤平投旧影，即大圆酿弧镇A耽F池′缘C芒′虑B省，其产状约说为腿120捷°凶∠蚂36乎°东。财变难（侨2伴）量取大圆弧零上车C折′稍与平F柱′窃间的角距硬为咱54仍°郑，即相交两条蚊直线的夹角联为途54惹°舍。该圆挨弧抽C耀′膊F要′叛段的角距平分导点新G田′务（券27镜°告）就是相交两拔条直线夹角平掏分线的赤平投吴影，由此可以株确定两条相交青直线夹角平分押线的产状御为撇139.67厦°府∠丘34.51斩°意。备除上述作图法创外，还可用下妨式计算两条相钢交直线的夹角缠：（公式五）烂式运中卡—他—该两条相交直线贯的夹角仁（旱°蜓）；械其余符号的意仅义同前。愤

6剖.裕平面上一直线壁的倾伏和侧伏举（如图十一）巩刑曲例岭6忆：已知平面产城状诚180寄°滑∠饱α鸽多（穗职α晌＝魔36钓°巩），平面上一肾条直赴线帽A晕C运的侧伏峰向抽E怀、侧伏显角抱β僚（拍姥β阵=44涌°向，是指该平面桑走向线与该直角线所夹的锐角艺），用赤平投凳影法求解该直织线的倾伏向和皆倾伏角。发店富（坚1搂）按精例侦1祸做法，绘制平户面的赤平投影毁大圆岁弧裁E碰D励″乳W卡。趴诚姿（专2辨）赞以灿E啦W堪为南北向径线滚（假定），作漠半径角距等匠于按β刑（厦淡β拌=44°天)摔的纬向小圆殊弧倍G雄D喘″杏K狼（应为两条，笼另一条未画出缓），与平面的较赤平投影大圆私弧孕E丑D脖″虹W们相交柿于踪C杨″切点。连接叠点名O钢与任点哄C哈″亦，并延长，与糟基圆相交陵于厅C恐′纳点。阅画众（钩3跃）签点你C韵″宣即所求直线的授赤平投影。图捷上量得线趟段明O嘱C刘″避的长度，然后勾用公式一求得露直线的倾伏板角召24.71绿°掉。霉葡拜（蜜4链）梦点幸C控′蛙对应的角度道为漏127.64奉°贪，即为所求直甜线的倾伏向。铃因此该直线的商产状暖为驳127.64孩°叔∠乓24.71善°矿。困平面上一条直比线的倾伏或侧规伏，可以相互丛换算，除采用犁上面狐的似CA申D投制该图方法外，也毛可用下列公式灰计算：（公式六）（公式七）惧式坊中妨—陶—泉平面倾角递（齐°弟）；阴—厚—刊平面上直线的哭侧伏角佳（词°村）；班—舌—刻直线的倾伏角购（量°命）；部—优—愿平面倾向与直肿线倾向之差邻（滴°跪）。胆

7饺.泥两个平面交线溪的产状（如图冰十二灰（掩a牢））旱泳摇例筹7族：已知两个平辞面辰70歉°煎∠吧40披°耕和崭290蝇°停∠区30妥°高，用赤平投影厌法求解这两个讽平面交线产状桑。原脾绒（己1迁）按浓例鼠1替做法，分别绘杏制出两个平面哭的赤面投影大悬圆菜弧蔬AP涂B堂和寻CP价D除，两条大圆弧柳相交莲于同P谋点，该点即为孕两个平面交线金的赤平投影。必立湿（歼2华）连究结禽O却P我，并量拣得籍O嘴P涛的长度。然后席用公式一求得苏交线的倾伏角约为忌β娘=13.14楚°亭；骑O兆P盐所在径线方向黄即为交线的倾卸伏向，量得交往线的倾伏向旧为社365.15返°头。即两个平面架交线产状已为挎365.15针°拾∠昌13.14婆°静。搬美8泻．两个平面的孟夹角及其夹角粥的等分面（如犯图十二接（谎b静））智场突例贿8酷：已知条件同篇例仇7我，用赤平投影穗法求解两个平糊面的夹角及其阳夹角的等分面系。念壤蒸（谁1泛）绘制两个平附面的公垂面，尿由于以篮点完P饿为投影的直线园就是公垂面的茂法线，因此公葵垂面的产状薪为妥176.15虎°喘∠票76.86喇°民，按番例辜1查做法绘制公垂恐面的赤平投影色大圆绸弧塌FIH允G临，与两个已知勤平面的赤平投听影大圆弧分别赤相交于惑点哑H片、骗点励I刃。这两点所代鸦表的直线产状啊分为：鼠直抓线插H锐为副96.27附°绸∠吗36.96刺°厨；直应线单I僚为保259.48画°支∠疾26.44着°熄。揉泳被（闷2吴）玩点怪H赠、带点度I顺所代表的两条唤直线的夹角就屑是两个平面的炼夹角，可根据峡两条直线的产谨状，由公式五扁计算求得，结皇果捕为雨114.66携°威。也可先用公剧式六分别求出休两条直线在公例垂面上的侧伏毁角，分别为：庙直研线第H胞的侧伏角畏为垦38.128骑°种；直顽线借I融的侧伏角标为械27.209本°真。去截讽则两条直线的侵夹角连为比180弹°冬－涛（垃38.128询°知＋掘27.209般°床）铸＝摆114.66似°丈。喝败举（纤3锡）公垂面的投赶影大圆弧上遣点杯H暂、瓶点便I硬间弧段的中玉点闯K甘在两个平面的愧等分面的投影伍大圆弧上，投豆影葬点灿K资的直线产矮状坟204.74隔°赌∠山75.11羊°章。况点紧P版也在等分面的风投影大圆弧上等，其产状也已多求得（熊例梦7话）。已知投影嫂大圆弧上的两床个点，就可按别例价4景做法计算出等库分平面的倾角余和其赤平投影救大圆弧的半径笼，并绘制出经冲过这两点的大骗圆掘弧佣QK适M付。该大圆弧对旁应的平面即为电已知两个平面乏夹角的等分面添，其产状引为墨267.76乌°伍∠释83.12毛°厌。意

9敏.烈一条直线与一肚个平面的夹角暖（如图十三）短够姻例艺9出：一平面产颈状般120恶°黄∠币50畏°遣，一直线产乒状底320今°肆∠摘20企°被，用赤平投影醉法求解直线与戴平面的夹角。携皂疫（并1之）按提例田1摊做法绘制已知努平面的赤平投眠影大圆芝弧称AD幕B凳。镇弯愧（令2露）按亦例变2晒做法绘制已知拳直线的赤平投跨影，即投影意点亮C纠。扁玩化（文3瓜）按什例叨3糟做法绘制已知气平面法线的投围影极绳点片P粘。洪吓喜（小4化）按矛例斩4只做法绘制经过快点疫C幕、款P怪的大圆权弧墙CP岁D抓，其所代表的吴平面与已知平胞面垂直，其产脱状陕为差244.06牢°槐∠昏56.28玩°安。娘厘里用公式六分别舅求出直矛线颤C邀和直做线假P篮在平枝面假CP毯D翅上的侧伏角，贩直敬线峡C蔽的侧伏角困为鹰24.280同°斥，直受线狂P石的侧伏角阵为劳50.606寇°洗，也就是平面求法线与已知直言线的夹角弱为蓬50.606过°甩－冠24.280跑°杠＝杜26.33仗°环，因此已知直赌线与平面的夹成角裂为目90.00泡°饥－络26.33塌°耐＝专63.67筒°庆。剑四、用赤平投屑影求解边坡稳己定问题涨介泄在岩质边坡稳短定性分析与计柜算中，赤平投谨影可用来初步英判定边坡稳定市性，求解边坡豪稳定性系数计雄算所需的几何恒参数。梁拣裕（一）边坡稳者定性初步判别合闷块图十四所示的轨边坡楔体，假遗定只有摩擦力朱抵抗滑动，且润两个结构面的允摩擦角相同，桑且都等于，则起楔体可能滑动前的条件是两个肢结构面交线的辟赤平投影，即兵它的投影点应伴落在坡面大圆嫂弧与摩擦圆所检围成的范围内货（图十添四者(b西)话中阴影部分）裳，即（其区中忙目为在正交交线更视图上的坡面联倾角堡；蚀尾为结构面交线构倾角；为结构夹面内摩擦角）拍。据此可以迅食速判别楔体是交否