高中数学北师大版必修预备知识2常用逻辑用语全称量词与存在量词 省赛获奖

2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；（2）对任意实数x，都有x2≥0；（3）存在有理数x，使x2

－2＝0;（4）有些人没有环境保护意识.

对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.会用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容（数学抽象）掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法（逻辑推理）观察下列命题(1)所有正方形都是矩形.(2)对任意一个x∈Z，2x+1是整数.(3)空集是任何集合的子集.探究点1全称量词短语“所有”“任意”“任何”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等【提升总结】全称量词命题举例：全称量词命题符号记法：命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；每一个有理数都能写成分数的形式。全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。要判定全称量词命题“x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.判断全称量词命题真假下列全称量词命题中真命题的个数为(

)①末位是0的整数，可以被2整除．②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1

B．2

C．3

D．0C【即时训练】【解析】（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题.（2）真命题.

例1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。（3）是无理数，但=2是有理数.所以为假命题.判断下列全称量词命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）【解析】（1）真命题；（2）-4没有算术平方根，所以为假命题；（3）真命题。【变式练习】命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。这是全称量词命题吗?提示：不是。思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3.(2)x能被2和3整除.(3)存在一个x0∈R，使2x0+1=3.(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.提示：语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题.探究点2存在量词（1）与(3)区别是存在一个x0∈R，使2x0+1=3；（2）与(4)区别是至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等存在量词命题举例：存在量词命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在M中元素x0，使p(x0)成立”。判断存在量词命题真假要判定存在量词命题“x0∈M,p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在量词命题是假命题.在下列存在量词命题中假命题的个数是(

)①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A．0

B．1

C．2

D．3A【即时训练】【解析】（1）对于x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2＞0恒成立，所以x2+2x+3=0无解，所以为假命题.（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以为假命题.（3）真命题.例2判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数。【变式练习】判断下列存在量词命题的真假：（1）()（2）()√√1.下列命题中是存在量词命题的是(

)A、∀x∈R，x2≥0B、∃x∈R，x2<0C、平行四边形的对边不平行D、矩形的任一组对边都不相等BB【解析】②③是全称量词命题，①④是存在量词命题.3．下列命题中是真命题的是(

)A.∃x0∈R，x02＋1<0B.∃x0∈Z,3x0＋1是整数C.∀x∈R，|x|>3D.∀x∈Q，x2∈ZB【解析】选B.A中∀x0∈R，x02＋1>0;C中x=1时|x|<3;D中x=0.5时不成立.4．用符号“∀”与“∃”表示下列命题，并判断真假．(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.【解析】(1)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．当m＝－1时，方程无实根，是假命题．(2)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x+4=+＞0恒成立，所以为假命题.全称量词与存在量词核心知识方法总结易错提醒核心素养全称量词命题存在量词命题逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化（2）注意省略量词的命题的真假判断（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理判断全称、存在量词命题真假的方法:（1）若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为