第4讲行列式与矩阵2015基础

D=

=a11a22a33+a12a23a31+ -a11a23a32-a12a21a33-D=说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式,（列）完全相同，则此行列式为零.等于用数k乘此行列式. kain=

推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 y2+ y3+

z2

+ 在n阶行列式中，把元素aij所在的第ij列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的记A=i+jM，叫做元素a的代 a12 a13 a

D=

M23

123

D=ai1Ai1+ai2

++ainAini ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn= i„ajkaik(k=1,nai1Aj1++ainAjn

i,j当ij时ai1Aj1ai2

++ainAjn=

(i„

+5

+3 12-D-21-4-12-12-解：=-21=06--4-010-14 - -14

=6·(-14)-10·(-7)=-14 D= 解：=233=031339036101=031=228722871133101221610解:D

2

0---0---00210-0400253311330021=0---11330-11330---00210004x-

2x-

2x-3=3x-

x-

解2x-

2x-3=

=x

矩阵由m·n个数aiji=1,2,m;j12,n排成的m行n列的数表称为m·n阶矩阵

aa

mn简记为AAm·nj 2例如 2 A=1,a2,,an

a1a只有一列的矩阵,称为列矩阵列向量B= 2a a n 0 l 0形如 l n1, 0 0方阵E=En= 1 6与 2.两个矩阵Aj与Bj为同型矩阵,并且对应元素相等,即aijbiji=1,2,m;j=1,2,n,则称矩阵A与B相等记作AB.

2„

1,但 2= 1 3

3

2 B z,已知A求x,y,

A=B,\x=2,y=3,z=设有两个m·n矩阵Aj,Bj,a11+

+b1n

A+B=

2n m2 m2 mn说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 A= 0,B=

3 162 3 162 +8 0+4= 3+ 8+1 A+B=B+AB+B -A=

2n

=a

mn-B定义：数l与矩阵的乘积记作lA或Al规定为

la1n lA=Al=

2n.

mn数乘矩阵的运算规律mA=lmAl+mA=lA+mA= s·n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵的乘积是一个m·n矩阵C=j，

+ai2b2j++ ss并把此乘积记作CA= 0 B=

2

AB -1

3 解 jjj 0 故CAB

-1

3=

ABC=ABCB+C=AB+AC,B+CA=BA+lB=lB=AlBE=EA= AAA并且AmAkAm+kAm

换律，即:AB„AB0,A0不能推出B ,B= 解A

,B ,B AB= 注意ABBAAB)2

2,AT= AT

A l

定义由n阶方阵的元素所构成的行列式的行列式，记作A A

则A=

)T=A2)lA A3)AB=AB;AB=BA 式 An1

n2

=A nn性质AA*A*AA

A*=An-定义：对于nA，如果有一个n阶矩阵B，使得ABBAEA是可逆的，并把矩阵B的逆矩阵 A-1=1A,若A可逆,则A-1亦可逆且11l1=1A-lA若A可逆,则AT亦可逆T11

对调两行（对调ij两行记作rik0乘以某一行的所有元素（ikri·k）的元素上去（jk倍加到第i行上记作rir.ABA~B．A0时，由A12l， \P-1P-1P-

AE =P1P-1P-1A =EA-1即对n·2n矩阵(A E)施行初等行变换，当把A变成E时，原来的E就变成A-1. 2 A= 2,求 2 2

0r2-2r1 解:AE)=

1fi

1

0-

-1r2

1 fi

1

-1 2如果有非零行又有零

03 03 注意:任何矩阵Am·n,总可经过有限次初等行变换把 在m·n矩阵A中任取k行k列（k£m,A的k阶子式A0rD，且r+10，那么D称为矩阵的RA 3求矩阵A= -5的秩 1

又的3\R(A)=

A= 若A~B,则R=R 2已知A= 5 5 2 2解:对矩阵A= 3~ 3

5 0 已知A= 1 3 解：A= 1fi 3fi 3 3 6 0 5fi 3fi

0 3,B=2,求

解：AB=

1 a = = = =

a=4·7+3·2+1·1=b=1·7+(-2)·2+3·1=c=5·7+7·2+0·1= 3,B= 0,求

1 解：AB

3

0= 49d=4·1+3·0+1·1=e=1·1+(-2)·0+3·1=f=5·1+7·0+0·1= 已知A= 2,求 2

5

fi

1-

fi

1- 1\A-1=

1 已知A= 2,求A-

3

0A= 2

0fi

1 1

1

1 fi

1 3 0fi

1 1

1

1 1

1 1 3fi 1 1fi -1 3 fi 10 1fi 0011 1 110

1

2111 11\A-1= 1 13130512310 3

5 5

fi

3 0

0 3 3

2

1fi fi

0 3 3

1

1fi fi

的秩是 0 0 00

=2,

-2A*B-1= 解 =A2=

=3

·=·=A

0,且AXA2X求矩阵X 解AX=A+2X,\(A-2E)X=