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文档简介
中物理沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2.4三角形的外角课前热身1、在△ABC中,∠A=80°,∠B=52°,则∠C=
.3.什么是三角形的内角?其内角和等于多少?48°三角形相邻两边所夹的角叫作三角形的内角,三角形的内角和是180°.2、如图,在△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,
则∠ACB=
,∠ACD=
.ABCD50°130°上节课,我们学习了三角形内角和定理的证明.回顾与思考CBAEDCBADECBADABCDFE
转化为一个平角或同旁内角互补等,思路总结这种转化思想是数学中的常用方法.为了证明三个角的和为180°,作辅助线在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.
在平面几何里,辅助线通常画成虚线.思考:多种方法证明的核心是什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角或同旁内角互补.叫做
把△ABC的一边BC延长至点D,三角形的外角的概念在三角形内角和定理的证明中,得到∠ACD.我们曾经像这样,由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,三角形的外角.CBAD∠ACD是△ABC的一个外角三角形的外角应具备的条件:①角的顶点是三角形的顶点;②角的一边是三角形的一边;③另一边是三角形中一边的延长线.
在三角形的每个顶点处有多少个外角?问题1
如图,延长AC到E,∠DCE是不是△ABC的一个外角?ECBAD∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠BCE是△ABC的一个外角,∠DCE不是△ABC的一个外角.问题2
如图,∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角,∠ACD=∠BCE;ABC画一画
画出△ABC的所有外角,共有几个呢?每一个顶点相对应的外角都有2个,每一个三角形都有6个外角.且这2个角为对顶角.FABCDE
如图,∠BEC是哪个三角形的外角?∠AEC是哪个三角形的外角?∠EFD是哪个三角形的外角?∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.练一练三角形的外角的性质三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角问题1
如图,△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系?即
∠BCD+∠ACB=180°三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角.外角与相邻内角的大小不能确定。问题2
如图,△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A,∠B)有什么关系?三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∴∠BCD=∠A+∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠BCD+∠ACB=180°,你能用作平行线的方法证明此结论吗?三角形的外角与它不相邻的两个内角的和.
等于推论3:D过点C作CE∥ABABC12∴∠1=∠B∠2=∠A∵∠ACD=∠1+∠2E已知:如图,△ABC,求证:∠ACD=∠A+∠B.验证结论∴∠ACD=∠A+∠B
(两直线平行,内错角相等)(两直线平行,同位角相等)证明:(等量代换)三角形的外角与它不相邻的两个内角的和.
等于推论3:如图,试比较∠2和∠1、∠2和∠B的大小;∴∠2>∠1拓展探究解:∴∠2=∠1+∠B
∠2>∠B
推论4:大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的外角∵∠2是△ABC的外角(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)推论3:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4:三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.ABCD∠CAD=∠B+∠C∠CAD>∠B,∠CAD>∠C归纳总结三角形内角和定理的推论
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.∵
∠BEC是△AEC的一个外角∴∠BEC=∠A+∠ACE
∵∠A=42°,∠ACE=18°
∴∠BEC=60°∵
∠BFC是△BEF的一个外角∴
∠BFC=∠ABD+∠BEF
∵∠ABD=28°,∠BEC=60°
∴
∠BFC=88°解:FACDEB练一练试一试如图,试比较∠3、∠2、∠1的大小.∴∠3>∠2
解:∵∠2是△ABC的外角∴∠2>∠1
又∵∠3是△DCE的外角∴∠3>∠2>∠1
(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)例5
如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明:∵
∠1=∠ABC+∠ACB∠2=∠BAC+∠BCA∠3=∠BAC+∠ABC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC∴∠1+∠2+∠3=360°=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)∵
∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°∴∠1+∠2+∠3=你还有其他解法吗?(三角形内角和定理)(等式的性质)(等量代换)例5
如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明:∵
∠1+∠BAC=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BCA=180°(平角的定义)∴∠1+∠2+∠3=360°∵
∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°方法二:(等式的性质)(三角形内角和定理)(等式的性质)例5
如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.
求证:∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明:过点A作AD∥BC∴∠2=∠4
∠3=∠DAC(两直线平行,同位角相等)∴∠1+∠2+∠3=360°∵∠1+∠4+∠DAC=360°方法三:(周角的定义)(等量代换)D4
思考你能总结出三角形三个外角(三个顶点处各取一个)和的数量关系吗?三角形的三个外角(三个顶点处各取一个)的和等于360°.即:三角形的外角和等于360°.当堂检测1.判断下列命题的对错.(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.()(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍.()(3)三角形的一个外角等于两个内角的和.()(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.()(5)三角形的一个外角大于任何一个内角.()(6)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.()(7)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.()
160°110°2、求下列各图中∠1的度数。50°
45°
1
35°
120°
13、如图,AB//CD,∠A=37°,∠C=63°,那么∠F
等于()FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A63°4、(1)如图,∠BDC是________
的外角,也是
的外角;
△ADE△ADCABCDE(2)若∠B=45°,∠BAE=36°,∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.解:∴
∠ADC
∵
∠ADC是△BDC的外角,且∠B=45°,∠BCE=20°=∠B+∠BCE=65°
又∵
∠AEC是△ADE的外角,且∠BAE=36°,∠ADC=65°∴
∠AEC=∠BAE+∠ADC=65°(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
321ABCDE5、把图中∠1、∠2、∠3按从大到小的顺序排列,并说明理由。解:∵∠1是△BDE的外角∴∠1>∠2又∵
∠2是△ADC的外角∴
∠2>∠3∴∠1>∠2>∠3(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)趁热打铁把图中∠1、∠2、∠3、∠4按从大到小的顺序排列.ABCDEF1234∠4>∠3>∠2>∠1【变式题】
(一题多解)如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.拓展提升ABCD解法一:连接AD并延长于点E.E
1234∵∠3是△ABD的外角,∠4=∠2+∠C∴∠3=∠1+∠B,∵∠BDC=∠3+∠4,∠BAC=∠1+∠2∴∠BDC=∠1+∠ABD+∠2+∠C=∠BAC+∠ABD+∠C又∵∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°∴∠BDC==101°51°+20°+30°∠4是△ADC的外角【变式题】
(一题多解)如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.拓展提升一ABCD解法二:延长BD交AC于点E.E∵∠DEC是△ABE的外角,∴∠DEC且∠A=51°,∠B=20°=71°=∠A+∠B
∵∠BDC是△DEC的外角,∴∠BDC
且∠DEC=71°,∠C=30°=101°=∠DEC+∠C解法三:延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解.总结ABCDE
如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.拓展提升二解法一:连接CD在△BFE中,F∠B+∠E+∠BFE=180°在△CFD中,∠ECD+∠BDC+∠CFD=180°∵
∠BFE=∠CFD∴
∠B+∠E=∠ECD+∠BDC∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°G
把分散的角集中到同一个三角形中,最后利用三角形的内角和定理去解决问题.
即利用“8”字型图形的性质
总结ABCDE
如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.拓展提升二FG解法二:∵∠BFC是△BFE的外角∴∠BFC=∠B+∠E
∵∠CGD是△AGD的外角∴∠CGD=∠A+∠D又∵
∠C+∠BFC+∠CGD=180°∴∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°本题的两种解法都体现了化分散为集中的转化思想,或运用外角的性质,变式练习ABCDEF
如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解法一:连接CB在△DEE中,∠E+∠F+∠EDF=180°在△BD
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