初中数学沪科版八年级上册三角形中的边角关系命题与证明13．2命题与证明 全市一等奖

中物理沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2.4三角形的外角课前热身1、在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=

.3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48°三角形相邻两边所夹的角叫作三角形的内角，三角形的内角和是180°.2、如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

则∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°上节课，我们学习了三角形内角和定理的证明.回顾与思考CBAEDCBADECBADABCDFE

转化为一个平角或同旁内角互补等，思路总结这种转化思想是数学中的常用方法.为了证明三个角的和为180°,作辅助线在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.

在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思考：多种方法证明的核心是什么？

借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角或同旁内角互补.叫做

把△ABC的一边BC延长至点D，三角形的外角的概念在三角形内角和定理的证明中，得到∠ACD.我们曾经像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，三角形的外角.CBAD∠ACD是△ABC的一个外角三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.

在三角形的每个顶点处有多少个外角？问题1

如图，延长AC到E，∠DCE是不是△ABC的一个外角？ECBAD∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.问题2

如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；ABC画一画

画出△ABC的所有外角，共有几个呢?每一个顶点相对应的外角都有2个，每一个三角形都有6个外角．且这2个角为对顶角.FABCDE

如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.练一练三角形的外角的性质三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角问题1

如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？即

∠BCD+∠ACB=180°三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角.外角与相邻内角的大小不能确定。问题2

如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∴∠BCD=∠A+∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，你能用作平行线的方法证明此结论吗？三角形的外角与它不相邻的两个内角的和.

等于推论3：D过点C作CE∥ABABC12∴∠1=∠B∠2=∠A∵∠ACD=∠1+∠2E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.验证结论∴∠ACD=∠A+∠B

（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）证明：（等量代换）三角形的外角与它不相邻的两个内角的和.

等于推论3：如图，试比较∠2和∠1、∠2和∠B的大小；∴∠2＞∠1拓展探究解：∴∠2=∠1+∠B

∠2＞∠B

推论4：大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的外角∵∠2是△ABC的外角(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.ABCD∠CAD=∠B+∠C∠CAD>∠B，∠CAD>∠C归纳总结三角形内角和定理的推论

如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.∵

∠BEC是△AEC的一个外角∴∠BEC=∠A+∠ACE

∵∠A=42°，∠ACE=18°

∴∠BEC=60°∵

∠BFC是△BEF的一个外角∴

∠BFC=∠ABD+∠BEF

∵∠ABD=28°，∠BEC=60°

∴

∠BFC=88°解：FACDEB练一练试一试如图，试比较∠3、∠2、∠1的大小.∴∠3＞∠2

解：∵∠2是△ABC的外角∴∠2＞∠1

又∵∠3是△DCE的外角∴∠3＞∠2＞∠1

(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）例5

如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.

求证：∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明：∵

∠1=∠ABC+∠ACB∠2=∠BAC+∠BCA∠3=∠BAC+∠ABC（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC∴∠1+∠2+∠3=360°=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）∵

∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°∴∠1+∠2+∠3=你还有其他解法吗？（三角形内角和定理）（等式的性质）（等量代换）例5

如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.

求证：∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明：∵

∠1+∠BAC=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BCA=180°（平角的定义）∴∠1+∠2+∠3=360°∵

∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°方法二：（等式的性质）（三角形内角和定理）（等式的性质）例5

如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.

求证：∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明：过点A作AD∥BC∴∠2=∠4

∠3=∠DAC（两直线平行，同位角相等）∴∠1+∠2+∠3=360°∵∠1+∠4+∠DAC=360°方法三：（周角的定义）（等量代换）D4

思考你能总结出三角形三个外角(三个顶点处各取一个)和的数量关系吗？三角形的三个外角(三个顶点处各取一个)的和等于360°.即：三角形的外角和等于360°.当堂检测1.判断下列命题的对错.(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）(3)三角形的一个外角等于两个内角的和.（）(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）(5)三角形的一个外角大于任何一个内角.（）(6)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.()(7)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）

160°110°2、求下列各图中∠1的度数。50°

45°

1

35°

120°

13、如图，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F

等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A63°4、(1)如图，∠BDC是________

的外角,也是

的外角；

△ADE△ADCABCDE(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.解：∴

∠ADC

∵

∠ADC是△BDC的外角，且∠B=45°,∠BCE=20°=∠B+∠BCE=65°

又∵

∠AEC是△ADE的外角，且∠BAE=36°,∠ADC=65°∴

∠AEC=∠BAE+∠ADC=65°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）

321ABCDE5、把图中∠1、∠2、∠3按从大到小的顺序排列，并说明理由。解：∵∠1是△BDE的外角∴∠1＞∠2又∵

∠2是△ADC的外角∴

∠2＞∠3∴∠1＞∠2＞∠3(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)趁热打铁把图中∠1、∠2、∠3、∠4按从大到小的顺序排列.ABCDEF1234∠4＞∠3＞∠2＞∠1【变式题】

(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.拓展提升ABCD解法一：连接AD并延长于点E.E

1234∵∠3是△ABD的外角，∠4=∠2+∠C∴∠3=∠1+∠B，∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2∴∠BDC=∠1+∠ABD+∠2+∠C=∠BAC+∠ABD+∠C又∵∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°∴∠BDC==101°51°+20°+30°∠4是△ADC的外角【变式题】

(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.拓展提升一ABCD解法二：延长BD交AC于点E.E∵∠DEC是△ABE的外角,∴∠DEC且∠A=51°,∠B=20°=71°=∠A+∠B

∵∠BDC是△DEC的外角,∴∠BDC

且∠DEC=71°，∠C=30°=101°=∠DEC+∠C解法三：延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结ABCDE

如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.拓展提升二解法一：连接CD在△BFE中，F∠B+∠E+∠BFE=180°在△CFD中，∠ECD+∠BDC+∠CFD=180°∵

∠BFE=∠CFD∴

∠B+∠E=∠ECD+∠BDC∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°G

把分散的角集中到同一个三角形中，最后利用三角形的内角和定理去解决问题.

即利用“8”字型图形的性质

总结ABCDE

如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.拓展提升二FG解法二：∵∠BFC是△BFE的外角∴∠BFC=∠B+∠E

∵∠CGD是△AGD的外角∴∠CGD=∠A+∠D又∵

∠C+∠BFC+∠CGD=180°∴∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°本题的两种解法都体现了化分散为集中的转化思想，或运用外角的性质，变式练习ＡＢＣＤＥＦ

如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解法一：连接CB在△DEE中，∠E+∠F+∠EDF=180°在△BD