初中数学沪科版八年级下册四边形19．3矩形菱形正方形 全市一等奖

中物理沪科版数学八年级下册第19章四边形19.3.1矩形的性质和推论平行四边形的定义：平行线的性质:知识回顾平行四边形.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形的对边平行平行四边形的对角相等，且相等.邻角互补.平行四边形的对角线互相平分.对角线的性质边的性质角的性质ABCD四边形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD

ABCDAC从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角考虑从对角线考虑平行四边形的判定方法两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形

(平行四边形的定义)(判定定理1)（定义拓展）(判定定理3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理2)知识回顾连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线的定义：三角形并且等于等三边的一半.两边中点的连线平行于第三边，三角形中位线定理：知识回顾(数量关系)(位置关系)∵

DE是△ABC的中位线∴

DE∥BC，【几何语言】(或AD=BD，AE=CE)且DE=

BC12ABCED

如图，是一个活动的平行四边形木框，ABCD创设情境(1)当∠A的大小发生变化时，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)当∠A为直角时，是长方形ABCD也叫做矩形拉动一对不相邻的顶点A、C，平行四边形的形状.就会改变它是我们以前学过的什么图形？平行四边形就变成一个特殊的平行四边形，叫做.矩形平行四边形矩形有一个角是直角有一个角是直角的平行四边形矩形的定义概念学习ABCD矩形必须具备两个①它是一个平行四边形②它有一个角是直角条件二者缺一不可矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.(矩形就是长方形)

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.理解定义几何语言:∵在ABCD中，∴

ABCD是矩形反过来∴四边形ABCD是平行四边形，∵

四边形ABCD是矩形注意：∠A=90°且∠A=90°

ABCD∠A=90°又是它的一个性质.矩形的定义既是矩形的一种判定方法，ABDC

对应练习：下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系DC四边形矩形平行四边形四边形矩形平行四边形四边形矩形平行四边形平行四边形矩形四边形AB

因此矩形就具有探究新知我们知道矩形是一种特殊的平行四边形，平行四边形的一切性质.ABDC矩形的对边平行矩形的对角相等，且相等.邻角互补.矩形的对角线互相平分.对角线的性质边的性质角的性质O

因此矩形就具有探究新知我们知道矩形是一种特殊的平行四边形，平行四边形的一切性质.ABDCO

它的边、角和对角线还具有哪些特殊的性质呢？思考：矩形除了具有一般平行四边形的性质外，猜想1：矩形的四个角都是直角.猜想2：矩形的对角线相等．已知：求证：证明：即∵在矩形ABCD中，∴∠B=∠C=∠D=90°

矩形的四个角都是直角.猜想1：ABDC∠A=∠B=∠C=∠D=90°如图，四边形ABCD是矩形.由定义，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°(两直线平行，同旁内角互补)AB∥CD，AD∥BC矩形ABCD的四个角都是直角.ABDC已知：猜想2：矩形的对角线相等．O求证：AC=BD在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.∵四边形ABCD是矩形∴△ABC≌△DCB∴

AC=BD∠ABC=∠DCB=90°(矩形的对边相等)(矩形的四个角都是直角)在△ABC和△DCB中AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB证明：∴

AB=DC∵(公共边)(SAS)矩形特殊的性质矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等．从角上看：从对角线上看：ABDCO∵

四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°∵

四边形ABCD是矩形∴

AC=BD【几何语言】【几何语言】(矩形的四个角都是直角)(矩形的两条对角线相等)∵

四边形ABCD是矩形∴AC=BD，矩形的性质ABDCO矩形的对边平行矩形的四个角都是直角且相等.矩形的对角线相等对角线的性质边的性质角的性质归纳总结且互相平分∵

四边形ABCD是矩形∴ABCD，BCAD∵

四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°且OA=OB=OC=OD

对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分对边平行且相等四个角为直角对角线相等且互相平分这是矩形所特有的性质……比一比边角对角线平行四边形矩形ABDCO1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，图中有多少个直角三角形？有多少个等腰三角形？探究新知ABDCO直角三角形：4个Rt△ADC

Rt△ABC

Rt△BCDRt△BAD等腰三角形：4个△COD

△AOB

△BOC△AOD矩形的两条对角线方法技巧：矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，将矩形分成四个等腰三角形.矩形问题直角三角形和等腰三角形中来解决转化2、如果从矩形ABCD中探究新知ABDCOABCORt△ABC平移出及线段OB，OB与AC又有什么样的关系？21OB=CA直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.你能证明吗？OB=

AC.连接AD、DC.∴

四边形ABCD是平行四边形∵∠ABC=90°∴

平行四边形ABCD是矩形∴AC=BD已知：

又∵OB=验证结论ABCO直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.D求证：

在Rt△ABC中，如图，∠ABC=90°，OB是AC上的中线.21证明：

延长BO至D，

使OD=OB，∵

OB是AC上的中线∴

OA=OC

∵

OD=OBBD=AC2121∴

OB归纳小结ABCO直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形斜边上的中线定理：∵在Rt△ABC中，【几何语言】=AC21∴

OB(或OB=OA=OC，

)

点O是斜边AC的中点或AC=2OB3、若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是()A.20°B.40°C.80°D.10°2、若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为()A.13B.6C.6.5D.不能确定1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等

C.对角相等D.对角线互相平分ACC对应练习4、如图，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm，则AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm，则AC=_____cm,BD=_____cm.(3)若∠C=35°，则∠ABD=

.ABCD6105对应练习55°5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．2.56、如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．6第5题图第6题图对应练习巩固练习DACBO1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=120°，AD=4cm.求矩形对角线的长.解:∵

四边形ABCD是矩形∴AC=BD(矩形的对角线相等)∴OA=OB(矩形的对角线互相平分)∵

∠AOB=120°∴∠OAB=∠OBA=2180°-120°=30°∵

在Rt△ABD中，∠OBA=30°，AD=4cm.∴BD=2AD=8(cm)

OA=OC=AC，21

OB=OD=BD212、已知矩形的一条对角线长8cm，两条对角线的夹角为60°，矩形相邻两边的长各为多少？ABDCO解:∵

四边形ABCD是矩形∴AC=BD(矩形的对角线相等)∴OA=OB(矩形的对角线互相平分)∵

∠AOB=60°

OA=OC=AC，21

OB=OD=BD21∴△AOB是等边三角形

∴AB=OB=OA=AC21=×821=4(cm)∵

四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°∴在Rt△ABC中，∴矩形相邻两边长为4cm和cm.3、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE:∠BAE＝3:1，求∠BAO和∠EAO的度数．ABDCOE解:∵

四边形ABCD是矩形∴

∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAE=90°，

OA=AC，21

OB=

BD21AC=BD,∵∠DAE:∠BAE＝3:1∴

设∠DAE＝3x°，∠BAE=x°∴

3x+x=90解得x=22.5∴

∠DAE＝67.5°，∠BAE=22.5°∵AE⊥BD∴

∠ABE＝90°-∠BAE=67.5°OA=OB∵OA=OB∴∠BAO＝∠ABE=67.5°∴∠EAO＝∠BAO-∠BAE=67.5°-22.5°=45°

矩形的两条对角线方法技巧：矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，将矩形分成四个等腰三角形.因此，

有关矩形的计算问题，经常转化到直角三角形和等腰三角形中来解决.4、如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.

41方法技巧：并且矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个等腰三角形的面积相等.S△AOB=S△BOC=S△COD=S矩形ABCDS△AODG∴∠DFE=5、如图,在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE,垂足为F.求证：DF=DC.∴△DFE≌△DCEABCDEF证明：连接DE∵AD=AE∴∠AED=∠ADE∵四边形ABCD是矩形∴

AD∥BC，∠C=90°∴∠ADE=∠DEC∴∠AED=DEC又∵

DF⊥AE∠C=90°在△DFE和△DCE中∵DE=DE∠AED=DEC∠DFE=∠C(公共边)∴DF=DC(AAS)6、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．解:∵

四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠2＝∠3

由折叠知∠1＝∠2

∴∠1＝∠3∴BE＝DE

设BE＝DE＝x，

∵

在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2

∴42＋(8－x)2＝x2，

解得

x＝5

∴S△BED＝矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查∠A＝90°则AE＝8-x

即

DE＝5＝10＝×5×4

DE·AB21217、已知直角三角形一条直角边长为3cm，斜边上的中线长2.5cm，求另一条直角边长．ABCD32.5548、如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；解:

∵在Rt△ADB中，∵AD是△ABC的高∴DE＝AE

＝AB

＝×102121∴∠ADB=∠ADC=90°且AB=10又∵在Rt△ADC中，∴

DF＝AF

＝AC

＝×82121且AC=8＝5＝4AE＋DE＋DF＋AF∴

四边形AEDF的周长为点E为斜边AB的中点，点F为斜边AC的中点，＝5＋5＋4＋4＝18方法技巧：可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．

当已知条件含有线段的中点、

直角三角形的条件时，(2)求证：EF垂直平分AD.由(1)可得证明：∴E、F在线段AD的垂直平分线上∴EF垂直平分AD

DE＝AE，DF＝AF(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）9、

如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.解：又∵在Rt△BECB中，∵BD，CE分别为△ABC边上的高∴EG＝

BC

21∴∠BEC=∠BDC=90°∵在Rt△BDC中，点G为斜边BC的中点点G为斜边BC的中点∴DG＝

BC

21∴EG＝DG又∵F为DE的中点∴GF⊥DE连接EG，DG方法技巧：可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．

当已知条件含有线段的中点、

直角三角形的条件时，1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.拓展练习ABDCPOEF解：连接OP∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°，OA=OB=OC=OD∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC41=S矩形ABCD41=×6×8=12∵在Rt△ABD中，AB=6，AD=8∴BD==10∴

PE+PF=又∵S△APO+S△DPO=S△AOD2121+

×OD×PF=12即21

×5×PE21+

×5×PF=12∴

OA=OD=5524∴×OA×PE2、已知如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=1200，求∠EAO的度数和∠OEA的度数。拓展练习本节课你有什么收获？有一个角是直角