直线与圆的位置关系

专题提升(十二)与圆的切线有关的证明与计算类型之一与切线的性质有关的计算或证明【教材原型】

如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为______. (浙教版九下P43作业题第1(2)题)图Z12－11【解析】如答图，连结OC.∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】

(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.教材原型答图【中考变形】

[2016·天津]在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点． (1)如图Z12－2①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；图Z12－2解：(1)如答图，连结OC.∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△OPC中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；中考变形答图(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，由∠CAB＝10°，得∠AOE＝90°－∠CAB＝80°，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.【中考预测】

[2016·扬州]如图Z12－3①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.图Z12－3解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：如答图①，连结OE.∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1＝∠C，∵OB＝OE，∴∠1＝∠B，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；中考预测答图①(2)如答图②，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形．∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠A＝180°－75°－75°＝30°，中考预测答图②类型之二与切线的判定有关的计算或证明【教材原型】

已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)图Z12－4证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．教材原型答图【中考变形】1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上 (异于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．图Z12－5解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，中考变形1答图又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD是⊙O的切线．2．[2016·大连]如图Z12－6，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC. (1)求证：DE与⊙O相切；图Z12－6解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；中考变形2答图(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，【中考预测】

如图Z12－7，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.图Z12－7 (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．解：(1)如答图①，连结BD.中考预测答图①∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，(2)直线PC与⊙O相切．理由：如答图②，连结OC.中考预测答图②∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠