初中数学浙教版九年级下册直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【全国一等奖】

2.1直线与圆的位置关系（第2课时）浙教版九年级下册点和圆的位置关系有哪几种？

（1）d<r（2）d=r（3）d>rABCd点A在圆内

点B在圆上点C

在圆外三种位置关系O点到圆心距离为d⊙O半径为r回顾：把钥匙环看作一个圆，把直尺边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺，直线和圆分别有几个公共点?●O●O相交●O相切相离直线与圆的交点个数可判定它们关系探究活动二

直线和圆只有一个公共点，这时我们就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

直线和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线

直线和圆没有公共点，这时我们就说这条直线和圆相离.两个公共点没有公共点一个公共点1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆公共点的个数)2.用图形表示如下:.o.oll相切相交切线切点割线...没有公共点有一个公共点有两个公共点.ol相离交点快速判断下列各图中直线与圆的位置关系.Ol.O1.Ol.O2ll.1)2)3)4)相交相切相离直线l与O1相离直线l与

O2相交O(从直线与圆公共点的个数)●●●●●直线与圆的位置关系量化如图，圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐1)直线和圆相交dr;d

r;2)直线和圆相切3)直线和圆相离dr;<=>

一判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________

的个数来判断；（2）由_________________

的大小关系来判断在实际应用中，常采用第二种方法判定两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r3)若AB和⊙O相交，则

.1、已知⊙O的半径为6cm，

圆心O与直线AB的距离为d，

根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离，

则

;2)若AB和⊙O相切，

则

;d>6cmd=6cmd<6cm0cm≤2.直线和圆有2个交点，则直线和圆_________;

直线和圆有1个交点，则直线和圆_________;

直线和圆有没有交点，则直线和圆_________;相交相切相离三、练习与例题圆的直径是13cm

，如果直线与圆心的距离分别是，(1)4.5cm;(2)6.5cm;(3)8cm.

那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点?(3)当d=8cm时，

有d>r，因此圆与直线相离，没有公共点.当

r=6.5cm时，

有

d=r，因此圆与直线相切，有一个公共点.当d=4.5cm时，

有d<r，

因此圆与直线相交，有两个公共点.解:

r=6.5cm，设直线与圆心的距离为d.例1已知：如图2-3，P为∠ABC的角平分线上一点，⊙P与BC相切．求证：⊙P与AB相切．证明设⊙P的半径为r，点P到BC，AB的距离分别为d1，d2.∵点P在∠ABC的平分线上，∴d1＝d2．又⊙P与BC相切，∴d1＝r，则d2＝r.∴⊙P与AB相切．例2在码头A的北偏东60°方向有一个海岛，离该岛中心P的12海里范围内是一个暗礁区．货船从码头A由西向东航行，行驶了10海里到达点B，这时岛中心P在北偏东45°方向．若货船不改变航向，则货船会不会进入暗礁区？解画示意图如图2-4．暗礁区的圆心为P，作PH⊥AB，垂足为H，则∠PAH＝30°，∠PBH＝45°，∴AH＝

PH，BH＝PH.∴AH-BH＝AB＝10，∴PH＝PH＝10，∴PH＝

（海里）.∵货船不会进人暗礁区．

下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．1当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？情景导入经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线条件：(1)经过半径的外端；圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；●O┐Al∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线符号语言表达判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA1、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线；(d=r)归纳：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，

求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC∵OA=OB，

CA=CB∴△OAB是等腰三角形，OC

是底边AB上的中线∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线OCBA这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证垂垂直”注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点例3已知：如图2-6，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠

A＝30

°．求证：直线AB是⊙O的切线．证明连结OB.∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠

C＝∠A＝30

°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180

°-(∠AOB＋∠

A)＝180°-（60°+30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）.例4如图2-7，台风中心P(100，200)沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A(200，380)，B(600，480)，C(550，300)，D(370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？解如图2-7，在直角坐标系中画出以点P(100，200)为圆心，以200为半径的⊙O，再在点P处画出北偏东30

°方向的方向线，作垂直于方向线的⊙P的直径HK，分别过点H，K作⊙O的切线l1，l2，则l1//l2.

因为台风圈在两条平行线l1，l2之间移动，点A，D落在切线l1，l2之间，所以受到这次台风的影响；而点B，C不在切线l1，l2之间，所以不受到这次台风的影响．练习1、如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？BACO解：∵AB=AC

∴∠ACB=∠ABC=45°

∴∠BAC=90°即AB⊥AC

∵

AB是⊙O的直径∴

AC是⊙O的切线变式练习练习2、如图:线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？AOBCD解：BD是⊙O的切线连接OD

∵

OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=30°

∴∠

BOD=60°

∴∠ODB=90°即：OD⊥DB

∴BD是⊙O的切线变式练习例5木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图2-9，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C.记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm．求⊙O的半径．解连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．设⊙O的半径为r.∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）.∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC-CD＝OC-AB.在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝(r-8)2+162，解得r＝20.∴⊙O的半径为20cm.例6已知：如图2-10，直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，连结CD，OC求证：∠ACD＝∠COD.证明如图2-10，作OE⊥

CD于点E，则∠COE＋∠OCE＝Rt∠．∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），即∠ACD＋∠OCE＝Rt∠．∵∠ACD＝∠COE.∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD，∴∠COE＝∠COD，∴∠ACD＝∠COD.切线的性质定理的应用已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，直角边AC=4cm.以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切解:(1)过点C作CD⊥AB于D.∵AB=8cm，AC=4cm.∴∠A=60°因此，当半径长为

cm时，AB与⊙C相切.BAC┐∴∠B=30°D┛

练一练想一想

过圆O内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？Orl

ACldddCCEFd＜r直线l与⊙A相交直线l与⊙A相切d＝r直线l与⊙A相离d＞r共同回顾

公共点

公共点

公共点，点C叫做直线l叫做⊙A的直线l叫做⊙A的两个唯一切线切点没有割线圆心O到直线的距离为d相交相切相离

直线和圆的位置关系有三种●●●(1)如果已知直线经过圆上一点，则连结这点和圆心，得到辅助半径，再证所作