初中数学沪科版八年级下册二次根式本章复习与测试【全国一等奖】

中物理沪科版数学八年级下册第16章二次根式单元小结二次根式概念性质运算二次根式同类二次根式最简二次根式加、减乘、除混合运算=a性质1(a≥0)=性质2=a-a(a≥0)(a<0)性质3(a≥0，b≥0)性质4(a≥0，b＞0)知识点1

其中a叫我们把形式如叫做(a≥0)二次根式.被开方数，符号二次根号.的式子叫做②

被开方数a≥0二次根式应满足两个条件：①形式上含有二次根号(二次根式

具有

)≥0a≥0，

双重非负性二次根定义1、找出下列各根式中的二次根式.②

被开方数a≥0二次根式应满足两个条件：①形式上含有二次根号对应练习：√××√√×

只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式.思考：是二次根式吗？不是，像这类代数式②

被开方数a≥0二次根式应满足两个条件：①形式上含有二次根号2、x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？求二次根式中字母的取值范围的方法：①被开方数≥0；②分母中有字母时，解:(1)由题意，得x+3≥0，∴x≥-3(2)由题意，得x2≥0，∴x为全体实数要保证分母不为零。(3)由题意，得∴x>3≥0x-3＞03、

x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？x≤3，且x≠-52≤x≤5x≥-4，且x≠±2x≥2或

x＜-44、已知与互为相反数，求x、y的值.解：∵与互为相反数∴+=0又∵≥0，≥0∴x-2y+9=0x+y-3=0解得x=-1，y=45、已知，求的值.解：由题意可得2x-1≥01-2x≥0即x≥x≤∴x=.把x=代入已知等式，得y=.∴

=2+3=56、已知x、y是实数，且求3x+4y的值。平方，=a即:性质1：一个非负数的算术平方根的等于它本身.（a≥0）知识点2算术平方根，=即:性质2：一个数的平方的等于它的绝对值.=a-a(a≥0)(a<0)二次根的性质1和性质2比较分析和先开方,后平方先平方,后开方a≥0a取全体实数a∣a∣根号a的平方根号下a平方读法运算顺序a的取值范围运算结果大家抢答对应练习1、(1)(2)当x＞1时，(3)若

，则Ｘ的取值范围是

.(4)若，则Ｘ的取值范围是

.(5)若１＜Ｘ＜４，则化简的结果是

.3π-3=

.x≤2x-1x＜72、已知△ABC的三边分别为a、b，c，请化简:解：由三角形三边关系可得a+b-c＞0，b-a-c＜0，b+c-a＞0∴原式=--=a+b-c-(-b+a+c)-(b+c-a)=a+b-c+b-a-c-b-c+a=a+b-3c解：原式=3、将下列各式在实数范围内分解因式.解：原式=3、将下列各式在实数范围内分解因式.解：原式=3、将下列各式在实数范围内分解因式.两个二次根式把被开方数相乘，相乘，根指数不变.即性质3（二次根式的乘法法则)（a≥0，b≥0）由等式的对称性，性质3也可以写成（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根的性质：算术平方根的积.积的算术平方根等于积中各因式的利用它可以对二次根式进行化简.从根号里开出来。化简二次根式，就是把被开方数中含有的平方数（或平方式）,知识点3变式练习11、计算：解：注意：性质3可以推广到多个二次根式的乘法运算中，即（a≥0，b≥0，c≥0）原式=1、计算：解：注意：被开方数之积含有系数的二次根式相乘，将系数之积作为积的系数，作为积的被开方数.原式=如：（b≥0，d≥0）解：原式=1、计算1、计算解：原式=解：原式=解：原式=2、化简：化简二次根式的步骤：①先将被开方数②把积的算术平方根化为各因式的算术平方根的积.即应用（a≥0，b≥0）=(a≥0)尽可能分解成几个平方数

③

如果因式中有平方数(或平方式)，应用关系式从而将二次根式化简.把这个因数(或因式)开出来，归纳总结2、化简：解：原式=解：原式=2、化简：由等式的对称性，性质4也可以写成（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根的性质：除以商的算术平方根等于被除式的算术平方根两个二次根式把被开方数相除，相除，根指数不变.即性质4（二次根式的除法法则)（a≥0，b＞0）除式的算术平方根利用它可以对二次根式进行解题和化简.知识点3将系数与系数对应相除，1、计算：解：原式=注意：被开方数与被开方数对应相除，含有系数的两个二次根式相除，再把所除的结果相乘.即：（a≥0，）b＞0，n≠01、计算：解：原式=注意：如果被开方数是带分数，应先化成假分数。2、化简:解：原式=解：原式=解：原式=2、化简:解：原式=解：原式=3、计算:解：原式=3、计算:解：原式=3、计算:

这个过程就叫做1、

去掉分母中的根号：解：原式=使分母变成有理数的概念学习分母有理化.把分母中的根号化去,探究分母有理化的概念及方法知识点51、

去掉下列分母中的根号：方法技巧解:(2)原式=解:(3)原式=当分母是或的形式时，分子与分母同乘.分母有理化（去掉分母中的根号）的一般步骤：“一开”“二乘”“三化”

将分子、分母中含有的平方数，从根号里面开出去.分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号.化简计算.探究新知1、

去掉下列分母中的根号：方法技巧解:(4)原式=

当分母是的形式时，分子与分母同乘,利用平方差公式将分母中的根号去掉.探究新知1、去掉下列分母中的根号：方法技巧解:(5)原式=

当分母是的形式时，分子与分母同乘,利用平方差公式将分母中的根号去掉.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．①根号无分母，分母无根号；并且分母中不含二次根式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

简记为：②不能再开方.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，最简二次根式的定义：知识点61、在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是请说明理由．对应练习解：只有(2)和（6）是最简二次根式；

判断最简二次根式主要看被开方数中是否含有分母(或小数),方法技巧另外，要看被开方数中是否含有可能开得尽方的因数或因式.2、把下列二次根式化成最简二次根式解:(1)原式=解:(2)原式=2、

把下列二次根式化成最简二次根式解:(3)原式=解:(4)原式=2、

把下列二次根式化成最简二次根式解:(5)原式=

如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式.几个二次根式化成最简二次根式以后，同类二次根式知识点7

如果相同就是同类二次根式，对应练习1、下列各组二次根式是否为同类二次根式？√×√×判断二次根式是否为同类二次根式分两步：①把二次根式化成最简二次根式；②看最简二次根式的被开方数是否相同，

与根号外的系数和符号无关.如果不相同就不是同类二次根式，2、如果最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值.对应练习解：∵最简二次根式与是同类二次根式∴m+n-2=2m-n=2解得m=3n=1∴m、n的值分别为3和1.二次根式的加减法则知识点8

二次根式相加减，再把同类二次根式进行合并.先把各个二次根式化为最简二次根式，

所得结果作为系数，1、计算：解：原式=+-根号和被开方数不变.与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，如何合并同类二次根式?=（3+4-5）（乘法分配律）解：原式=1、计算：注意：交换律、进行二次根式加减运算时，以前学过的整式的加减运算中的仍然适用.结合律、及去括号、添括号法则解：原式=1、计算：二次根式加减运算的一般步骤：①“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；②“找”：找出其中的同类二次根式；③“并”：合并同类二次根式.

所得结果作为系数，根号和被开方数不变.与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，如何合并同类二次根式?归纳总结知识点8二次根式混合运算的法则：二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，有括号的先算括号里面的.先乘方，再乘除，后加减，1、计算：对应练习解：原式=1、计算：解：原式=运算法则对于二次根式的混合运算，

原来学过的所有运算律、及乘法公式仍然适用.注意：变式练习计算：解：原式=变式练习计算：解：原式=变式练习计算：解：原式=拓展提升1、已知，求下列各式的值.拓展提升2、已知，则代数式的值为

.33、已知和的小数部分分别为a，b，拓展提升ab-a+4b-3的值.解：∵9<<10，4<<5∴a=b=∴ab