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专项

平行四边形与其他知识的综合应用1.

[2021浙江湖州吴兴区期末]如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作AE的垂线交CD于点F.若CF=1,AD=5,则AB的长为(

)

A.2 B.3 C.4 D.5类型1

平行四边形与特殊三角形的综合应用答案1.C

解法一

延长FE交AB的延长线于点M.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠BEA.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE.∵AE⊥EF,

∴∠AEF=∠AEM=90°,∴∠AEB+∠BEM=90°,∠BAE+∠M=90°,∴∠BEM=∠M.∵AB∥CD,∴∠M=∠EFC.又∵∠BEM=∠FEC,∴∠FEC=∠EFC,∴CE=CF=1,∴BE=BC-CE=4,∴AB=4.解法二

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠BAD=∠C,AD=BC=5,∴∠DAE=∠AEB,又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠AEB=∠BAE,∴BE=AB.设∠BAE=x,则∠C=∠BAD=2x,∠B=180°-2x.∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∴∠FEC=90°-x,∴∠EFC=180°-(∠C+∠CEF)=180°-(2x+90°-x)=90°-x,∴∠FEC=∠EFC,∴CF=CE=1,∴BE=4,∴AB=4.2.[2021陕西西安期末]如图,在△AFC中,∠FAC=45°,FE⊥AC于点E,AD⊥AF于点A,在EF上取一点B,连接AB,BC,CD,且AB=FC,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.类型1

平行四边形与特殊三角形的综合应用答案2.证明:∵FE⊥AC,∴∠FEA=∠FEC=90°,又∵∠FAC=45°,∴∠AFE=∠FAE=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF.在Rt△AEB和Rt△FEC中,AB=FC,AE=FE,∴Rt△AEB≌Rt△FEC,∴BE=CE,∴∠CBE=∠BCE=45°.∵AD⊥AF,∴∠FAD=90°,∴∠CAD=90°-45°=45°,∴∠BCE=∠CAD,∴BC∥AD,又∵BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.类型2

平行四边形与平面直角坐标系的综合应用

类型2

平行四边形与平面直角坐标系的综合应用答案

类型2

平行四边形与平面直角坐标系的综合应用

答案当四边形ACBD'为平行四边形时,AD'∥CB且AD'=CB.∵A点的坐标为(3,4),B点的坐标为(6,2),C点的坐标为(6,0),∴点D'的横坐标为3,yD'-yA=yB-yC,即yD'-4=2-0,故yD'=6,∴D'点的坐标为(3,6).当四边形ACD″B为平行四边形时,AC∥BD″且AC=BD″.∵A点的坐标为(3,4),B点的坐标为(6,2),C点的坐标为(6,0),∴xD″-xB=xC-xA,即xD″-6=6-3,故xD″=9,yD″-yB=yC-yA,即yD″-2

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