《椭圆及其标准方程》

3.1.1椭圆及其标准方程

生活中的椭圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆（二）突出认知、建构概念复习提问问题:什么叫圆?答:平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.O压扁

如果把细绳的两端拉开一定的距离，分别固定在图板的两处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么曲线？在这个过程中你能说出移动的笔尖满足的几何条件吗？

动手做一做动画演示

探究：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆

探究：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆重播

探究：|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段

探究：|MF1|+|MF2|＜|F1F2|不存在椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。你能举出有关椭圆的例子吗？1.椭圆定义：

平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。|MF1|+|MF2|=2aMF1F2记焦距为2c，椭圆上的点M与F1，F2的距离和记为2a。(|F1F2|=2c,（三）注重本质、理解概念2a>2c>0)绳长等于两定点间距离即2a=2c时,绳长小于两定点间距离即2a<2c时，MF1F2F1F2思考为什么要求（三）注重本质、理解概念轨迹为线段；无轨迹。注意:椭圆定义中的关键点：（1）距离的和2a大于焦距2c，即2a>2c>0.

（2）平面内.---这是大前提（3）动点M与两定点的距离的和等于常数2a．1.椭圆定义：

平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．|MF1|+|MF2|=2a

(2a>2c>0,|F1F2|=2c)MF1F2记焦距为2c，椭圆上的点M与F1，F2的距离的和记为2a。（三）注重本质、理解概念求曲线方程的步骤是什么？（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y);（2）找出限制条件p(M);（3）把坐标代入限制条件p(M)

，列出方程f(x，y)=0;（4）化简方程f(x，y)=0;（5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)建、设、限、代、化结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？（四）深化研究、构建方程xOyA(a,b)MrxOyMr类比探究（四）深化研究、构建方程建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁xOyM方案一♦探讨建立平面直角坐标系的方案（四）深化研究、构建方程方案二xOy

以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．由椭圆定义可知化代设建F1F2xyM(x,

y)设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0).则：O

椭圆标准方程的推导限限制条件为：两边同除以得（四）深化研究、构建方程又设M与F1，F2的距离的和等于2aF1F2xyM(x,

y)椭圆的标准方程（四）深化研究、构建方程

焦点在轴上

思考：焦点在轴上的方程是什么？Oxy焦点在y轴：焦点在x轴：1oFyx2FM(x,

y)12yoFFM(x,

y)x椭圆的标准方程（四）深化研究、构建方程Y型椭圆X型椭圆

由两点间的距离公式，可知：

设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，

又由椭圆的定义可得：

|MF1|+|MF2|=2a（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）焦点在Y轴焦点在X轴焦点在x轴上的标准方程：焦点在y轴上的标准方程：如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？思考？（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.（2）焦点在y轴的椭圆，y2

项分母较大.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的认识：（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两个方程，方程形式是固定的。（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”则方程可化为观察左图，和同桌讨论你们能从中找出表示c、a的线段吗？a2-c2有什么几何意义？

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

；5346口答：则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

．34.判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上，并指明a2、b2，写出焦点坐标及焦距.在x轴。（-3，0）和（3，0）2c=6在y轴。（0，-5）和（0，5）2c=105.()则到另一个焦点的距离为距离等于到一个焦点的上一点椭圆,311625.(1)22Pyx=+A5B3C3或5D以上都不对A5B7C8D10BC例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又因为,所以因此,所求椭圆的标准方程为例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.例2.已知椭圆，焦点为F1和F2

，P是椭圆上一点，且，求的周长和面积。通常叫做焦点三角形，其周长为定值2a+2c.相关知识：注意新旧知识的综合运用通常叫做焦点三角形，其周长为定值2a+2c，其面积为例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。12yoFFMx解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:

课堂练习5：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得：0<k<4∴k的取值范围为0<k<4。（七）回顾反思、提升经验一个概念：两个方程：两种方法：三个