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文档简介
3.1.1椭圆及其标准方程
生活中的椭圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢?生活中的椭圆(二)突出认知、建构概念复习提问问题:什么叫圆?答:平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.O压扁
如果把细绳的两端拉开一定的距离,分别固定在图板的两处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么曲线?在这个过程中你能说出移动的笔尖满足的几何条件吗?
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探究:|MF1|+|MF2|>|F1F2|椭圆
探究:|MF1|+|MF2|>|F1F2|椭圆重播
探究:|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段
探究:|MF1|+|MF2|<|F1F2|不存在椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。你能举出有关椭圆的例子吗?1.椭圆定义:
平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。|MF1|+|MF2|=2aMF1F2记焦距为2c,椭圆上的点M与F1,F2的距离和记为2a。(|F1F2|=2c,(三)注重本质、理解概念2a>2c>0)绳长等于两定点间距离即2a=2c时,绳长小于两定点间距离即2a<2c时,MF1F2F1F2思考为什么要求(三)注重本质、理解概念轨迹为线段;无轨迹。注意:椭圆定义中的关键点:(1)距离的和2a大于焦距2c,即2a>2c>0.
(2)平面内.---这是大前提(3)动点M与两定点的距离的和等于常数2a.1.椭圆定义:
平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.|MF1|+|MF2|=2a
(2a>2c>0,|F1F2|=2c)MF1F2记焦距为2c,椭圆上的点M与F1,F2的距离的和记为2a。(三)注重本质、理解概念求曲线方程的步骤是什么?(1)建立适当的坐标系,设曲线上任意一点M的坐标为(x,y);(2)找出限制条件p(M);(3)把坐标代入限制条件p(M)
,列出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0;(5)检验(可以省略,如有特殊情况,适当说明)建、设、限、代、化结合椭圆的几何特征,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单?(四)深化研究、构建方程xOyA(a,b)MrxOyMr类比探究(四)深化研究、构建方程建立平面直角坐标系一般遵循的原则:对称、简洁xOyM方案一♦探讨建立平面直角坐标系的方案(四)深化研究、构建方程方案二xOy
以F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.由椭圆定义可知化代设建F1F2xyM(x,
y)设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c,则有F1(-c,0)、F2(c,0).则:O
椭圆标准方程的推导限限制条件为:两边同除以得(四)深化研究、构建方程又设M与F1,F2的距离的和等于2aF1F2xyM(x,
y)椭圆的标准方程(四)深化研究、构建方程
焦点在轴上
思考:焦点在轴上的方程是什么?Oxy焦点在y轴:焦点在x轴:1oFyx2FM(x,
y)12yoFFM(x,
y)x椭圆的标准方程(四)深化研究、构建方程Y型椭圆X型椭圆
由两点间的距离公式,可知:
设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(0,-c),F2(0,c),
又由椭圆的定义可得:
|MF1|+|MF2|=2a(请大家比较一下上面两式的不同,独立思考后回答椭圆的标准方程。)焦点在Y轴焦点在X轴焦点在x轴上的标准方程:焦点在y轴上的标准方程:如果已知椭圆的标准方程,如何确定焦点在哪条坐标轴上?思考?(1)焦点在x轴的椭圆,x2项分母较大.(2)焦点在y轴的椭圆,y2
项分母较大.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的认识:(1)“椭圆的标准方程”是个专有名词,专指本节介绍的两个方程,方程形式是固定的。(3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。(4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。(2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上,即“椭圆的焦点看分母,谁大在谁上”则方程可化为观察左图,和同桌讨论你们能从中找出表示c、a的线段吗?a2-c2有什么几何意义?
图形方程焦点F(±c,0)F(0,±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.不同点:焦点在x轴的椭圆项分母较大.
焦点在y轴的椭圆项分母较大.则a=
,b=
;则a=
,b=
;5346口答:则a=
,b=
;则a=
,b=
.34.判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上,并指明a2、b2,写出焦点坐标及焦距.在x轴。(-3,0)和(3,0)2c=6在y轴。(0,-5)和(0,5)2c=105.()则到另一个焦点的距离为距离等于到一个焦点的上一点椭圆,311625.(1)22Pyx=+A5B3C3或5D以上都不对A5B7C8D10BC例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又因为,所以因此,所求椭圆的标准方程为例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的解题步骤:(1)确定焦点的位置;(2)设出椭圆的标准方程;(3)用待定系数法确定a、b的值,写出椭圆的标准方程.例2.已知椭圆,焦点为F1和F2
,P是椭圆上一点,且,求的周长和面积。通常叫做焦点三角形,其周长为定值2a+2c.相关知识:注意新旧知识的综合运用通常叫做焦点三角形,其周长为定值2a+2c,其面积为例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。12yoFFMx解:∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2-c2=52-42=9∴所求椭圆的标准方程为:
课堂练习5:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围。∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得:0<k<4∴k的取值范围为0<k<4。(七)回顾反思、提升经验一个概念:两个方程:两种方法:三个
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