第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第4节 随机事件的概率

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第4节随机事件的概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.概率与频率频率fn(A)2.事件的关系与运算

定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)__________(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B________并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的________

(或和事件)A∪B(或A＋B)包含B⊇AA＝B并事件交事件(积事件)若某事件发生当且仅当___________且__________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝P(A∪B)＝1事件A发生事件B发生(1)概率的取值范围：__________________.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________.②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝______________.3.概率的几个基本性质0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)1－P(B)常用结论×诊断自测(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.(

)(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(

)(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(

)1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√√×AA.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形B.经过有信号灯的路口，遇上红灯C.下周六是晴天D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上2.下列事件中，不是随机事件的是(

)B则样本数据落在区间[10，40)的频率为(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.653.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件4.(易错题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(

)C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.75.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(

)B解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一随机事件的关系A.是对立事件

B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件

D.不是互斥事件1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(

)C解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件2.设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(

)A解析由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C，B与D也是互斥事件.综上可得，A与B，A与C，B与C，B与D都是互斥事件.在上述互斥事件中，再根据B，D还满足B∪D为必然事件，故B与D是对立事件.3.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________________，互为对立事件的是________________.A与B，A与C，B与C，B与DB与D判别互斥事件、对立事件要准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.感悟提升考点二随机事件的频率与概率例1

(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；解由试加工产品等级的频数分布表知，解由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？利润6525－5－75频数40202020比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数281734211.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.感悟提升训练1

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164解由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；解选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1解设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.考点三互斥事件与对立事件的概率求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.例2

经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.感悟提升A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08训练2

(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(

)C解析

记“抽检的产品是甲级品”为事件A，“乙级品”为事件B，“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3A级基础巩固解析由概率的意义知D正确.1.下列说法正确的是(

)DBA.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.43.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(

)DA.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8AC解析

设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥.CA.15% B.20% C.45% D.65%7.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(

)D解析因为某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.8.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(

)C9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.6912①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1.10.口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①④解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确.11.某城市2021年的空气质量状况如表所示：解析法一记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在