第七讲 数学证明与趣谈

第七讲数学证明与趣谈第一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四一、什么做证明二、证明的几种理解三、无字证明四、证明趣事五、证明的小结第二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四一、什么做证明?

《辞海》：“根据已知真实的判断来确定某一判断的真实性的思维形式。”

根据某个或某些真实的数学命题和概念，断定另一数学命题的真实性的推理过程叫做数学证明。数学证明是指数学的逻辑证明，它是数学科学的一大特点。一个定理就是一个命题。一个数学证明从某种意义上是一组命题或一类命题。（哈代，李文林，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996，P66）第三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四数学证明的组成任何证明都由论题、论据和论证三部分组成。论题——待证明的论题命题论据——用于证明的一论据系列判断论证——把论题和论据联系起来的一系列推理第四页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

说它容易，是因为一般书本，尤其是西方的著述，都公认数学证明始于公元前六世纪。据说当时的希腊数学家、哲学家泰勒斯(Thales)证明了几条几何定理，包括如直径把圆平分、等腰三角形的底角相等、对顶角相等之类。到了公元前4世纪，欧几里得写成了不朽巨著《几何原本》。他从一些基本定义与公理出发，以合乎逻辑的演绎手法推导出四百多条定理，从而奠定了数学证明的模式，成为后世宗师。萧文强,数学证明,江苏教育出版社,1990年07月第1版,第4页第五页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

如果没有严格的证明，则不能信服一事物是可能的还是不可能的。数学家曾证明了一系列可能的事和不可能的事。对于其它科学，如果也能像数学那样严格地进行推理和证明，则必将最终发现许多看上去可能的事其实是不可能的。莫里兹，数学的本性，P118第六页，共六十九页，编辑于2023年，星期四二、证明的几种理解数学的证明与科学的证明之间存在着深刻的差别．这种差别是理解自毕达哥拉斯以来每个数学家工作的关键。

经典数学的证明方法是，从一系列公理、定义出发，通过逻辑论证，一步一步地得到某个结论．如果公理是正确的，逻辑又没有缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。数学证明依靠这一逻辑过程，而且一个定理一经证明就永远是对的．

科学的证明依赖于观察、实验和理解力。而这两者都是容易出错的，从而它只能提供近似真理的概念．即使人们最为普遍地接受了的科学证明中也总存在着可疑的成分，而在另外—些场合，这种理论最终会被证明是错的，这就导致科学上的革命。张顺燕编著,数学的源与流（第二版）,2000年版,第527-529页第七页，共六十九页，编辑于2023年，星期四数学证明与科学证明有着本质的判别

在物理学中，—个假设被提出来，用以解释某一类物理现象如果对物理现象的观察与这个假设相符，就成为这个假设成立的证据。进而，这个假设不仅能描述已知的现象，而且能预见新的结果．如果它再次成功，那么就有更多的证据支持这个假设最终，证据的数量可能达到压倒的程度，这个假设就作为一个理论而被接受．

数学证明与上不同，数学证明具有绝对的意义，是无可怀疑的。毕达哥拉斯公元前500年证明的定理，今天依然正确。数学不依赖于容易出错的实验证据，而是立足于逻辑。

张顺燕编著,数学的源与流（第二版）,2000年版,第528页

第八页，共六十九页，编辑于2023年，星期四数学的机械证明如几何定理的机械证明，吴文俊、张景中等数学家做了大量工作，解决了等式型或不等型的机器证明。几何的机器证明一般分三个步骤：1．从几何公理系统出发，引进坐标系统，使任意几何定理的证明问题成为纯代数问题(几何的代数化与坐标化)。2．整理几何定理假设部分的代数关系式，依照确定步骤，验证终结部分的代数关系式是否可以从假设部分的代数关系式推出(几何的机械化)。3．依据第二步中确定步骤编成程序，在计算机上实施，以得出定理是否成立的最后结论。即公理化一代数化一坐标化一机械化。丁石孙数学与教育，湖南教育出版社1998年04月第2版P112第九页，共六十九页，编辑于2023年，星期四三、无字证明第十页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四中学数学杂志

1992（8）第十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四中学数学教与学

，1992（4）

第十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期四婆什迦罗用图去解释勾股定理如魏晋人赵爽注《周髀算经》弦图一样最后写一句“看呀！”便不再说什么了。萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第13页第十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第二十页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第二十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第二十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四几千年的数学史表明，直观的、物理的方式早于形式演绎方式。正如美国数学史家克莱因所说的：

很久以前数学家就知道直觉的可靠性要胜过逻辑的可靠性。

数学命题的直观证明就是使用知觉来确认论据的正确性与真实性，易于与人的经验相结合，所需的数学基础知识较少。第二十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四案例1

不单在文献上有这样的记载，甚至“演示”(demonstrate)这个词的希腊文，在欧几里得的时代虽解释为证明，在公元前6世纪的时候，却有视觉、观察的意思。

在欧几里得的《原本》里，每条定理证毕都写上“这就是要证明的”，后来变成拉丁文的QuodEratDemonstrandum，简写作Q．E．D．香港不少中学生习惯戏称此谓英文“相当容易做”(QuiteEasilyDone)的缩与!。最后那个字，便是视觉、观察的证明遗留下来的痕迹了。萧文强,《数学证明》,江苏教育出版社,1990年07月第1版,第6页四、证明趣事第二十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期四案例2“驴桥在此，愚者莫过”

原来欧几里得的《几何原本》是牛津大学的教科书，这个书第一篇中给出36个定义，再给出5个公设和5个公理，接着叙述了48个命题(定理)．其中命题五就是所谓“驴桥”问题：等腰三角形底角必相等。这个定理现在证法很简单；引顶角的平分线是在后面才提到。于是，欧儿里德只能用前面的四个命题来证明，因此是长长一大篇，绝大部分学生到此就看不懂了，因此命题五就成为“笨蛋的难关”。

李小军“数学与数学家趣事”第二十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期四郭彬彩，王庆东，侯海军，数学史与数学家，西安地图出版社,2002.07，P52第二十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期四案例3

70年代初，美国的东方民航公司登了一则广告，大字标题是“咖啡、茶、还是飞机？”颇吸引人，广告效果好：“如果我们在短程航机上供应饮品，便不能让你如上公共汽车一样随来随上飞机了。”接着证明：“如果我们在短程航机上供应饮品，服务员便没有时间在飞机上卖票；服务员没有时间在飞机上实票，乘客便须预购机票；乘客预购机票，我们便不用设置候用飞机；我们不用设置候用飞机，便不能保证乘客随来随有机位；如果不能有这项保证，也就没资格叫做穿梭服务了！”风趣地说明了一个证明怎样把前提与一个并不明显的结论连起来。萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第9页第二十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

美国数学家科尔（F.N.Cole）在1903年10月作了一个无言的报告。他在黑板上写下两个式：267—1，193707721×761838257287。换句话说，他证明了267—1不是一个素数。据说整个过程他一言不发，待他放下手中粉笔时，全场响起热烈的掌声。后来别人问他这花去多少时间，他说整个三年的日日夜夜。

萧文强,数学证明,1990年版,第43页案例4第二十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

狗猛酒酸宋国有个卖酒的人，买卖公道，待客恭敬，酿酒醇美，酒帘醒目，但酒卖不出去，都变酸了。后来有位长者对店主说：“是你的狗太凶猛啦！”原来，人家都怕店主的狗。有的人家让小孩子来打酒，那只狗迎上去就咬人，谁还敢来呢?萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第1页案例5第二十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

古希腊数学家欧几里得(Euclid)(公元前300年)，在《几何原本》中有了关于素数的命题：素数的个数有无穷个，即“若有n个素数，必有n+1个素数。

证明：假设P是一个最大的素数。令n为所有小于或等于P的素数的乘积。则n+1很明显不能被任何小于或等于P的素数整除，因此只有两种可能：

(1)n+1是一个大于P的素数

(2)n+1的质因子都大于P

不论是(1)或(2)的情况都会得到大于P的素数。案例6第三十页，共六十九页，编辑于2023年，星期四棘刺母猴燕王供养了一位自称能在棘刺尖上雕母猴的卫国人，并想看他表演。谁料这客人只顾吃喝玩乐，还说若国王要看棘刺母猴，必须半年不进后宫，不喝酒，不吃肉，而且要待至雨停日出，似明似暗的一刹那才能看到。燕王拿他没法，只好一直供养他。后来有位铁匠对燕王说：我是打刀的，我知道刻东西需用小刀，而且刻的东西一定要比刀刃大方行。如果棘刺尖儿容纳不下刀刃，就不能在上面雕刻了。请国王瞧瞧客人的刻刀，不就知道他有没有说谎吗?于是国王问客人取刻刀看，客人藉辞回家取刀趁机溜走了！萧文强,数学证明,1990年07月第1版,第1页案例7第三十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四对于反证法，英国近代数学家哈代说得好：欧几里得很喜欢采用归谬法(即反证法)。这是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明。象棋弈者不过牺牲一卒或顶多一子，数学家则索性把全局拱手让子对方！欧阳锋,数学的艺术,1997年版,第181页第三十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

柏拉图在《理想园》的一段话，这是很可信的：你一定晓得，研究几何、算术或类似科学的人，以奇数、偶数、图形、三种角及这一类东西作为基础。这是他们的研究的出发点，他们不认为有需要对这些再加任何说明，这是开始的原理。如，

公元前6世纪毕达哥拉斯学派关于图形数的一些定理，看来是凭形象观察去证明的。他们常把数描绘成小石于，按小石子能排列成的形状把数分类。例如，l、4、9、16，…叫做正方形数；1、3、6、10、…叫做三角形数萧文强,数学证明,江苏教育出版社,1990年07月第1版,第5页第三十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第三十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期四把这四个这样的三角形合成一矩形，再重新拼凑寻20块小片，得到另一矩形，两矩形的面积相等，一个是2ab，另一个是2r(a+b+c).故2ab=2r(a+b+c)即2r=2ab/(a+b+c).第三十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第三十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第三十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期四萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第25页第三十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期四萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第27—28页谁能保证证明没有错误呢？如汤普逊一菲特定理为例，有多少人能透彻读通那255页？所谓透彻，是指连文章里引用到的定理也全部核实。这番功夫是很费劲的，而且要十分仔细，任何细节都不能放过或者借别人之手去验证。即使真的有这样的人，怎能肯定任何错误都逃不过他的锐利目光呢?

第三十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期四据说，波兰数学家史坦因豪斯的学生，根据希尔伯特《几何基础》公理的形式化，把勾股定理的证明几乎写了89页，这只不过是一条定理的证明而巳。

最著名的是罗素与怀特海1910一1913年出版的三卷巨著《数学原理》，根据公理化方法，花了三百多页的篇幅才证明了1+1＝2。有人认为这是最不可读的杰作。军萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第29页第四十页，共六十九页，编辑于2023年，星期四使用计算机检验全部可能情况得出结论的证明，也没有使我们增添理解。计算机证明令我不满意并非是它有没有核实该命题，正如用人手花几个月检验几百页的证明一样，而是通过证明并没有使我获得理解。固然，这引起证明还有另一项功用，就是导致发现，其实这也是理解了问题后的收获。

计算机的兴起，有些证明运用了计算机去验算四色问题的计算机证明，争论颇大，算不算是数学证明?谁能确定计算机不会出错。若证明出错，那是计算机本身的毛病，还是该证明本身的纰漏？

萧文强,数学证明,1990年版,第43页第四十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四哈代说：我相信素数定理是因为瓦莱—普桑对它的证明，但我并不认为《数学原理》中的证明而相信2+2=4。对任何数学家来说，不言而喻的是一个结论的明显性并不影响到证明它的有趣性。贺贤孝P109第四十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

通常的证明，如数学家哈代说的“指指点点”，并不是形式化的纯逻辑推导。哈代的《数学证明》：严格来说，没有所谓证明这个东西，归根结底，我们只能指指点点。我与李特尔伍德把证明管叫“气体”，它只是修辞雄辩，用以加强心理感受；它只是讲课中在黑板上画的图画，用以激发学生的想像力。萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第29页第四十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四“指指点点”，自然涉及人的因素。讲解证明的是人，理解证明的也是人。通常的数学证明其实是一项社会活动，难怪苏联数学家曼宁说：

一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会行为后，它才算是证明。集合论创立人德国数学家康托发现一个惊人结果，1874年写信给数学家戴德金，能把正方形上的点与线段上的点一一对应起来。他认为虽然大家都倾向于相信那是不可能的，要真正决定对或错却并不容易。过了三年多，他找到了答案，但不是如想像中的那样，反而他证明了正方形上的点与它的一条边上的点有一一对应的关系。在这个意义上，正方形与它的一条边有同样多的点。康托把这个发现及证明告诉了戴德金。并对戴德金说：除非我从你这位老朋友口中得悉证明是对或错，否则我的心情难以平静下来。在你未曾证实这回事之前，我只能说，我看到，但我不相信！萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第30-31页第四十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

上世纪70年代后期，有两组数学家同时计算数学中拓扑空间的同伦群。有趣的是两组入得到了不同的答案!一组数学家在美国另一组数学家在日本为求真相他们交换笔记详加审查，每组各自聚精会神寻找对方的纰漏。结果都找不到对方证明的错误，但显然至少有一个证明是不对的。后来，第三组数学家发表了与美国组相符的答案，于是美国组暂时占了上风。这说明所谓证明，有人的因素，这方面占有重要地位。萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第28页第四十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

命题：任何三角形皆等腰！证明：设△ABC是任一三角形，作BC的中垂线DO与∠BAC的内角平分线AO相交于点O，从O作垂线OE，OF，分别垂直于AB，AC，连OB和OC。则△AOE与△AOF全等，△ODB与△ODC，△OBE与△OCF全等。若DO与AO相交于三角形内，如图1，便有AB=AE+BE=AF+CF=AC，若DO与AO相交于三角形外，如图2，便有AB=A－EBE=AF－CF=AC。无论哪种情况，三角形都是等腰三角形。证毕。

这错在什么地方？萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第15页第四十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期四命题：任何三角形皆等腰！

设△ABC是任一三角形，作BC的中垂线DO与∠BAC的内角平分线AO相交于点O，第四十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期四阿贝尔对近三百年还没有解决的五次多项式方程根式求解的问题进行研究。1821年，他以为找到了五次方程的解的公式，他的老师也找不出证明中的任何纰漏，求助当时水平较高的丹麦数学家狄根，他也找不出纰漏，但凭经验他觉得应审慎处理这个困惑了三百年的难题。他回信说：阿贝尔年纪尚轻，他没有达到解决这个问题的目标，但我们仍承认他是稀有的天赋奇才。我并非想阻挠他向科学院提出论文，但希望他举一个实例加以演算，以资证明，这是必要的试金石。阿贝尔听从劝告，通过实例找到了证明中的谬误。过了三年，阿贝尔得出了完全相反的结论：五次或更高次的方程一般不能以根式求解。萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第31页第四十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期四阿贝尔由于没钱印刷，只好把内容浓缩为六页，于是文章艰涩难懂，加上印得乱七八糟，令人看不上。把文章寄给了巴黎科学院数学家柯西与勒让德。勒让德年事已高，转给柯西。柯西忙于自己的研究，看也不看扔在一旁。德国数学家雅可比恰巧也研究同一课题，他在别处看到阿贝尔的文章，十分钦佩，同时他知道阿贝尔论文早交巴黎科学院，但杳无音信。便写信给勒让德，愤怒地说：如此伟大的发现，甚至可能是本世纪最伟大的发现，阿贝尔先生两年前巳向贵院提出，何以阁下与同僚对此不闻不问？他要求科学院拿出原稿。柯西找回原稿，勒让德读后惊呼：他真的找到了我长期想要解决的问题的答案，他已经做出了世界上最困难的发现，他已经找到我40年来想寻找的答案！

萧文强,数学证明,1990年07月第1版,第32页第四十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期四法国大思想家卢梭描述，当我第一次通过计算发现：一个二项式的平方等于它的各项的平方和加上这两项之积的倍，根本不相信这一结果，直到我找到了一个能验证它的几何图形，情况才发生了根本变化我最喜欢把代数看做一种纯抽象的量，但当我们果真扩大它的应用范围时，我又喜欢看到这种扩展在线条上进行，否则我就什么也不能理解。第五十页，共六十九页，编辑于2023年，星期四德国物理学家马赫巧妙地使用一根铁丝证明了多边形内角和定理，一时传为佳话。第五十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四巧布直观背景:

O是正方形的中心，以AB为斜边向正方形外任作一个直角三角形ABE，联结OE，那么，不论E在什么位置上，总有角AEO=450，你相信吗？等价地说，以AB为直径向正方形外作半圆，则圆周上任一点E（与A不重合）对A，O两点所张的视角总是450，你不觉得这是很怪的事吗？！取三个与三角形ABE相同的三角形与正方形ABCD另三边拼接成正方形。那么，一目了然。贺贤孝P7，8第五十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第四卷中介绍了一个勾股定理的推广命题：设三角形ABC是一任意三角形，以AB，AC为边任意作两个平行四边形ABB1A1，ACC1A2。点M是B1A1与C1A2的交点，连AM，作BB2平行且等于AM，BB2、BC为边作平行四边形BCC2B2，则其面积等于平行四边形ABB1A1，ACC1A2的面积之和。

如图加上阴影线，则帕普斯的结果跃然纸上。第五十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四笛卡儿在《思维的指导法则》一书中所评价的用几何图形去表达这类事情是极为有利的，因为没有什么东西比几何图形更容易进入人们的思维。

数学家柯尔莫哥洛夫也指出：在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用几何直观的问题……几何想像，或如同平常人们所说的几何直觉，对于几乎所有数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作有着重大的意义。”贺贤孝P12第五十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期四法国数学家罗增儒，数学的领悟，河南科学技术出版社,1997P94-95第五十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期四吴振奎，吴彬，异曲同工，天津教育出版社,2007，P35-38第五十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期四吴振奎，吴彬，异曲同工，天津教育出版社,2007，P35-38正方体面涂色第五十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第五十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期四第五十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期四

刘徽析理以辞，解体用图。长期探索九章算术的奥秘，领悟其中道理，这不是推理又是什么呢?

析理以辞——逻辑推理解体用图——直观推理两者并用，即能获致简洁清晰而又严密完整的证明了．萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第11页第六十页，共六十九页，编辑于2023年，星期四罗增儒，数学的领悟，河南科学技术出版社,1997第六十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期四近代著名的德国数学家魏尔说得好：“逻辑是数学家为保持思想强健而遵守的卫生规则。萧文强,数学证明,1990年07月第1版,第41页所谓数学证明就是依照循守公认章法，去核实直觉是否导致正确答案的活动。我们不能否认证明的重要，但也不要把它强调为数学家的唯一活动。

萧文强,数学证明,1990年07月第1版,第41页五、小结：第六十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期四戴维斯(P．J.Davis)和赫什(R·Hersh)说得好：

在最好的情况下，证明通过揭示事物的核心而增强理解．证明提供新的数学．初学证明的人变得更加接近于新数学的创造．证明是数学的力量，是这门学科用来赋予定理的静态断言以活力的电压．戴再平.数学方法与解题研究.高等教育出版社,1996年04月第1版.P71第六十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期四法国数学家勒贝格说道：每当碰到有新发现，便需要引进逻辑作为控制，只有凭逻辑才能最终决定这发现是正确的，还是仅为幻象而已。因此，逻辑的作用虽重要，毕竟是次要吧。德国数学家克莱因：在某种意义上说，数学的进展主要归功于那些以直觉能力著称的人多于那些以严谨证明著称的人。