第七章 真空中的静电场

第七章真空中的静电场第一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四§7-1电荷库仑定律1.电荷摩擦起电和雷电：对电的最早认识两种电荷：正电荷和负电荷电性力：同号相斥、异号相吸电荷量：物体带电的多少第二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四2.电荷守恒定律对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则系统正负电荷的代数和保持不变。如：电荷守恒定律起电机第三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四宏观带电体的带电量qe，准连续夸克模型e=1.60210-19库仑，为电子电量3.电荷量子化电荷量子化密立根第四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四点电荷可以简化为点电荷的条件:Q1rddr<<观察点P1.库仑定律库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离r12（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。7-2库仑定律第五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四库仑定律1785年，法国库仑（C.A.Coulomb)适用于点电荷叠加性q0q1q2r02F2r01F1F库仑定律库仑第六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四库仑定律说明：1.单位制有理化0=8.8510-12C2·m-2·

N-13.距离平方反比关系的证明2.与万有引力的比较与启示电摆实验装置扭秤卡文迪许同心球实验草图库仑定律第七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例7-1按量子理论，在氢原子中，核外电子快速地运动着，并以一定的概率出现在原子核（质子〕的周围各处，在基态下，电子在半径ｒ＝0.529×10-10ｍ的球面附近出现的概率最大.试计算在基态下,氢原子内电子和质子之间的静电力和万有引力,并比较两者的大小.引力常数为G=6.67×10-11N﹒m2/kg2．

解:

按库仑定律计算,电子和质子之间的静电力为库仑定律第八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四应用万有引力定律,电子和质子之间的万有引力为由此得静电力与万有引力的比值为库仑定律第九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四可见在原子中,电子和质子之间的静电力远比万有引力大,由此,在处理电子和质子之间的相互作用时,只需考虑静电力,万有引力可以略去不计.而在原子结合成分子,原子或分子组成液体或固体时,它们的结合力在本质上也都属于电性力.库仑定律第十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例:在图中,三个点电荷所带的电荷量分别为q1=-86C,q2=50C,q3=65C。各电荷间的距离如图所示。求作用在q3上合力的大小和方向。解:选用如图所示的直角坐标系。q2q1q3F31F32F30.4m0.52m0.3mijx库仑定律第十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电荷q2作用于电荷q3上的力的大小为力沿x轴和y轴的分量分别为按库仑定律可算得q1作用于电荷q3上的

的大小为库仑定律第十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四力沿x轴和y轴的分量分别为根据静电力的叠加原理,作用于电荷q3上的合力为合力的大小为库仑定律第十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四合力与x轴的夹角为可见,由库仑定律算出的作用力是不小的,在距离一定时,它与带电体所带电荷量相关。例如两个各带电荷量为1C的带电体,当它们相距1m时,根据库仑定律算出其作用力达9.0×109

N,然而,通常在实验室里,利用摩擦起电使物体能获得的电荷量的数量级只是10-6C,此时相距1m时的静电力仅为10-2N的数量级,这就是说,实际上我们利用通常的起电方法不可能使一个有限大(例如半径为1m的球体)的物体的带电量达到1C或接近1C,因为早在电荷量聚集到此值前,周围的绝缘体已被击穿,物体上的电荷早已漏掉。所以通常遇到的静电力还是很小的,只能吸引轻微的物品。库仑定律第十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四§7-3电场电场强度1.电场两种观点{超距作用作用作用电场电荷1电荷2电场1电场2电荷1电荷2产生作用作用产生静电场：相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场。极光雷电第十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四2.电场强度试验电荷q0及条件{点电荷(尺寸小)q0足够小，对待测电场影响小定义电场强度q0q0电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。电场强度第十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四3.电场强度的计算（1）点电荷的电场（3）连续分布电荷的电场（2）场强叠加原理和点电荷系的电场电场强度的计算第十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四场点源点（1)点电荷的电场q+电场强度的计算第十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四iqq对的作用qiq2qq1（2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强电场强度叠加原理电场强度的计算第十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四场点点电荷系的电场q1+q2-电场强度的计算第二十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四解：例1.求电偶极子中垂面上的电场。r电偶极矩（电矩）++电场强度的计算第二十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电偶极子在电场中所受的力矩用矢量形式表示为：若rl+电场强度的计算第二十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电荷面分布电荷体分布电荷线分布dSdVdqP.ld(3)连续带电体的电场电荷元：计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐标分量积分。电场强度的计算第二十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四连续带电体的电场例题均匀带电直线的电场均匀带电圆环轴线上的电场均匀带电圆盘轴线上的电场电场强度的计算第二十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例7-4.求一均匀带电直线在P点的电场。

解：建立直角坐标系取线元dx带电将投影到坐标轴上xdxyθP电场强度的计算第二十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四积分变量代换代入积分表达式同理可算出xdxθPy电场强度的计算第二十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四当直线长度无限长均匀带电直线的场强：{极限情况，由电场强度的计算第二十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四

例7-5求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。xpR电场强度的计算第二十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四由对称性解：xpRr电场强度的计算第二十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四所以，由对称性当dq

位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。.电场强度的计算第三十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四Rrdr例7-6求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。解：由例4均匀带电圆环轴线上一点的电场xP电场强度的计算第三十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四讨论：1.当xR>>2.当<<xR无限大均匀带电平面的场强，匀强电场可视为点电荷的电场电场强度的计算第三十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电场线（E）线：在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一组曲线称为电场线。为了定量地描写电场，对电场线的画法作如下的规定：在电场中任一点处，通过垂直于电场强度E单位面积的电场线数等于该点的电场强度的数值。1.电场线dS7-4高斯定理第三十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四点电荷的电场线正电荷负电荷+电场线第三十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四一对等量异号电荷的电场线+电场线第三十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四一对等量正点电荷的电场线++电场线第三十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四一对异号不等量点电荷的电场线2q+q电场线第三十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四带电平行板电容器的电场+++++++++电场线第三十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四2.电场强度通量均匀电场中穿过与电场垂直的平面S的电场线总数，称为通过该平面的电场强度通量。将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量ds则电场穿过该面元的电通量为电场穿过某曲面的电通量为电场强度通量第三十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四不闭合曲面：闭合曲面：面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可正也可负；规定面元的法向单位矢量取向外为正。电场线穿出，电通量为正，反之则为负。电场强度通量第四十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四+q3.高斯定理1当点电荷在球心时高斯定理高斯第四十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四+q2任一闭合曲面S包围该电荷注意:穿过任意闭合曲面S的电场线条数与穿过球面的相同，因而电通量相同rS高斯定理第四十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四3闭合曲面S不包围该电荷+闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。高斯定理第四十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四高斯定理:高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。注意：在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。点电荷系连续分布带电体高斯定理第四十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四4.高斯定理的应用1.均匀带电球面的电场4.均匀带电球体的电场3.均匀带电无限大平面的电场2.均匀带电圆柱面的电场条件：电荷分布具有较高的空间对称性5.均匀带电球体空腔部分的电场高斯定理的应用第四十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四rR++++++++++++++++q例均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的高斯面.rR时，高斯面无电荷，解：高斯定理的应用第四十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四r0ER+R+++++++++++++++rqrR时，高斯面包围电荷q，Er关系曲线均匀带电球面的电场分布高斯定理的应用第四十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四Rr例7-7均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的高斯面a.rR时，高斯面内电荷b.rR时，高斯面内电荷解：高斯定理的应用第四十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四EOrRR均匀带电球体的电场分布Er关系曲线高斯定理的应用第四十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例7-8无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为。rl作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。高为l,半径为r（1）当r<R时，由高斯定理知解：高斯定理的应用第五十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四lr（2）当r>R时，均匀带电圆柱面的电场分布r0EREr关系曲线高斯定理的应用第五十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四EσE例7-9均匀带电无限大平面的电场.电场分布也应有面对称性，方向沿法向。解：高斯定理的应用第五十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。σESE圆柱形高斯面内电荷由高斯定理得高斯定理的应用第五十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四rbab

1.静电场力的功q静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。§7-5静电场的环路定理1点电荷电场中试验电荷q0从a点经任意路径到达b点。q0在路径上任一点附近取元位移rr+drdrra第五十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四2任意带电体系的电场中将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性电场力对试验电荷q0做功为总功也与路径无关。静电场力的功第五十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四结论：试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场力的功第五十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四2.静电场的环路定理试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对q0做的功A=？静电场力的功安培第五十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四

静电场的环路定理

在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。静电场力的功第五十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四静电力的功，等于静电势能的减少。1.电势能由环路定理知，静电场是保守场。保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。选b为静电势能的零点，用“0”表示，则§7-6电势高压发生器第五十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四某点电势能Wa与q0之比只取决于电场，定义为该点的电势2.电势电势差电势零点的选取是任意的。电场中两点电势之差沿着电场线方向，电势降低。AB电势第六十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四3.电势的计算1.点电荷的电势点电荷的电场2点电荷系的电势3连续分布带电体的电势q3q1r1r2Vr+q2q4r3r4P电势的计算第六十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例7-11.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解：以O为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，带电dq=ds=•2L•dL到P点距离P点电势：OLdLpxR电势的计算例题第六十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四由高斯定理知，电场分布为R解：例7-13.求一均匀带电球面的电势分布。P.1.当r<R时3.电势分布2.当r>R时r电势的计算例题第六十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电势分布曲线场强分布曲线EVRRrrOO结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。电势的计算例题第六十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四

解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为λ。计算在x轴上距直线为的任一点P处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。例7-12计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。电势的计算例题第六十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P点P1和点的电势差。无限长均匀带电直线在X轴上的场强为于是，过P点沿X轴积分可算得P点与参考点P1的电势差由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1m处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为电势的计算例题第六十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四由上式可知，在r>1m处,VP为负值；在r<1m处,VP为正值。这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势值却只有相对的意义。电势的计算例题第六十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四*§7-7电场与电势梯度的关系点电荷的等势面1.等势面在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。典型等势面第六十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电偶极子的等势面+等势面第六十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四电平行板电容器电场的等势面+++++++++等势面第七十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四在等势面上移动不作功即结论：电力线与等势面垂直。q0在等势面上移动,Edl与成角。θθEdlq01.2等势面与电场线的关系EdlS等势面第七十一页，共八十八页，编辑于2023年，星期四2.场强与电势的关系电势梯度2.1电势梯度在电场中任取两相距很近的等势面1和2，1UU+dU2P1nP2P3电势分别为U和U+dU，且dU>0等势面1上P1点的单位法向矢量为n与等势面2正交于P2点。在等势面2任取一点P3，设则场强与电势的关系电势梯度第七十二页，共八十八页，编辑于2023年，星期四U+dU1U2P1P2P3定义电势梯度方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。其量值为该点电势增加率的最大值。场强与电势的关系电势梯度第七十三页，共八十八页，编辑于2023年，星期四场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。电荷q从等势面1移动到等势面2，电场力做功电场力做功等于电势能的减少量写成矢量形式在直角坐标系中1U2P1P2P3U+dUnE2.2电势梯度与电场强度的关系场强与电势的关系电势梯度第七十四页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例7-14计算电偶极子较远处的电场。解：在直角坐标系中先写出电势的表达式，yP(x,y)-L/2+q-qL/2r-r+rOX等势面电场强度与电势梯度的关系第七十五页，共八十八页，编辑于2023年，星期四讨论：1.在X轴上，y=0，则与用叠加原理得到的结果一致。P(x,0)-L/2L/2xyOE+q-qP(0,y)E2.在Y轴上，x=0，则等势面电场强度与电势梯度的关系第七十六页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例.计算均匀带电圆环轴线上的电场。XopxRr解：P点电势P点电场与用叠加原理得到的结果一致。E等势面电场强度与电势梯度的关系第七十七页，共八十八页，编辑于2023年，星期四例计算均匀带电圆盘轴线上的电场。pO与用叠加原理得到的结果一致。x讨论：当R时，即无穷大均匀带电平面的电场。解：R等势面电场强度与电势梯度的关系第七十八页，共八十八页，编辑于2023年，星期四§7-8带电粒子在静电场中的运动把电荷分为激发电场的固定部分和受电场作用的运动部分完全是相对的，是一级近似。电荷q受到的电场作用力正电荷受到的电场作用力与电场方向一致，负电荷受到的电场作用力与电场方向相反。第七十九页，共八十八页，编辑于2023年，星期四1.电偶极子在均匀外场中所受的作用。解：如图所示，设在均匀外电场中，电偶极子的电矩的方向与场强方向间的夹角为θ，作用在电偶极子正负电荷上的力的大小均为带电粒子在静电场中的运动第八十页，共八十八页，编辑于2023年，星期四写成矢量式为和的大小相