第一章 数值分析与科学计算引论

第一章数值分析与科学计算引论第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四数值分析研究的对象与特点

误差的来源与误差分析的重要性误差的基本概念

数值运算中误差分析的方法与原则小结

第一章绪论第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四算法的研究和应用正是本课程的主题！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会“用数学”解决实际问题--会用计算机进行科学计算第四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第一节数值分析研究的对象与特点

数值分析也常称为计算方法，或者叫数值计算方法。是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，是把理论与计算机紧密结合起来，着重研究数学问题的数值方法及其理论。它的内容包括：第五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四建立数学模型选取数值计算方法程序设计上机计算求得结果科学计算解题过程实际问题第六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四数值分析具有的特点：第一：面向计算机；第二：有可靠的理论分析；第三：有较好的计算复杂性；第四：有数值试验；第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二节误差来源与误差分析的重要性

模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别；观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差；由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷截断误差过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差；舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差。第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四过失误差由于模型错误或方法错误引起的误差.这类误差一般可以避免第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第三节误差的基本概念1．绝对误差与绝对误差限例2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。1.45米的绝对误差=？不知道！是近似值的绝对误差,简称为误差。

定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称

（1.5）第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即，，则称

为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道x范围为即x落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划x*的精度。第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四2．相对误差和相对误差限（1.6）定义2：设x是准确值，x*是近似值，称满足

则称为的相对误差限。

为近似值的相对误差，相应地，若正数，relativeerror第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例1.解:第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定义有6位有效数字有4位有效数字有8位有效数字只有4位有效数字3有效数字第十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四且因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果:或写成标准形式：第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例3.求下列四舍五入近似值的有效数字个数.3个3个4个4个3个5个第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定理2.证明:第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四即则有则由定理1.可知第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例6:解:第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四定理3．该结论可以参照定理2的证明，请同学们自证第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例7.解:则有定理3,相对误差满足即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%.第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四即第四节数值运算中的误差分析方法与原则第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期四绝对误差增长因子相对误差增长因子思考:试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期四关于算法的数值稳定性的实际例子

例8.计算定积分解:第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期四误差放大5千倍!但如果利用递推公式第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期四因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1.四则运算中的稳定性问题(1)防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算误差会放大误差不会放大第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期四误差的传播与积累例：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题第三十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期四而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.第三十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期四(2)作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失由于在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等第三十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期四例9.解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上第三十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期四上式是解二次方程的数值公式第三十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期四(3)避免小数作除数和大数作乘数由误差传播的估计式在算法设计时,要避免这类算法