第一节 二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期四柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【解法】类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy

面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【步骤如下】②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期四２．求平面薄片的质量⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量【分析】

=常数时，质量=·，其中为面积.⑷取极限：得薄片总质量若为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期四两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期四二、二重积分的概念第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期四积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期四2.【对二重积分定义的说明】存在的必要条件.(1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关代替？不能用连续是二重积分存在的充分条件第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期四3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.［几个特殊结果］第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期四根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D（特殊分割的二重积分与任意分割的二重积分相等）故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为即第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【性质1】【性质2】（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分【线性性质】线性性质可以推广至有限个函数的情形。第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【性质3】对区域具有可加性【性质4】若为D的面积，【性质5】若在D上特殊地则有比较性质第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【性质6】【性质7】（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）【几何意义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【证明】以下仅证性质7（中值定理）由估值性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理变形后【得证】第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【例1】

比较下列积分的大小:其中【解】积分域D的边界为圆周它与x

轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上作业题、课后习题第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【解】第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【解】第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【解】【分析】被积函数在积分区域上的正负决定二重积分的符号.（比较性质的特例）第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【解】课后习题第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【解】区域D的面积故即课后习题第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【例7】1.设函数D位于x轴上方的部分为D1,在D上当区域关于y

轴对称,函数关于变量x

有在闭区域D上连续,D关于x

轴对称,则则奇偶性时,仍有类似结果.第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期四在第一象限部分,则有【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性）【例如】第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期四二重积分的定义二重积分的性质（7条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【思考题】

1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.在二重积分定义中能否用来代替?为什么?第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期四1.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．【思考题解答】2.不能.第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期四【练习】——机动被积函数相同,且非负,【解】

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:第二十七页，共二十八页，编