初中数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数2二次函数与一元二次方程 名师获奖

中物理沪科版数学九年级上册第21章二次函数与反比例函数21.3.2二次函数与一元二次方程、一元二次不等式知识回顾

二次函数

y=ax2+bx+c的图象

一元二次方程ax2+bx+c=01、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.与x轴的交点的横坐标就是的根.反之，

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是知识回顾2、抛物线与x轴的交点的个数、一元二次方程的根与b2-4ac的关系如下表：△=b2-4ac的符号二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况图象与x轴的交点情况a>0a<0

∆＝0∆＜0∆＞0yxox2x1yxox2x1yxoyxoyxoyxo与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)与x轴有一个交点(-,0)b2a与x轴没有交点

有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根没有实数根x=x1，x=x2课前热身1、一次函数y=kx+b的图像如图，则方程kx+b=0的解是

.归纳与总结：一次函数与一元一次方程的关系

从“函数值”的角度看求一元一次方程kx+b=0

的解．

求一次函数y=kx+b中y=0

时的

x值

.求一元一次方程kx+b=0的解．

从“函数图象”的角度看

求直线y=kx+b

与x轴交点的横坐标.

O-21x=-2归纳与总结：一次函数与一元一次不等式的关系

求kx+b＞0(或＜0)的解集

就是求直线y=kx+b在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围.

求

kx+b＞0(或＜0)的解集

就是求一次函数y=kx+b中y>0(或y<0)时，x的范围.2、如图，直线y=kx+b(k≠0)交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b>0的解集是

.OA(-2,0)B(0,3)x>-2课前热身从“函数值”的角度看从“函数图象”的角度看

求出一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，求出一元二次方程的解和一元二次不等式的解集呢？导入新课借助直线y=kx+b(k≠0)与x轴的相交情况，

我们可以直观地

能否借助抛物线与x轴相交的情况，

所以x=

，x=

是一元二次方程x2+3x+2=0的解.探究新知

观察右图，可以清楚看到二次函数y=x2+3x+2的图像被x轴分成

部分：一部分与x轴相交，一部分在

，一部分在

.

(1)图像与x轴相交的部分，即y=

，也就是x2+3x+2=0.这时，由图像得，自变量x的值是

和

.三x轴上方x轴下方0-2-1-2-1归纳与总结：一次函数与一元二次方程的关系从“函数值”的角度看从“函数图象”的角度看

求一元二次方程ax2+bx+c=0的根

求一元二次方程ax2+bx+c=0的根

就是求抛物线

y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.

就是求二次函数y=ax2+bx+c中y=0时，x的值.探究新知

(3)图像在x轴下方部分，即y

，也就是x2+3x+2<0.这时，由图像得，自变量x取值范围是

.(2)图像在x轴上方部分，即y

，也就是x2+3x+2>0.这时，由图像得，自变量x取值范围是

.>0

所以

是一元二次不等式x2+3x+2>0的解集.

所以

是一元二次方程________________的解集.

x<-2或x>-1x<-2或x>-1<0-2<x<-1-2<x<-1x2+3x+2<0归纳与总结：一次函数与一元二次不等式的关系从“函数值”的角度看从“函数图象”的角度看

求一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)解集

求一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)解集就是求抛物线y=ax2+bx+c

在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围.就是求二次函数y=ax2+bx+c中y>0(或y<0)时，x的范围.1、

函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____

_____;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3巩固练习2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A(2.18,-0.51)、B(2.68,0.5)，则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能是（）A、2.18B、2.68C、-0.51D、2.45D3、下表中列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x···-3-2-101···y···-11-5-111···A．-3＜x1＜-2B．-2＜x1＜-1C．-1＜x1＜0D．0＜x1＜1C4、若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间(不含0和1)，则a的取值范围是

.a>35、（2017•咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是

．x<-1或x>46、如图，已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=

x

的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3C2343237、已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，若y<0，则x的取值范围是()

A．-2＜x＜3B．0＜x＜3

C．x＜-2或x＞8

D．-2＜x＜8D8、函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<4y9、如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3B．x≤-1C．x≥1D．x≤-1或x≥3D10、已知二次函数y=ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x···-10123···y···105212···0<x<4则当y<5时，x的取值范围是

.11．（2017秋•路北区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．(1)写出方程ax2+bx+c=0的根；(2)写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．(4)若方程ax2+bx+c=k-2有实数根，写出k的取值范围．x1=0，x2=2x<0或x>2k<2k≤412、如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是

.1(2,0)x=22Ox13、已知二次函数y=-x2+bx+c，且不等式-x2+bx+c

>0的解集为-5<x<-1，则b=

.1212-314、如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：(1)当a>0时,ax2+bx+c<0无解；(2)当a＜0时,ax2+bx+c<0的解集是全体实数.3-1Ox15．（2007•内江）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根D-216、如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是（）ABCDA15、已知函数y=

−(x−1)2+1(x≤3)−(x−5)2+1(x＞3)(1)若使y=k成立的x的值恰好有三个，则k=

;(2)若使y=k成立的x的值恰好有两个，则k的取值范围为

.16、已知函数y=

x2-2x(x≤2)−x2+6x-8(x＞2)若使y=k-1成立的x值恰好有三个，则k的取值范围为

.-3k=1或k＜-30<k<217、先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题.用类似的方法解一元二次不等式-x2-5x+6＞0．例题：解一元二次不等式x2-3x+2>0.解：令y=x2-3x+2，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2-3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．填空：(1)x2-3x+2＜0的解集为

；1＜x＜2(2)x2-1＞0的解集为

；x＜-1或x＞1画出y=x2-3x+2如图所示18、已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(α,0)，B(β,0)，且α2+β2=17，则k=

.19、已知：抛物线y＝x2＋ax＋a-2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a-2与x轴都有两个不同的交点