初中数学沪科版九年级上册第22章相似形2相似三角形的判定 全国获奖

中物理沪科版数学九年级上册第22章相似形22.2.3相似三角形的判定定理2怎样判定两个三角形相似？1、定义法：对应角相等，对应边长度的比相等叫做的两个三角形相似三角形.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'几何语言:∴

△ABC∽△A'B'C'反过来∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'∵△ABC∽△A'B'C'注意：

又是

它的一个性质.相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，知识回顾ABCA'C'B'利用预备定理判定两个三角形相似时，

只需”平行”这一个条件就能判定.怎样判定两个三角形相似？知识回顾x型相似

截得的三角形平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，与原三角形相似.2、预备定理ABCDE①直线与其他两边相交；ABCDE

②直线与其他两边的顺向延长线相交；ABCDE

③直线与其他两边的反向延长线相交；几何语言:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCA型相似注意：那么这两个三角形相似.3、相似三角形的判定定理1如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，ABCA'B'C'，简记为：两角分别相等的两个三角形相似.知识回顾几何语言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’,

∠B=∠B’∴

△ABC∽△A'B'C'怎样判定两个三角形相似？特别提醒：一般地，公共角、对顶角、同角的余角(补角)都是相等的角，解题时应注意挖掘题中的隐含条件.探究1已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A=∠A'.求证：△ABC∽△A'B'C'ABCA'B'C'证明：过点D作DE∥BC，交AC于点E，在△ABC的边AB上，截取AD=A'B'，△ADE∽△ABC∴DE则，ABA'B'=ACA'C'ABAD=ACAE∵

AD=A'B'∴ABA'B'=ACAE∵ABA'B'=ACA'C'∴ACA'C'=ACAE∴A'C'=AE在△ADE与△A'B'C'中AD=A'B'∵∠A=∠A'A'C'=AE∴

△ADE≌△A'B'C'∴

△ABC∽△A'B'C'(SAS)

否则不能判定两个三角形相似.于是得到判定三角形相似的以下定理：并且夹角相等，相似三角形的判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，ABCA'B'C'，简记为：两边成比例的两个三角形相似.归纳总结几何语言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’∴

△ABC∽△A'B'C'那么这两个三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且夹角相等的特别提醒：利用该定理判定三角形相似时，必须注意是两边及夹角，即相等的角必须是成比例的两边的夹角对应练习1、在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.问这两个三角形相似吗?为什么利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似的步骤：解：相似理由如下：∵∠A=∠E=48°，ABEF=1.52.1=，57ACDE=22.8=57∴

ABEF=ACDE∴

△ABC∽△DEF特别提醒：①找出两个三角形中相等的那个角；②再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按从小到大的排列找出对应边.③最后看两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.对应练习2、在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么.解：相似理由如下：在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得另一边的直角边为20cm.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，夹直角的两条边对应成比例，即315=420∴

Rt△ABC∽Rt△A'B'C'3、如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是()对应练习A.ACCD=ABBCB.CDAD=BCACC.AC2=AD·ABD.CD2=AD·BDC4、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B.射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且.对应练习ADAC=DFCG(1)求证：△ADF∽△ACG；ADAC=12(2)若，求的值.AFFG(1)证明:∵∠AED=∠B，∠DAE=∠BAC∴

∠ADF=∠C又∵

ADAC=DFCG∴

△ADF∽△ACG(2)解：△ADF∽△ACG∴

ADAC=AFAG又∵

ADAC=12∴

AFAG=12∴

AFFG=15、如图，在△ABC中，AB=16，AC=8，在AC上取一点D，使AD=5，如果在AB上取一点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长.对应练习ABCD解：①如图，当AD和AC是对应边时，EABCDEAEAB=ADAC∵AB=16，AC=8，AD=5∴AE16=58解得AE=10②如图，当AD和AB是对应边时，

AEAC=ADAB∵AB=16，AC=8，AD=5∴AE8=516解得AE=52∴∴△ADE∽△ACB△ADE∽△ABC6、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？对应练习解：①当CP和CB是对应边时，CPCB=CQCA∴16-2t16=t12解得t=4.8②当CP和CA是对应边时，

CPCA=CQCB∴∴△CPQ∽△CBA△CPQ∽△CAB∴16-2t12=t16解得t=641116122tt16-2t

综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．6411(1)∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，AB=，BC=1.7、如图，已知：△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.(1)求证：△BFG∽△FEG；(2)求BF的长.对应练习解：∴BG=3BC=3，FG=AB=，GE=BC=1∵BGFG=3=，FGEG=1=∴BGFG=FGEG(2)由(1)知：△BFG∽△FEG∴BGFG=BFEF∵FE=FG∴BF=BG=3又∵∠G=∠G∴△BFG∽△FEG

8、如图，BC与DE相交于点O.问：

(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？

(2)当AC：AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？对应练习解：(1)∵∠A=∠A∴当∠B=∠D时，△ABC∽△ADE.(2)∵∠A=∠A∴当AC：AE=AB：AD

时，△ABC∽△ADE.

9、如图，D是△ABC内的一点，E是△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4．对应练习求证：(1)△ABD∽△CBE；

(2)△ABC∽△DBE．解：(1)∵∠1=∠2，∠3=∠4∴△ABD∽△CBE(2)∵∠1=∠2∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC∴∠ABC=∠DBE∵△ABD∽△CBEABCB=BDBE∴ABDB=BCBE∴∴△ABC∽△DBE10、如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH均是正方形，且B，C，F，G在一直线上，连接AC，AF，AG.(1)求证：△ACF∽△GCA；(2)求∠AFB+∠AGB的度数.

对应练习证明:(1)∵设正方形ABCD，DCFE，EFGH的边长为a∴CF=a，AC=a，CG=2a∴

ACGC=2，CFCA=1=2∴

ACGC=CFCA又∵∠ACF=∠GCA∴△ACF∽△GCA(2)由(1)得：△ACF∽△GCA∴∠FAC=∠AGB∴∠AFB+∠AGB=∠AFB+∠FAC=∠ACB=45°11、如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.对应练习求证：△ADQ∽△QCP证明：∵BP=3PC∴

CP=

BC=CD1414∵Q是CD的中点∴

CQ

=

DQ=CD12=

AD12∴

ADCQ=DQCPADAD12=2，=CD14=2CD12∴

ADCQ=DQCP又∵∠C=∠D=90°∴△ADQ∽△QCP本节课你有什么收获？

否则不能判定两个三角形相似.并且夹角相等，相似三角形的判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，ABCA'B'C'，简记为：两边成比例的两个三角形相似.归纳总结几何语言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’∴

△ABC∽△A'B'C'那么这两个三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且夹角相等的特别提醒：利用该定理判定三角形相似时，必须注意是两边及夹角，即相等的角必须是成比例的两边的夹角怎样判定两个三角形相似？1、定义法：归纳总