第一节随机变量及分布函数

第一节随机变量及分布函数第一页，共二十二页，编辑于2023年，星期四如果以记向区间投点的坐标，并令易知，对于任意的值有从而第二页，共二十二页，编辑于2023年，星期四由此可得为明确随机变量的统计规律，只需对任意的实数知道概率即可。并将此概率记为即-----分布函数第三页，共二十二页，编辑于2023年，星期四定义3.1定义在样本空间上，取值于实数域的函数称为是样本空间上的（实值）随机变量。称为随机变量ξ的概率分布函数，简称为分布函数或分定义3.2设ξ是一随机变量，x为任意实数，函数布。第四页，共二十二页，编辑于2023年，星期四（3）F(x)是右连续的.即对任意的实数x,有（2）（1）F(x)是一个单调不减函数，若则有第五页，共二十二页，编辑于2023年，星期四证明：(2)由F(x)的定义易得利用F(x)的单调性，为证只要证考虑事件：则则由概率的性质知，此即由概率的连续性，得第六页，共二十二页，编辑于2023年，星期四类似地可以证明：第七页，共二十二页，编辑于2023年，星期四（3）由F(x)的单调性知，其任一点的右极限必存在，为证明右连续，只要对某一列单调下降的数列且满足有成立即可。因为第八页，共二十二页，编辑于2023年，星期四由此即得第九页，共二十二页，编辑于2023年，星期四例1：口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球,解：设ξ表示取出的3个球中的白球数。ξ的可能求取出的三个球中的白球数的分布函数取值为1，2，3。而且由古典概率可算得第十页，共二十二页，编辑于2023年，星期四第十一页，共二十二页，编辑于2023年，星期四于是，ξ的分布函数为：o123xF(x)0.30.91第十二页，共二十二页，编辑于2023年，星期四一般地，设离散型随机变量ξ的分布律为其分布函数可表示如下：第十三页，共二十二页，编辑于2023年，星期四例设随机变量ξ

的分布律为：ξ012P0.30.40.3求ξ的分布函数，并求第十四页，共二十二页，编辑于2023年，星期四例2:考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标ξ。那么ξ是一随机变量，根据试验条件可以认为ξ取到[0，1]上任一点的可能性相同。求ξ的分布函数。当x＜0时解：由几何概率的计算不难求出ξ的分布函数所以：第十五页，共二十二页，编辑于2023年，星期四第十六页，共二十二页，编辑于2023年，星期四例3一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假设射击都能中靶，以ξ表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量ξ的分布函数。解若x＜0,则是不可能事件，于是若由题意其中k

是某一常数，为了确定k

的值，取有但是，由题意知第十七页，共二十二页，编辑于2023年，星期四从而得即于是若是必然事件，于是第十八页，共二十二页，编辑于2023年，星期四故ξ的分布函数为12xoF(x)第十九页，共二十二页，编辑于2023年，星期四请同学们自己看教科书109页的例3.1（续）。由泊松分布导出指数分布的例子。例设母鸡在任意的的时间间隔内下蛋个数服从问两次下蛋之间的“等待时间”服从怎样的分布函数？解设前一次下蛋时刻为0，因为不可能为负，所以当时，显然有而当时，因为在等待时间内鸡不下蛋，即第二十页，共二十二页，编辑于2023年，