初中数学中考数学中考复习专题“图形的认识”创新题选讲(共43张)

“图形的认识“创新题选讲“图形的认识”创新题选讲课时目标熟悉并能够解答与“图形的认识”内容有关的开放型问题、新定义型问题、图案设计题、探索型问题、操作型问题、阅读理解题、课题研究型问题，在此过程中力求逐步形成探索能力，并培养一定的创新精神．“图形的认识”创新题选讲AE＝CE考点演练考点一与“图形的认识”有关的开放型问题例1(2018·济宁)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E.AD、CE相交于点H.请你添加一个适当的条件：_______________，使△AEH≌△CEB.“图形的认识”创新题选讲考点演练考点一与“图形的认识”有关的开放型问题由AD⊥BC，CE⊥AB，得∠ADB＝∠AEH＝∠CEB＝90°.易知∠EAH＝∠ECB，这样△AEH与△CEB中有两组相等的角，此时只要添加一组边相等即可证得△AEH≌△CEB.思路点拨“图形的认识”创新题选讲解析：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH＝∠CEB＝∠ADB＝90°.∴∠B＋∠EAH＝∠B＋∠ECB＝90°.∴∠EAH＝∠ECB.∴添加条件AE＝CE或∠BAC＝45°可根据“ASA”证明△AEH≌△CEB；添加条件AH＝CB或BE＝HE可根据“AAS”证明△AEH≌△CEB.故填AE＝CE(或HE＝BE或AH＝CB或∠BAC＝45°)．考点演练考点一与“图形的认识”有关的开放型问题“图形的认识”创新题选讲考点演练考点一与“图形的认识”有关的开放型问题三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形专用)．根据题中已有条件可以证明两个三角形中有两组角对应相等，但至少要有一组边对应相等，才能判定两个三角形全等，所以本题能添加的条件是一组对应边相等或者是能使一组对应边相等的条件．方法归纳例2(2018·内江)问题引入：如图①，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝__________(用含α的式子表示)；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__________(用含α的式子表示)．90°+120°+α考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题拓展研究：(2)如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝__________(用含α的式子表示)，并说明理由．(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们相交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______________

．120°-α“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题

(1)如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出答案，同理，如图②时，可得出答案．(2)同(1)，如图③时，可得出答案．(3)同(1)即可得出答案．思路点拨“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题解析：(1)如题图①，在△ABC中，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴∠CBO＝

∠ABC，∠BCO＝

∠ACB.∵∠A＝α，∴∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)

＝180°－(180°－α)＝180°－90°＋

α＝90°＋

α.“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题解析：如题图②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)

＝180°－(180°－∠A)

＝180°－(180°－α)

＝180°－60°＋

α

＝120°＋

α.故填90°＋α；120°＋

α.“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题解析：(2)120°－

α.理由：如题图③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－(∠DBC＋∠ECB)

＝180°－[360°－(∠ABC＋∠ACB)]

＝180°－[360°－(180°－∠A)]

＝180°－(180°＋α)＝180°－60°－

α＝120°－

α“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题解析:点拨：∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－(∠DBC＋∠ECB)

＝180°－[360°－(∠ABC＋∠ACB)]

＝180°－[360°－(180°－∠A)]

＝180°－(180°＋α)＝

·180°－

＝

“图形的认识”创新题选讲考点演练考点二与“图形的认识”有关的规律探索型问题这类问题的解题关键是要能通过特殊情况归纳出一般规律．在求解规律探究型问题时，一般要先从特殊情况入手，归纳出一般情形，进而猜想验证，得出结果．方法归纳“图形的认识”创新题选讲考点演练考点三与“图形的认识”有关的新定义型问题例3(2018·湖州)定义：若点P(a，b)在函数

的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax2＋bx称为函数的一个“派生函数”.例如：点(2,

)在函数的图象上，则函数y＝2x2＋x称为函数

的一个“派生函数”．“图形的认识”创新题选讲C考点演练考点三与“图形的认识”有关的新定义型问题现给出以下两个命题：①存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧；②函数的所有“派生函数”的图象都经过同一点，则下列判断正确的是(

)A.命题①与命题②都是真命题B.命题①与命题②都是假命题C.命题①是假命题，命题②是真命题D.命题①是真命题，命题②是假命题“图形的认识”创新题选讲考点演练考点三与“图形的认识”有关的新定义型问题本题应该弄清派生函数的意义．解决本题时，(1)可根据二次函数y＝ax2＋bx的性质：当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧判断．(2)根据“派生函数”y＝ax2＋bx，当x＝0时，y＝0，其图象经过原点，不难得出结论．思路点拨“图形的认识”创新题选讲考点演练考点三与“图形的认识”有关的新定义型问题解析：①∵P(a，b)在

上，∴a和b同号．∴对称轴在y轴的左侧．∴存在函数

的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．②∵函数

的所有“派生函数”为y＝ax2＋bx，∴当x＝0时，y＝0.∴所有“派生函数”y＝ax2＋bx的图象都经过原点．∴函数的所有“派生函数”的图象都经过同一点是真命题．故选C.“图形的认识”创新题选讲考点演练考点三与“图形的认识”有关的新定义型问题对于新定义型阅读理解问题，深刻理解并掌握题目中所提供的定义或方法是解决后面问题的关键所在，因此解决此类问题，一定要认真体会所给方法，应用所给知识解决问题，难度一般不大．方法归纳“图形的认识”创新题选讲当堂反馈1.(2018·泰州)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组的是(

)A.1，2，3

B.1，1，C.1，1，D.1，2，

D“图形的认识”创新题选讲当堂反馈2.(2018·青海)如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__________(只需写一个，不添加辅助线)．

AB=DE“图形的认识”创新题选讲当堂反馈3.(2018·临沂)一般地，当α、β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如：sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°×cos30°＋cos60°×sin30°＝×＋×＝1.类似地，可以求得sin15°的值是________．

“图形的认识”创新题选讲当堂反馈4.(2018·大庆)如图①是一个三角形，分别连接这个三角形的三边中点得到图形②，再连接图②中间小三角形的三边中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为________．

4n-3“图形的认识”创新题选讲当堂反馈5.(2018·茂名)某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB＝CD，____________．(1)补全求证部分；(2)请你写出证明过程．证明：

BC＝DA“图形的认识”创新题选讲当堂反馈解析：答案不唯一，如（1）BC＝DA

（2）证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，BC∥DA.

∴∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC.

又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴AB＝CD，BC＝DA“图形的认识”创新题选讲当堂反馈6.(2018·北京)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”．如图为点P、Q的“相关矩形”的示意图．(1)已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(3，1)，求点A、B的“相关矩形”的面积；“图形的认识”创新题选讲当堂反馈②点C在直线x＝3上，若点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC对应的函数解析式．(2)⊙O的半径为，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．“图形的认识”创新题选讲当堂反馈解：(1)①∵A(1，0)、B(3，1)，

∴点A、B的“相关矩形”的长和宽分别是2和1.∴点A、B的“相关矩形”的面积为2×1＝2②∵点C在直线x＝3上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，∴点C的坐标为(3，2)或(3，－2)．设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A、C分别代入直线AC对应的函数解析式，得，解得则直线AC对应的函数解析式为y＝x－1或y＝－x＋1

.“图形的认识”创新题选讲当堂反馈解：(2)①∵点M、N的“相关矩形”为正方形，∴MN是正方形的对角线；②无论m的值怎样变化，所有可能的点M都在直线y＝3上；③点N在⊙O上．由①②③知，直线MN与⊙O相交或相切，与直线y＝3相交，且与x轴的夹角为45°，如图所示．当直线MN与⊙O相切于点N1时，设MN交y轴于点P1，连接ON1.∵点M、N的“相关矩形”为正方形，∴∠M1＝45°.∴∠OP1N1＝45°.∵MN与⊙O相切，切点为N1，∴∠ON1P1＝90°.∴∠N1OP1＝45°.∴N1O＝N1P1.∵⊙O的半径为，∴N1O＝N1P1＝.由勾股定理，得OP1＝2.设直线y＝3交y轴于点Q，连接M1Q，则OQ＝3，∴P1Q＝5.∵∠M1＝∠M1P1Q＝45°，“图形的认识”创新题选讲当堂反馈∴△M1P1Q是等腰直角三角形．∴M1Q＝5.∴点M1的横坐标为－5.同理可求得点M2的横坐标为－1，点M3的横坐标为1，点M4的横坐标为5.∴可以得到m的取值范围为1≤m≤5或－5≤m≤－1“图形的认识”创新题选讲当堂反馈7.(2018·淮安)阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示的形状，再展开得到图③，其中CE、CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′、FD′相交于点O.“图形的认识”创新题选讲当堂反馈简单应用：(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是________；(2)如图③，当∠BCD＝120°时，∠AEB′＝________°；(3)当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有________个(包含四边形ABCD)；正方形805“图形的认识”创新题选讲当堂反馈拓展提升：当图③中∠BCD＝90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．“图形的认识”创新题选讲当堂反馈解：∠AB′E＝45°理由：如图，连接AO、CO.∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD为矩形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．∵∠BCD＝90°，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，∴∠BCE＝∠ECF＝∠FCD＝30°.∴∠BEC＝∠DFC＝60°.由折叠得△CBE≌△CB′E，△CDF≌△CD′F，∴CB′＝CD′＝CD，∠CEB′＝∠CFD′＝60°，∠CD′F＝∠CB′E＝90°.根据HL可证Rt△CD′O≌Rt△CB′O，∴∠COD′＝∠COB′，OD′＝OB′.又∵∠D′EO＝∠B′FO＝60°，∠ED′O＝∠FB′O＝90°，OD′＝OB′，“图形的认识”创新题选讲当堂反馈∴△ED′O≌△FB′O.∴EO＝FO，∠EOD′＝∠FOB′.根据∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠BCE＝∠DCF，得△CBE≌△CDF.∴BE＝DF.∵AB＝AD，BE＝DF，∴AE＝AF.∴△AOE≌△AOF.∴∠AOE＝∠AOF.∵∠EOD′＝∠FOB′，∠COD′＝∠COB′，∴∠AOE＋∠EOD′＋∠COD′＝∠AOF＋∠FOB′＋∠COB′.∴A、O、C三点共线.∴∠OAF＝45°.设BE＝a，则BC＝，AE＝

，EC＝2a，ED′＝，“图形的认识”创新题选讲当堂反馈EO＝FO＝.∵，∴.∵∠AEB′＝∠OFA，∴△AEB′∽△OFA.∴∠AB′E＝∠OAF＝45°.“图形的认识”创新题选讲当堂反馈8.(2018·陕西)问题提出：(1)如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究：(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.在边BC、CD上是否分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．“图形的认识”创新题选讲当堂反馈问题解决：(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3m，AD＝6m，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝m，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF<BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．“图形的认识”创新题选讲当堂反馈解：(1)如图①，△ADC即为所求(2)存在.如图②，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG、EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，∴此时四边形EFGH的周长最小．在BC上任取一点G′，在CD上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.由题意，得BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝AD－AE＝2，∠A＝90°，“图形的认识”创新题选讲当堂反馈∴AF′＝6，AE′＝8.∴E′F′＝10，EF＝.∴四边形EFGH周长的最小值＝EF＋FG＋