第三章 应力与应变

第三章应力与应变第一页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.1力和应力的概念1、体积力（体力）——作用在物体微元体积上的力（如重力、惯性力、电磁力）

ABOyzxA点的体积力，量纲N/m32、面积力（面力）——沿着物体表面的分布力（风力、液体压力、两物体间的接触力）第二页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3、内力——物体内部两部分之间因外力等因素产生相互作用力。B点的面积力，量纲N/m24、应力当有外荷载作用时，物体内产生的内力。n极限定义为外法线为n的截面上M点处的应力。和截面方位及点的位置有关。(3.1）第三页，共六十三页，编辑于2023年，星期四5、全应力矢量的分解，正应力和剪应力若把应力矢量沿微分面的法线方向和切线方向分解，则沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力成为剪应力。用数学式子可以表示为式中：n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位矢量。全应力和应力分量之间有(3.2)(3.3)第四页，共六十三页，编辑于2023年，星期四研究具体问题时，总是在一个可以选定坐标系里进行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系方向进行分解。(3.4)第五页，共六十三页，编辑于2023年，星期四6应力张量物体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。研究一点处的应力状态，需要研究各微分面上的应力情况。现过物体内某一点M分别截取三个相互垂直的微分面，并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的方向一致。MxyzonyxzOM第六页，共六十三页，编辑于2023年，星期四若把三个微分面上的应力矢量沿三个坐标轴分解，得应力分量的正负规定：正面正向为正，负面负向为正反之为负。(3.5)第七页，共六十三页，编辑于2023年，星期四一点处互相垂直的三个微分面（正六面体的三对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整体组成了一个二阶张量，称为应力张量，而其中的每一个量，称为应力张量的分量。记应力张量为，并表示为后面的讨论将证明这9个量的各个分量在坐标旋转时，服从二阶张量的坐标表换规律，因此为二阶张量。(3.6)第八页，共六十三页，编辑于2023年，星期四7、一点处的应力状态的描绘应力张量描绘了一点处的应力状态，即只要知道了一点的应力张量，就可以完全确定通过该点的各微分面上的应力。证明：假想过物体内任意一点M作三个互相垂直的微分面，并在点M附近作一个与坐标轴倾斜的任意微分面，这四个微分面相交组成的四面体微元如图所示。nyxzABCM考察四面体平衡。第九页，共六十三页，编辑于2023年，星期四记斜截面ABC的单位法向量n的方向余弦为,设体积力在三个坐标方向的分量为X、Y、Z,点M到斜截面的距离为，则由平衡条件有第十页，共六十三页，编辑于2023年，星期四即有采用张量下标记法和爱因斯坦求和约定，有由微单元体MABC的力矩平衡条件（）等，得(3.7)(3.8)(3.9)第十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期四结论：1）应力张量是一个对称张量，9个应力分量中只有6个是独立的；2）式（3.7)或（3.8)给出了物体内任意一点的9个应力分量与过该点的任意斜截面上应力分量的关系。3）任意微分面（斜截面）上的全应力及正应力和剪应力可通过下式来计算（3.10)其中第2式(3.11)第十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期四8应力分量的坐标变换规律应力张量是一个二阶张量，因此，在数学上，应力张量的各分量在坐标变换时，要服从二阶张量的坐标变换规律。容易证明，如果坐标系仅作平移变换，则同一点的各应力分量是不会发生变化的；只有在坐标系作旋转变换时，同一点的各应力分量才会改变。下面证明给出坐标旋转时应力张量所服从的规律。设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为第十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期四现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表：xyzX’Y’Z’在新坐标系Ox’y’z’里，该点的应力张量表示为第十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期四根据前面的定义，应力分量表示过M点且外法线方向为x’的微分面的应力矢量在三个新坐标系的分量。设应力矢量在旧坐标系Oxyz里的三个分量为，则（3.10)的第二式有(3.12)第十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期四将(3.7)和(3.9)代人上式，则上式可以改写为同理可以写出其它应力分量，经整理后可简写为(3.13)上式就是应力张量各分量在坐标旋转变换时所服从的变换规律，它恰好符合二阶张量定义，剪应力互等表明它是对称张量。第十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.2主应力与主应力空间在受力物体内一点任意方向的微分面上，一般都有正应力分量和剪应力分量存在。由应力张量的坐标变换规律知，当通过同一点的微分面发生转动时，其法线也发生改变，相应的正应力和剪应力数值也会变化。在微分面的不断转动过程中，将会出现这样的微分面，在该面上只有正应力而剪应力为零。只有正应力而没有剪应力的平面称为主平面，其法线方向称为应力主方向，简称主方向，其上的正应力称为主应力。根据主平面的定义，若设n为过物体内任意一点M的主平面的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为则该主平面上的应力矢量可表示为(3.14)3.2.1主应力和主方向第十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期四或式中：表示主应力将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得(3.15)(3.16)或简写为(3.17)第十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期四方程组（3.17)可以用矩阵表达式给出(3.18)它表示数学上的矩阵特征值问题，主应力为由应力张量的9个分量所组成的矩阵（称为应力矩阵）的特征值，要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（3.18)有非零解，则其系数行列式必须为零。(3.19a)第十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期四方程组(3.19)也可以写成(3.19b)式（3.19)展开后，得（3.20）其中(3.21)第二十页，共六十三页，编辑于2023年，星期四方程（3.21)称为应力状态的特征方程。对受力物体内任一点而言，其应力张量显然是实对称张量，应力矩阵也是实对称矩阵。由线性代数理论可知，应力矩阵的特征值即主应力必定存在，而且皆为实数。这也就是是说，方程必定有三个实根，记这三个根为，则它们分别代表该点处的三个主应力。把分别代入方程组中，并利用(3.22)就可联立求解出分别与主应力对应的主方向。可以证明：①若特征方程无重根，则它们相应的三个主方向必两两相互垂直；②若特征方程有两个重根，如，则与方向垂直的任何方向都是主方向；③若特征方程有三个重根，则任何方向均为主方向。第二十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.2.2主应力空间若把这三个相互垂直的主方向取为坐标系的三个坐标轴方向,依次建立起来的几何空间,称为主应力空间,该空间中的三个坐标轴称为应力主轴.在主应力空间里,该点的应力张量可以表示为(3.23)第二十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期四由于主应力的大小和坐标选择无关,分别称系数为第一、第二和第三不变量。可以理解为：（数学上）三个不变量反映了张量具有不变性的特性；（物理上），应力张量的三个不变量反映了物体在特定的外部因素作用下，内部各点的应力状态不随坐标的改变而改变。在主应力空间，根据（3.7)和（3.10)，物体内某一点任意微分面上的总应力、正应力和剪应力为(3.24)推论：1）通过同一点的所有微分面上的正应力中，最大和最小的是主应力；2）通过同一点的任意微分面上的总应力，其绝对值介于最大和最小主应力的绝对值之间。第二十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期四在主应力空间，可求出物体内任一点的最大剪应力（主剪应力）及其作用面的方向。剪应力的极值表

000000000000最大剪应力所在的微分面与某一应力主轴平行，并且平分另外两个应力主轴，若主应力按代数值大小排队，则有（3.25）第二十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.3应力张量的分解3.3.1球形应力张量在主应力空间里，物体内一点任意微分面上的应力矢量分量为它们满足如下的方程（3.26)在主应力空间里，这是一个椭球面方程。若物体内存在这样一个点，其相应的三个主应力均相等，则在该点的主应力空间里，任意微分面上的应力矢量分量均满足如下的球面方程（3.27)第二十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期四这里，设该点的应力张量因此称为球形应力张量或应力球张量。记为如果物体内一点处于球形应力状态下，则该点的各个方向上都仅受相同的拉应力或压应力作用。在这种情况下，通过该点的微分单元体只会均匀膨胀或压缩，因此只会产生微元体的体积变化而不会产生形状改变。3.3.2偏斜应力张量(3.28)第二十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.3.2偏斜应力张量

在一般情况下，物体内一点处的应力张量可以分解为两个部分这里，称为平均应力或静水压力。上式的第一部分即为应力球张量；第二部分的各分量反映了一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，称偏斜应力张量或应力偏量，记为(3.29)(3.30)第二十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期四应力张量分解式可以简写为(3.31)式中：表示单位张量，即与应力张量一样，应力偏量也是一个对称的二阶张量，它可以描绘一点处特殊的应力状态，且和材料的塑性密切相关。(3.32)第二十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期四1、应力偏量的三个主应力之和为零，即应力偏量的性质2、应力偏量可以分解为五个纯剪切应力状态的和，因此它只和微元体的剪切变形有关。(3.33)第二十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3。三个不变量，有如下的表达式(3.34)在一般的应力空间，可以表示为(3.35)第三十页，共六十三页，编辑于2023年，星期四在主应力空间，应力偏张量的三个不变量可表示为式中：为应力偏量的三个主值。容易证明，其相应的主方向与应力张量的主方向一致。在主应力空间，第二不变量可以表示为也可以简写为（3.36)(3.37)(3.38)第三十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.3.3应力张量分解的物理意义球形应力张量代表一个各向均匀的应力状态。Bridgeman通过实验证明，金属材料单元体处于这种应力状态时，单元体一般都仅表现为弹性的体积变化，而无形状的改变；换句话说，球形应力张量代表的应力状态不会引起塑性变形或者说与塑性变形无关，因而在应力张量中，可排除这部分对塑性变形的影响，认为塑性变形是偏斜应力张量代表的应力状态引起的。注意：以上结论只是对金属材料而言的，对混凝土、岩土等非金属材料则不成立。第三十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.4八面体应力与应力强度考察主应力空间内任意一点M的微分面，它的外法线方向与三个应力主轴呈等倾斜（这种平面称为等倾面）。有这样的微分面共有8个，它们组成一个包含M点在内的无限小的正八面体，这些微分面上的应力称为八面体应力。第三十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期四由任意微分面上的正应力和剪应力的计算公式（3.24)有（3.39）式（3.39)可以改写成（3.40)第三十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期四应力强度与有效应力八面体剪应力对于塑性理论具有重要意义,为了使用方便,将它乘以,并称之为应力强度,用符号来表示,即应力强度的物理意义:对单向应力状态,有代入以上表达式即得,由此可见,在某种意义上来说,应力强度是将一个复杂的应力状态化作效应相同的单向应力状态.所以,又称为有效应力.（３．４１）第三十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3．5平衡微分方程与静力边界条件如果物体在外力作用下处于平衡状态，则将其分割成任意形状后，每个单元体仍应处于平衡状态，反之也然．假想穿过物体作三组与坐标轴垂直的剖面，内部分割无数个小的平行六面体，在靠近表面处，被分割成无数个小四面体．可通过考虑微六面体平衡得到平衡微分方程，考察四面体平衡得到静力边界条件（边界平衡）３．5．１平衡微分方程Oxzy设微平行六面体三棱边的长分别为dx,dy,dz,且三条棱边与坐标轴重合（也可不重合）．物体内各点的应力分量应是坐标的连续函数，即第三十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期四若假设在x=0的微分面上的应力分量为，则由连续函数的泰勒展开公式，可把x=dx的微分面上的应力表示为(忽略二阶以上微量）六面体无限小，可认为各微分面上的应力均匀分布，设体积力为（X,Y,Z),则通过平衡条件，得第三十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期四可简化为同理，由平衡条件，得其它两个方程，写在一起得（3.42)第三十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期四（3.42)方程（３．４２）建立了物体处于平衡状态时内部各点的应力和体力之间的关系，称为平衡微分方程，也称为Navier方程．若考虑物体运动情况，右边不为零，应等于括号里面的项，相应地方程称为运动微分方程．它可以简写为利用力矩平衡条件可得到剪应力互等定理（３.４３）第三十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.5.2静力边界条件考察物体表面处任意一个微四面体的平衡条件，当微分四面体趋于无限小时，它表示物体表面任一点的平衡条件．xyzn(3.44)(3.45)第四十页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.6应变的概念在外荷载的作用下,物体会发生形状和体积的变化，该变化称为变形。与应力一样，需要一个应变张量描述某点的变形。定义应变张量为，它也是一个对称张量，由9个分量组成，具体形式为在直角坐标系中，设物体内某点沿x轴，y轴和z轴的位移分别为u、v、w，则上述各应变分量与位移分量的关系为(3.36)(3.37)第四十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期四从上式可知，9个应变分量中只有6个是独立的。注：上式所定义的剪应变与材料力学中定义的应变不一样，材料力学中定义的应变通常称为工程应变，它们之间的关系是两倍的关系，如3.6.1dxdyOAB如图取OA=dx,OB=dy,变形后点O移至O’,A至A’,B至B’,在小变形情况下,oA的伸长长度为第四十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期四定义

所以表示沿x轴单位长度的伸长量或缩短量.同样可知分别是沿y向z向单位长度的伸长量或缩短量,即是线应变3.6.2剪应变的物理意义在xy平面内沿x轴、y轴各取一微小段OA、OB,第四十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期四变形后，点O移至点O’,A点移至A’，B点移至B’。设O点沿x、y方向的位移分别为u,v,则A点水平和竖向位移分别为B点的水平位移和竖向位移分别为设分别为O’A’轴与x轴，O’B’与y轴的夹角。考虑到在荷载作用下只发生微小变形，所以它们分别为第四十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期四所以为变形后直线之间的夹角，变形前为设为x轴与y轴夹角的变化，则可见剪应变的物理意义为原互相垂直的线段直角改变量的一半。第四十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期四线应变与剪应变可用下标记法表示为可以验证，为对称的二阶张量，具有与应力张量相似的性质3.7应变张量的性质3.7.1应变张量的主轴，主应变及应变不变量物体内每一点都存在着应变。这种状态用应变张量表示。应变张量是对称的二阶张量，所以也一定存在三个主轴，对应于三个主轴有主值。将三个主值分别定义为主应变。在以主轴为法线的平面上只有线应变，没有剪应变，且线应变分别是。第四十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期四现以三个主轴为坐标轴建立主坐标系。在主坐标系中，应变张量应变张量的三个不变量为第四十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期四在主坐标中，三个不变量可以证明，3.7.2应变张量的分解与应力张量类似，应变张量可分解为应变球张量与应变偏张量。各分量的关系为。第四十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期四其中应变偏张量为对称的二阶张量，存在三个主轴及相应的三个主值可以证明应变偏量的主轴与应变张量的主轴一致，且它的主值与应变张量的主应变间存在以下关系第四十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期四应变偏张量也存在三个不变量，在此设为第五十页，共六十三页，编辑于2023年，星期四3.7.3八面体剪应变，应变强度采用求八面体上的正应力及剪应力类似的过程，可求得八面体的线应变称为等效应变或应变强度，物理意义与应力强度一样，代表物体内某处的变形程度。第五十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期四§3-8

Plane

strainanalysis

平面应变状态应变分析

Strainsatarbitrarydirection任意方位的应变

Mohr'scircleforplanestrain应变圆

Maximum&principalstrain最大应变与主应变

Examples

例题第五十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期四