第七章时变电磁场

第七章时变电磁场第一页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.1位移电流和推广的安培回路定律1、问题的提出①高斯定理(库仑定律）

②安培回路定律（安培磁力定律）

③法拉第定律（电磁感应定律）

④电流连续方程（电荷守恒原理）

前面各章的总结：静态场结论时变场结论★考察①②在时变场中的适用性：对两边取散度，有静态场成立时变场不成立第二页，共五十五页，编辑于2023年，星期四2、推广的安培回路定律

麦克斯韦提出安培回路定律的修正于是即若要满足，必须为了得到的表达式，进一步假设对时变场成立由此可得比较两边，得因此得到推广的安培回路定律：积分形式微分形式第三页，共五十五页，编辑于2023年，星期四3、位移电流密度①来源a.电场随时间的变化率b.极化电介质的极化强度随时间的变化率②全电流密度③全电流连续性方程对两边取散度，得积分形式为全电流的无散性和连续性第四页，共五十五页，编辑于2023年，星期四4、推广的安培回路定律的物理意义①分布电流和时变的电场都是磁场的源②定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。③位移电流与分布电流有着本质的区别，的存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。第五页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.1试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流证明：①导线上的传导电流是假设电容器极板面积为S，电荷在极板上均匀分布，则所以传导电流为②由导体的边界条件知则位移电流为③因此★位移电流作为传导电流的继续，从电极1流到电极2若作一闭合曲面S包围电极1，则：传导电流I流入闭合面为负值位移电流Id流出闭合面为正值闭合面S上总电流满足全电流连续性方程第六页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.2麦克斯韦方程组1、微分形式①描述宏观电磁现象的基本方程组动电生磁动磁生电电流与电荷关系★高斯定律与电流连续方程的等价性证明：所以对比可知反之亦然因为第七页，共五十五页，编辑于2023年，星期四其中可以由导出②Maxwell方程组我们采用高斯定律，而将电流连续方程略去。因此，不要这个方程也不会影响基本方程组的正确性和完备性，但增加该方程使基本方程组具有了对称性，为方程组的求解提供了方便。第八页，共五十五页，编辑于2023年，星期四2、积分形式

3、媒质本构方程（辅助方程）

仅由麦克斯韦方程组的四个基本方程还无法求解出电磁场的具体分布需要补充如下3个方程通过对上述方程的分析，麦克斯韦预言了时变的电磁场将以波的形式按光速传播。并在1888年，由物理学家赫兹首次用实验验证了上述预言的正确性。第九页，共五十五页，编辑于2023年，星期四4、麦克斯韦方程组的限定形式将本构方程各式代入麦克斯韦方程组的微分形式中，得5、麦克斯韦方程组的局限性①带电体的受力问题离散连续②机械力问题牛顿定律③微观领域问题量子力学第十页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.3正弦电磁场时变电磁场随时间的变化规律可以有多种形式：正弦波、方波、锯齿波、脉冲……按照付里叶理论周期的函数可以展开为付里叶级数非周期函数可以展开为付里叶变换因此，不论对周期性或非周期性的时变电磁场，都可以通过对正弦电磁场的数学变换来进行分析和求解。第十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期四一.正弦电磁场的复数表示法

基础：正弦电磁场的时间变量和空间坐标变量可以进行分离约定：用余弦函数表示正弦点磁场1、振幅例：将点的正弦电场写作其中、振幅初位相角频率单位：rad/s频率单位：Hz或s-1只与位置有关第十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期四2、复振幅先求解空间变化，然后再考虑其时间因素，降低求解难度。利用欧拉公式，则有令，则表达式更为简洁考虑x分量称为复振幅，一般是坐标变量的复函数，包含着振幅和初相信息★为避免混淆复振幅写成或，也可简写成瞬时值写成，也可以简记为振幅写成，也可简记为第十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期四3、复矢量利用复数的基本运算法则，电场表示为上式称为电场矢量的复数表示法称为电场强度的复矢量

它的各分量就是每个瞬时分量的复振幅。★特别强调指出：①复振幅和复矢量都只是场点坐标的函数或常量，因此在它们的表达式中不应出现时间变量t

；②而瞬时场矢量或分量都是实数域内的函数，在它们的表达式中不能出现复数的标记j。第十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.2已知一电场的瞬时矢量为写出它的复矢量。解：首先利用三角关系将电场顺势矢量的z分量写成余弦函数所以复矢量表达式为第十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.3已知一磁场分量的复振幅为

频率为，写成对应的瞬时表达式。对应的瞬时分量表达式为将所给表达式写成模值和辐角的形式解：利用公式第十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期四二.麦克斯韦方程的复数形式

考察瞬时安培回路定律利用复数表达式得因为取实和微分可互换顺，则因此可以得到安培回路定律的复数表示第十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期四利用同样的方法，还可以得到这组复矢量的方程组称为麦克斯韦方程组的复数形式，或复麦克斯韦方程组。频域方法：首先求解复麦克斯韦方程组，得到所求的复矢后，再利用瞬时矢量与复矢量的关系式得到瞬时场量。时域方法：直接求解瞬时麦克斯韦方程组获得瞬时场量。★时域方法、频域方法第十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.4假设真空中有一电场矢量为求磁场矢量

解法1:将电场表达式代入瞬时麦克斯韦方程组第2式，得

两边对t积分，得到第十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期四解法2:电场的复矢量为

代入复麦克斯韦第二方程，得

第二十页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.4媒质的色散与损耗一.媒质的色散和复电磁参数1、色散现象在时变电磁场中，媒质参数随频率变化的现象称为媒质色散。2、色散现象来源

媒质的极化、磁化、载流子的定向运动在时变电磁场的作用下，极化、磁化及载流子运动都将随着电场和磁场的指向变化而不断改变方向。由于电荷载体粒子的惯性影响，粒子的运动将落后于场的变化，产生滞后效应。以极化为例：当频率很高时，只有电子极化的建立能够跟上场的周期变化，以电子极化的贡献为主，所以一般媒质的极化强度都有随场频率增高而逐渐减小的趋势第二十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期四3、复电容率由于极化状态滞后于电场状态，因此除了极化强度的模值随频率变化外，其相位也要滞后于电场的相位为滞后相位是与频率f有关的函数对于时变场，一般不成立，因为相位不一致。与有着复杂的关系由于辅助方程不具备正比形式，所以对色散媒质必须用频域法。对于某个特定频率，可以象静态场一样，有对色散媒质，可令第二十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期四由此得到电通量密度的复矢量由于的相位滞后于，复极化率的辐角应小于零，所以的辐角也小于零，因此可以将ε写作其中ε称为复电容率可见，在复频域内，复矢量与之间也有简单的正比关系，只不过比例系数ε是一个复数。根据物理学原理，可知色散公式第二十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期四4、复磁导率对于一般的非铁磁媒质而对铁磁材料在频域内，同样有其中，称为复磁导率5、电导率与极化和磁化相比，电导率的色散效应很弱，从直流到光频都可以近似用一个实常数表示。因此，在时域和频域内，本构方程具有简单的正比关系★媒质的复参数是在频域方法中引入的，只能在频域中使用，对于瞬时场是没有意义的。第二十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期四二.媒质的损耗和等效电容率

1、媒质损耗的来源①焦耳损耗σ②极化损耗和磁化损耗2、媒质损耗与频率的关系第二十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期四3、等效复电容率由复麦克斯韦方程得称为等效复电容率，称为相对等效复电容率令采用了等效电容率后，可以将导电媒质视为一种等效的电介质，从而使各种媒质都可以用相同形式的麦氏方程求解。4、损耗角正切电损耗角正切磁损耗角正切损耗角正切的值越大，表示媒质对电磁能量的损耗越大。第二十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.5已知海水的。若振幅为100V/m，频率为1kHz的电场存在于海水中，试求海水的损耗角正切和损耗功率密度。若频率增高到1GHz又将如何?解:由题意知，海水的极化损耗可以忽略，所以相对等效电容率为

f=1KHz时

f=1GHz时

媒质损耗功率密度与频率无关第二十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.5电磁场的能量关系－坡印廷定理一.瞬时坡印廷定理

声明：为了书写简单，省略瞬时场量中的坐标变量和时间变量。设τ是时变电磁场媒质空间的一个区域，其外表面记为S

考察安培回路定律两边同时点乘，再在τ区域内作体积分，则有根据矢量关系可得所以有第二十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期四设媒质无色散损耗，则瞬时辅助方程成立

同理即于是有因此瞬时坡印廷定理焦耳损耗功率瞬时坡印廷矢量（功率流密度、能流密度）：单位时间内穿出闭合面S的电磁场能量单位时间τ内电磁能量的减少量第二十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期四★物理意义一个闭合曲面内的电磁能量在单位时间内的减少量等于两部分功率之和：①τ内的导电损耗功率转换为热能散发，②以功率流的形式辐射到闭合面S之外。这是电磁能量守恒定律在一个闭合曲面上的表现形式。★稳恒场情况意义：对于稳恒场，τ内的焦耳损耗必须由外界提供能量。对稳恒场有根据瞬时坡印廷定理得第三十页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.6设同轴传输线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，中间填充介质的参量为μ和ε，内外导体间加电压U，导体上有直流I。试通过坡印廷矢量计算同轴线传输的功率。解：①内外导体是理想导体令外导体接地（Ub=0），并设内导体单位长度带电荷则介质中电场为在导体内，即r＜a及r＞b时，电场强度为零。内外导体间的电位差为所以介质中第三十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期四再求磁场强度，利用安培回路定律得因此，坡印廷矢量为沿同轴线传输的功率为表明：同轴线传输的功率等于电压与电流的乘积，即等于负载电阻所消耗的功率。第三十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期四②若导体不理想(σ

值有限)内导体中电场矢量为根据边界条件，导体外紧靠导体表面地方的电场矢量切向分量为该处的磁场矢量为因此，坡印廷矢量的法线分量为在长为l的圆柱面上进入导体的功率为其中R等于长为l的圆柱导体的电阻表明：进入导体的功率等于导体的损耗功率。第三十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期四二.复坡印廷定理瞬时坡印廷定理适用于任意时变场非色散媒质区域｛考虑｛色散媒质电磁场的平均功率引入复坡印廷定理1、定理证明对复安培回路定律两边取复共轭得交换哈密顿算子与共轭运算的次序，有两边点积，得到（a）第三十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期四根据矢量关系可得代入a式中，并两边同乘以1/2，得两边对体积τ积分，并对左边应用散度定理，得考虑媒质的色散性质，则有第三十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期四因此得到复坡印廷定理将定理分写成实部和虚部

2、有功功率和无功功率①有功功率（实部）实部的右边分别表示着τ内各种损耗焦耳损耗极化损耗磁化损耗第三十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期四表明：在无源区域内，各种损耗功率的平均值之和等于从闭合面外流入的平均输入功率，反映了S面上有功功率平均值的平衡关系。实部的左边表示一个周期内进入S面的瞬时功率的平均值，即★平均坡印廷矢量★复坡印廷矢量为避免与混淆：复坡印廷矢量记作而瞬时坡印廷矢量记作或表示垂直方向上单位面积所通过的有功功率的平均值第三十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期四②无功功率（虚部）无功功率是指在S面内外振荡交换的功率。对应着单位体积内正弦电场能量的平均值和磁场能量的平均值③举例a.进入S面的有功功率就是电阻R上消耗的焦耳功率b.无功功率是电容C和电感L的电磁储能与电源能量之间的交换功率，它等于电源的视在功率与电路的有功功率之差。c.闭合面S上用于振荡交换的平均无功功率等于τ内磁场储能平均值与电场储能平均值之差的2ω倍。第三十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期四例7.7已知正弦电磁场的表达式为

解：瞬时坡印廷矢量为电场和磁场的复矢量为平均坡印廷矢量为求点P（1，2，0）处的和。

第三十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.6电磁场的波动方程1、瞬时波动方程讨论范围：限定在非色散均匀媒质的无源区域内。非色散：电磁参数是与f无关均匀：电磁参数是与坐标无关无源：①非齐次矢量波动方程考察麦克斯韦方程限定形式(a)(b)(c)(d)第四十页，共五十五页，编辑于2023年，星期四令（a）式两边对时间t求偏导，得对（b）式两边取旋度，得比较上面两式，得到利用矢量恒等式，并注意，上式变成非齐次矢量波动方程

同理可得★时变的电磁场是电磁波。第四十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期四②齐次矢量波动方程若媒质是σ=0的非导电介质，则有2、矢量亥姆霍兹方程

讨论范围：均匀媒质无源区域其中

对于正弦电磁场，利用复麦克斯韦方程可得此时的媒质可以包括色散媒质第四十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.7标量位和矢量位1、瞬时位函数①定义式动态矢量磁位：动态电位：②洛伦兹规范讨论范围：均匀和非色散媒质考察安培回路定律代入本构方程，得再代入位函数定义式，得第四十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期四利用矢量恒等式，上式变成考察高斯定律代入位函数定义式，得所以有为了得到每个辅助位函数的独立方程，必须增加新的限制条件洛伦兹规范③达朗贝尔方程第四十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期四2、复位函数利用瞬时位函数的结果可以得到关于复位函数的方程①定义式

②洛伦兹规范③达朗贝尔方程其中对色散媒质，ε,μ是复数④由表示电磁场第四十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期四3、静态场与时变场当电磁场不随时间变化时ω=0，亥姆霍兹方程退化为泊松方程

或者从瞬时达朗贝尔方程出发，也可以得到上面的结果。4、位函数的任意性①矢量电位和标量磁位②电赫兹矢量③磁赫兹矢量第四十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期四§7.8时变电磁场的边界条件1、瞬时边界条件

第四十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期四切向问题利用环路积分，法向问题利用闭合曲面积分可得边界条件其中是界面上的分布面电荷密度是界面上的分布面电流密度。由媒质1指向媒质22、复边界条件利用复麦克斯韦方程推导，会得到与以上四式完全相同的边界条件表达式，不过此时各式中的物理量应为复矢量和复振幅。第四十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期四3、理想导体的边界条件设1区是一般媒质，2区是σ2→∞的理想导体此时2区中的电场强度必须为0，否则利用欧姆定律有这在实际中是不可能的。因此同时，由麦克斯韦方程可得到可见2区的磁场与时间无关由此可知，2区理想导体内不存在时变的电磁场第四十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期四此时1区有电磁场，省略1区场量的下标，则4个边界条件写成理想导体外侧的电场必垂直于导体表面，且；理想导体外侧的磁场必平行于导体表面，且。可见：例7.8一时变电磁场的电场表达式为