第七章通货膨胀

第七章通货膨胀第一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四在2004年，按年利率计算的6月期美国财政部证券利率刚刚超过1%，而10年期财政部证券的年利率为5.4%，高品质的公司债券平均收益率几乎达7%。两年后，上述债券的利率有了相当大的变化。第二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四美国财政部证券利率(6月)财政部证券的年利率（10年）高品质的公司债券平均收益率20041%5.4%7%20065.25%4.88%5.26%第三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四年份CPIGDP平减指数利率（6个月）19705.95.47.64198013.58.812.9419906.24.08.1720003.42.16.5920032.31.71.1720065.04.14.97第四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四名义利率是指公布或报出的金融资产的利率。实际利率则是根据实际购买力衡量的贷款人或投资者的收益率。通货膨胀溢价：在某一特定的金融工具投资期间，市场中贷款人和投资者的预期通货膨胀率。第五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四例：贷款1000美元给一家公司，为期1年，预期通货膨胀率为10%，报出名义利率为12%，实际回报为2%,即20美元。若CPI为13%呢？一般而言，放款人设定的名义利率是在预期通货膨胀率的基础上，可贷资金能够给他们带来想要的实际回报率。第六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四预期名义利率＝预期通货膨胀溢价+通货膨胀溢价+预期实际利率*通货膨胀溢价第七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四哈罗德-凯恩斯效应:如果债券的名义回报率保持不变，当预期价格会更快上涨时，预期的实际利率会下降。第八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四3%13%第九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四名义利率＝真实利率+期望通货膨胀率+通货膨胀风险溢价第十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四纳税投资者的预期税后实际回报率＝预期名义利率-预期名义利率*纳税人所得税等级税率-通货膨胀溢价第十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四例：一位投资者的所得税等级税率为28%，其投资1年期应纳税证券的当前预期名义利率是12%，而下一年通货膨胀溢价即预期通货膨胀率为5%，则该投资者这一证券的预期税后实际回报率为？假设预期通货膨胀率从5%上升到6%，若投资者想得到相同的预期税后实际回报率，则预期名义利率应为多少？第十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四结论：通货膨胀与名义利率正相关。名义利率的上升幅度低于预期通货膨胀率的上升幅度，名义利率的下降幅度低于通货膨胀率的下跌幅度。第十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四每股股票价格第十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四名义合同是指当事人之间的协议，如公司与其工人或客户之间的协议，协议根据当前的美元价值（名义价值）固定某一规定时期间的价格或成本。第十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四代理效应：通货膨胀和股票价格之间呈负相关关系，但这种关系是虚假的，不真实的。第十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四通货膨胀保护债券（treasuryinflationprotectionsecurities,TIPS)第十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四例，通货膨胀率为零，美国财政部发行一新品种的TIPS，其面值为1000美元并承诺5年内每年实际息标率为3.5%。如果通货膨胀维持在零，那么该债券将每年支付实际利息35美元，到期被财政部赎回时，其面值将仍保持为1000美元。若通货膨胀率在债券发行日之后上升至4%，且将在债券到期的5年内持续，求1年期满后的通货膨胀调整名义值？5年期满后？第十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四时间年实际通货膨胀率（4%）TIPS名名义价值TIPS债券投资者名义利息收入传统债券名义利息收入第1年41040.0036.4035第2年41081.6037.8635第3年41124.8639.3735第4年41169.8640.9535第5年41216.6542.5835第十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四第二十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四收益率曲线影响收益率曲线的因素利率的期限结构即期利率远期利率期限结构理论STRIPS市场第二十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四收益率曲线（yieldcurve）是用图来描述到期收益率相对于到期时间或者风险度量，如某个市场（如财政证券）中债务证券的修正久期，相互关系的术语。收益率曲线综合了市场中不同参与者的预期收益率曲线的形状简洁的抓住并总结了不同期限贷款的贷款成本第二十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四收益率曲线是分析利率走势和进行市场定价的基本工具，也是进行投资的重要依据。不存在违约风险的收益率曲线形成了债券市场的“基准利率曲线”，其他债券和各种金融资产均在这个曲线基础上，考虑风险溢价后确定适宜的价格。第二十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四收益率曲线通常被分成三种类型：向上倾斜，水平，向下倾斜（或者反转的）第二十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四久期和凸性的局限性：假设利率期限结构是平坦的假设收益率曲线平行移动假设未来现金流不随利率变化而变化什么是平行移动？第二十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四第二十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四第二十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四为了更好的理解收益率曲线形状及其变化模式，我们需要检验短期利率和长期利率的波动性。波动性（volatility）度量了变量围绕其均值的变化。利率的波动性即利率相对于其期望平均水平的可变性。由历史数据可以估计出波动性。传统的估计波动率的方法是给定频率（日，周，月等）的一定数量的历史信息，计算序列的标准差，然后将其年化，作为波动率的估计。也可以利用期权等衍生产品价格估计出隐含波动率。第二十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四在固定收益市场中，价格和收益率的波动性都被使用。修正久期可以将两者联系起来：因此知道价格和收益率波动率其中的任何一个，都可以由此式算出另一个。第二十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四估计波动率的传统方法例6-1：设Pt表示某国债在t日的价格，yt表示t日的收益率，t=0,1,2……N1.计算样本中每个日期t的价格比率的自然对数Rt=ln(Pt+1/Pt)，其中t=0,1,…N。2.计算价格比率的自然对数的均值3.计算每个t对应的离差平方4.则日波动率估计为：5.年波动率为：第三十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四当考察不同期限利率的波动性时：1.短期波动一般高于长期波动2.波动性显示出与利率水平，长短期价差有关。第三十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四息票效应：高息票的证券一般收益率也较高，对短期债券和长期债券而言均成立。流动性效应：最新发行的证券（on-the-run）更具有流动性，价格较高，收益率较低。而已经发行的证券(off-the-run)由于流动性较低，因此需要支付流动性溢价，收益率较高，价格较低。Warga(1992)说明了与其他相同的债券相比，最近发行的债券的定价反映了每年大约55个基点的溢价。第三十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四截止到目前我们均是用YTM来定价债券：对于每期的现金流来说，到期收益率均一样，但是实际中，投资者并非如此。每一个现金流将有它自己的折现率，折现率取决于该现金流发生的时间和定价时点的长度。第三十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四考虑一个息票率为6.5%，半年付息，4年到期的债券，其YTM=9.3%，价格为$91.795.因此：第三十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四但是实际中的利率情况为：第三十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四按照实际折现率：两种算法得到同样的债券价格$91.795.用第二种方法计算的时候就需要更好的理解利率的期限结构每一期息票的支付都可以看做是一个零息债券。第三十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四利率的期限结构（termstructureofinterestrates）是指无违约风险的零息债券的到期收益率与其期限之间的关系。无违约风险的零息（纯贴现）债券的到期收益率通常被称为即期利率(spotrateofinterest)。纯贴现债券的即期利率与其期限之间的关系被称为即期曲线（spotcurve）。纯贴现债券：T-bills（国库券），strips（由美国财政证券剥离获得的零息票债券）。第三十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四为简单起见，我们假设零息债券的面值为$1，还有j期到期的零息债券的价格为zj：yj为还有j期到期的零息债券的每期的即期利率。如果是半年付息，零息债券的价格为：第三十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四现实中零息债券的价格较少，较难获得，但是付息债券的价格很容易获得，因此我们可以从付息债券中算出零息债券的价格和即期利率。（系靴程序bootstrappingprocedure）例：考虑如下的三个付息债券债券价格第一年第二年第三年199.50105002101.25610603100.2577107第三十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四首先，我们利用1年的付息债券来计算1年的即期利率和1年零息债券的价格。Pi为债券i的价格，Ci为债券i的息票支付，那么第1只债券的价格表示为：第四十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四从而1年期的零息债券价格为：实际上：因此只要知道1年期付息债券的价格和息票，就可以得到1年期零息债券的价格的1年期即期利率的值。第四十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四接下来，我们来计算z2和y2：注意：在第1年支付的第1个息票C1，以1年期的即期利率折现；在第2年支付的最终支付100+C2，以2年的即期利率折现。在上式中只有y2未知，因此带入已知参数：第四十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四实际上：因此在算出来z1之后很容易就可以得到z2.最后，我们利用3年期的付息债券来得到3年期的即期利率和隐含的3年期零息债券的价格。第四十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四在上式中唯一的未知数就是3年期的即期利率y3，因此带入P3，C3，y1和y2，可得：第四十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四综合所得：到期期限（年）隐含零息债券价格即期利率（%）10.94765.5320.90155.3230.81597.02第四十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四我们也可以利用矩阵的方法来计算：付息债券的信息表达为矩阵A：付息债券的价格向量：零息债券的价格向量：第四十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四那么零息债券价格和付息债券价格的关系为：P=A*b从而：第四十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四业内常用的另外一个收益率曲线为平价债券收益率曲线（parbondyieldcurve）:以面值出售的债券的到期收益率与其到期时间之间的关系。因为平价债券的到期收益率等于其息票率，因此我们只要求出其息票率，就可以得到平价债券的收益率曲线。利用我们前例中求得的即期利率的结果。第四十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四首先，我们从1年期平价债券开始，设其息票为x1：带入y1，可得x1=5.53。其次，我们计算2年期平价债券的息票率：带入y1=5.53%，y2=5.32%，可得x2=5.327。最后，计算3年期平价债券的息票率：带入y1=5.53%，y2=5.32%，y3=7.02%，可得x3=6.908。第四十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四因此3年内的平价债券收益率曲线为：到期期限（年）平价债券收益率（%）15.53025.32736.908第五十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四所谓远期利率（forwardrateofinterest）是指隐含在给定的即期利率（spotrateofinterest）中从未来的某一个时点到另一个时点的利率水平。以储蓄利率为例：现行银行储蓄一年期存款利率为3.5%，二年期存款利率为4.4%，10000元存2年哪种的收益高？先存一年，到期后取出连本带息再存一年？直接存2年定期？第五十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四第一种方式在第二年末的本息和为：10000*(1+0.035)2=10712.25元，第二种方式在第二年末的本息和为:10000*(1+1.044)2=10899.36元第二种方式较第一种方式可以多得10899.36-10712.25=187.11元。之所以多得是因为放弃了第二年期间对第一年本息和10000*(1+0.035)=10350元的处置权。因此，较大的收益产生于第二年。如果第一年取3.5%的利率，那么第二年的利率为

(10899.36-10350)/10350*100%=5.3%，这个5.3%就是第二年的远期利率。第五十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四例子：某投资期为2年的债券投资者有以下两种选择：选择1：购买1年期的零息债券，待其到期后，再购买另外一只1年期的零息债券；选择2：购买2年期的零息债券。如果这两种投资方法在2年后能带来同样的收益，那么投资者选择哪一种债券都无关紧要。第五十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四该投资者知道1年零息债券和2年期零息债券的即期利率。然而，他不知道1年以后购买1年期零息债券的收益率（远期利率）。给定1年期零息债券和2年期零息债券的即期利率后，如何找出使得这两种选择一视同仁的1年期债券的远期利率？第五十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四假设1年期和2年期的即期利率分别为y1，y2，1年以后的1年期远期利率为f0(1,2)如果都是在2年末得到100美元，按照选择1，在year0的投入为100/(1+y1)(1+f0(1,2))；如果选择2，在year0的投入为100/(1+y2)2第五十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四如果两种选择无差异的话，则初始投资应该一样：即，如果投资者确信1年以后1年期零息债券的收益率为f0(1,2)，那么这两种选择对他来说没有差别。用即期利率算出来的远期利率也叫隐含的远期利率（impliedforwardrate）第五十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四推而广之，如何在t日锁定始于T1，到期日为T2的远期利率（T2》T1》t）？假设t时期限为T1的利率为y1，期限为T2的利率为y2.第五十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四为什么投资者会关注远期利率？最直接的原因就是即期利率中的隐含的远期利率会对投资决策产生影响。例子：假设一位投资者打算做一项为期1年（2个6个月期）的投资。当前的6个月利率为7%，且1年（2个6个月期）利率为6%。使用远期利率计算公式，该投资者会发现如果购买一只2期的证券，相当于签署了一份6个月以后按5%的6个月利率借出资金的远期合同。如果投资者确信第2期的利率将高于5%，那么开始时只买1期的证券，然后在第1期结束时将本息所得再做一期投资，对他来说比较有利。第五十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四用收益率曲线可以计算投资期内未来任何时间内的隐含远期利率：f0(1,2),f0(1,3),f0(2,3)?到期期限（年）隐含零息债券价格即期利率（%）10.94765.5320.90155.3230.81597.02第五十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四关于利率的期限结构有大量的假说解释，我们简单介绍其中的几种：1，预期假说:由希克斯（Hicks，1946）和卢茨（Lutz，1940）提出，有很多版本，其中一个为无偏预期假说（unbiasedexpectationhypothesis）：当前的远期利率是未来即期利率的无偏预期。第六十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四如果ft(k,k+1)是t日锁定的将来的日期k，k+1之间的1阶段远期利率，Rk*为k日的未来1阶段的即期利率，那么无偏预期假说认为：ft(k,k+1)=Et[Rk*]按照预期理论，远期利率代表了预期的未来利率，因此，某个特定时间的整个期限结构就反映了市场当前对未来短期利率的预期。第六十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四上升的期限结构表明市场预期短期利率会在未来相应的时间段内上升；水平的期限结构反映了市场预期未来短期利率大体上是稳定的；下降的期限结构则反应市场预期未来短期利率会稳步下降。第六十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四我们考察预期未来短期利率上升如何影响各种市场参与者的行为，从而形成上升的收益率曲线的情况。假设初始的利率期限结构为水平状，并假定财经报道会使市场参与者预期利率会上升。那些原本对长期投资感兴趣的投资者将不再愿意购买长期债券，因为他们预期收益率曲线迟早会上升，会导致债券价格下降并带来持有长期债券的资本损失，于是他们转向短期债务工具。第六十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四当预期利率会上升的投机者预期长期债券的价格将下降时，会卖出他们持有的所有长期债券或者“卖空”手头现在没有的长期债券。所有出售长期债券或者卖空债券取得的收入将投资于短期债务工具。想获得长期借款的借款者将会选择现在借款，因为根据预期，以后借款会更昂贵。所有这些原因将引起对长期债券净需求的减少和长期债券供应的增加，这两种反应将增加对短期债券的需求。市场均衡要求长期收益率相对于短期收益率呈上升趋势；也就是说，投资者、投机者和借款者的这些行为将使期限结构上翘，直至它与预期的更高的未来利率一致。第六十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四流动性溢价假说(liquiditytheoryoftermstructure)预期假说的缺陷在于没有考虑与债券投资密切联系的风险。但是在投资期内，持有长期债券是有风险的，并且这一风险将随债券期限的延长而增加，因为期限与价格的波动性是直接相关的。考虑到这些不确定性以及投资者的风险厌恶，流动性溢价假说认为：只有在长期债券提供的长期利率比平均预期利率高于足够的部分，从而能够补偿投资期限较长带来的风险时，投资者才会投资长期债券。并且该理论认为，远期利率应当反映利率预期和流动性溢价两部分内容，期限越长，溢价越大。ft(k,k+1)=Et[Rk*]+πt(k,k+1)第六十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四根据流动性理论，隐含的远期利率并非一种市场对未来利率的无偏估计，因为它包含了流动性溢价。因此，向上倾斜的收益率曲线既可反映未来利率上升的预期，也可反映未来利率水平不变（甚至下降）的预期；但是因为收益率曲线包含了随期限延长增长足够快的流动性溢价，结果形成了向上倾斜的形状。第六十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四市场分割假说认为不同期限的债券代表了具有各自供需压力的不同市场。决定收益率曲线形状的主要因素是资产/负债管理约束，及贷款人（借款人）将贷款（借款）限制在特定的期限品种上。第六十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四局部期望假说(localexpectationshypothesis)：局部期望假说认为所有的债券在极短的持有阶段中都提供相同的期望回报率，因此这个假说可以表示为：第六十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四剥离（separatetradingofregisteredinterestandprincipalsecurities---STRIPS）指的是债券发行后，把该债券的每笔利息支付和最终本金的偿还进行拆分，然后依据各笔现金流形成对应期限和面值的零息债券。第六十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四例如：一只2000年6月18日发行的每年付息一次的10年期债券，票面利率为8%，发行金额为100万元，到期日为2010年6月18日，则期间有10笔利息的支付和最终的一次本金偿还。当该只债券转换为本息分离债券后，每一笔利息支付和本金偿还都分别成为一只单独的债券，即可分离为10只金额为8万元和1只金额为100万元的零息债券。第七十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四剥离市场产生的原因：1、付息债券利息在投资收益不确定：受信息不对称和交易成本的影响，投资者往往不能按时取出利息立即用于再投资；由于利率变动的不确定性，如果付息债券的利息收入流在到期时的再投资收益率低于购买时所预期的到期收益率，则投资者的再投资面临着利率风险。第七十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四2、零息债券的特点是现金流量的一次性，不必像普通的付息债券那样周期性的支付票面利息，从而使投资者在到期日有一笔确定的现金流入，节约了再投资成本并避免了再投资风险，可以获得稳定的收益，满足了偏好稳定收益的投资者需求。第七十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四3、零息债券还可以提供税收方面的好处。美国税法曾经规定利息在收到时才纳税，则由于零息债券在期末支付全部利息，利息税收的缴纳就被延迟，使投资者享有本应该缴纳给税收机关的那部分资金的使用权。第七十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四4、本息分离债券的出现增加了投资机会，满足了投资者对于各种期限零息债券的需求。付息债券的久期随着利率和到期时间的改变而改变，因此那些通过购买付息债券而匹配久期的投资者就不得不经常重新平衡其头寸。但是零息债券的久期就等于其到期期限，这将显著减少重新平衡头寸的需要。第七十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四根据债券定价模型，人们开发出了有关债券价格相对利率变化的灵敏度及其它很有用的指标，如久期（Duration）和凸性（Convexity）。第七十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四前面我们注意到，所有债券（证券）都承担利率风险，并且长期债券比短期债券对这些风险更为敏感。前面的图和表均说明了这个问题。但是，这种说明和表达方式是不精确的。首先，期限的度量，忽视了债券中间时期的现金流，仅仅是关注到期时的最后支付，利息支付（中间的现金流）对于利率风险是重要的，而且众所周知，票息高的债券比那些票息低的债券对利率的敏感性要低。实质上，通过更快的现金流回报，持有高息票债券的投资者比持有低息票债券的投资者可更快收回投资。上面的表2就是一个例证第七十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同，但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏性的影响是有限的。久期这个指标可以评价具有不同现金流方式的债券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情况（它使债券定价定理5得以精确化）。第七十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四债券价值时间现金流

1现金流

2现金流

3平均生命期01231、债券平均寿命期图示：期限3年，每年内现金流相同。第七十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四现金流

1现金流

2现金流

3

久期债券价值时间0123第七十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四上图中，债券的生命期为2年。然而，一个更为精确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值给每次支付加权，而不是简单地用未加处理的支付额来计算平均时间。这种用每次支付的现值为每次支付时间加权的度量被命名为久期d，如上图。由于较早的支付比较晚的支付现值高，因此久期的期限将小与平均生命期。见上图。第八十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四

上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。现金流入包括利息C和赎回本金F，并且时间加权数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以债券价格P（债券估值公式中的P）。第八十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四

（1）公式：（2）债券A（折价债券）：第八十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四（3）债券B（抵押债券）：（4）债券C（息票债券）：第八十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四

注意：零息票折价债券的期限与久期相同，这是因为全部的现金流均在持有期末收到。另一方面，期间发生支付的债券其久期短于期限。因此息票债券C的久期为2.7年，小于期限3年。债券B由于其平均现金流而拥有更短的久期，为1.9年。第八十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四问题的引出

作为一种度量投资者投资回收期的方法，久期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格相对于到期收益率变化的灵敏度上：久期使债券定价定理2得以精确。通常认为，两支不同期限的债券，其到期收益率变化1％，所带来的债券价格变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。然而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的方程。第八十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四根据上表中的息票债券C，假定到期收益率从10％增长到11％。据此可得期望的价格变化：注意：这个结果与前面表2中计算出的实际价格下降2.6%相比较，其误差来自于这样一个事实：久期得出的度量在利率变化幅度较小时很有效，但一旦利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为，利率在短期内变化100个基点是比较大幅度的变化，因而存在一定的误差。

第八十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四下表给出了三种不同的到期收益率和四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券的久期变化。第八十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四

到期期限

息票率6％8％10％12％

15101520

要求的收益率＝12％（到期收益率）0.934.056.617.968.530.923.916.237.468.050.923.785.957.137.740.923.685.736.887.52

要求的收益率＝14％（到期收益率）151015200.923.986.337.377.650.923.835.956.917.240.913.715.686.596.980.913.605.466.376.80

要求的收益率＝16％（到期收益率）151015200.913.916.056.806.860.913.765.686.386.510.903.635.416.096.300.903.535.205.896.15第八十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四表中列出了在三种不同的票息率12%、14%和16%条件下不同期限债券的久期。注意：期限较长的债券通常比期限较短的债券拥有更大的久期。例如14%利率水平下，一只20年的债券票息为10%，其久期为6.98，同样条件下10年债券久期为5.68，5年债券久期为3.7。同时要注意，高利率水平下的久期低于低利率水平下的久期。例如：20年的债券在14%利率水平下，久期为6.98，而在12%利率水平下，久期为7.74，在16%利率水平下久期为6.30。第八十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四通过对久期的分析，与本章前面讨论到的证券的风险因素相联系起来，以对本节做出总结，这将是有指导意义的。我们注意到，在一个定价体制中，具有较大利率风险的证券比具有较低利率风险的证券应有较高的增溢或折现率。本节的分析已经指出期限长的证券比期限短的证券对于利率变化的灵敏性要高。我们因此希望较长期限的证券比较短期限的证券有着较大的折现率以补偿其较大的风险（在其他风险因素相等条件下）第九十页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四如上节分析所指出，利率和债券价格可以通过久期以一种线性关系联系起来。这种关系给出了一个债券价格变化精确的近似值，特别是在利率变化很小的情况下。然而，当利率变化较大时，这种关系将失去其精确性。因为此时两者的实际关系是一种曲线关系。由债券定价定理4可知，债券价格随利率下降而上升的数额要大于债券价格随利率上升同样幅度而下降的数额。由此可以说明这种关系的曲线性。这种价格反应的不对称性就是著名的凸性理论：

第九十一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条凸函数而不是一条直线函数。下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的影响。第九十二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四债券价值（美元）凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）65060055050045040035030050846342238632229578910111213利率%图5利率变化对债券价值影响关系图示第九十三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四如前所述，零息票债券的久期与其期限相同。因此图中债券的久期与期限一样也是10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。注意：在利率高于或低于10％时，以久期为基础的估计与由利率导出的债券价格之间存在一定差异，利率偏离10％越远差异越大。这是因为当利率不是10％时，估计的直线将在债券价格变化的曲线之下。第九十四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示基础的久期利率灵敏度公式。下式就是除久期外，将凸性因素考虑在内了。第九十五页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四注意：这个等式是一个二次方程，它能使我们更充分地表现债券价格与利率之间的关系。公式中的第一项与久期有关，其表现了直线的斜率，并给出了利率变化的一阶影响。余项与凸性有关，是一个二次项，表现了线的曲度并反应了利率变化的二阶影响。从数学上讲，久期项是债券价格――利率关系对利率变化的一阶导数，而凸性项是对利率变化的二阶导数。久期的公式前面已有定义，凸性的定义公式如下：第九十六页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四同久期的计算相似，导出凸性价值其实是用时间因素t(t+1)给现金流（息票和面值）加权，即上面公式中的分子，这个值再除以债券当前价格或现值。整个表达式再乘以1/2加以标准化。举例：一支利率为10％的零息票债券。假设利率由10％现在下降到9％，即100个基点。随着利率下降，债券价格由到期收益率10％时的386美元上升到了到期收益率为9％时的422美元，价格上升了9.33%。

第九十七页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33%的变化幅度。这个未预料出的9.33%-9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：第九十八页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个与凸性有关的债券价格变化估计量：将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的总的估计：第九十九页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四一个例子：假设一个债券的到期收益率为10％。下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性的影响。凸性的决定因素：票息和期限

期限

票息

票息010％5年

10年

20年15552107.3%12.3%31.2%第一百页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四

从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3）凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低利率部分更加弯曲。第一百零一页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四

在定位一个有关期限的投资组合时，债券经理们习惯上采用三种方法：（1）期限集中法；（2）梯形法；（3）杠铃法。当经理们对利率有确定的看法时，使用期限集中投资组合。期限集中投资组合，即子弹型组合。就是集中投资中等期限的债券，由于中间突出，所以叫子弹型。

第一百零二页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券，每一段时间都如此,接连不断，这样，投资者在以后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都是相等的。这种情况反映在图形上，形似间距相等的阶梯，故称“梯形投资法”。这种方法的特点是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于根据市场利率变动转换证券。第一百零三页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四杠铃投资法是将证券投资资金集中投放在短期证券与长期证券两类证券上，并随市场利率变动不断调整资金在两者之间的分配，以保持证券头寸的一种投资组合方法。大家应该都看见过杠铃，闭上眼设想一下杠铃的模样，是不是两头大、中间细。在债券投资中也有一种叫杠铃型投资的方法，这种投资模型是集中将资金投资于债券的两个极端：为了保证债券的流动性而投资于短期债券，为确保债券的收益性而持有长期债券，不买入中期债券。投资者可根据自己的流动性要求确定长期、短期债券的持有比例。对流动性的要求高，可提高短期债券的合理比例；要求低，则降低短期债券的持有比率。第一百零四页，共一百一十四页，编辑于2023年，星期四投资者也可以根据市场利率水平的变化而变更长、短期债券的持有比例。当市场利率水平上升时，可提高长期债券的持有比率；利率水平下降时，可降低长期债券的持有比例。杠铃投资法具体操作方法是：当长期利率看跌引起长期证券价格看涨时，即卖出部分短期证券，买进长期证券；当长期利率看涨引起长期证券看跌时，即将长期证券卖出，购回短期证券。同理，短期市场利率的升降也可决定长短期证券的进出。这种方法的关键在于对市场长、短期利率变化的准确预测。杠铃投资法必须建立在准确预测基础上，需要对市场上各种期限和类型的债券进行大量的观察和预测并作出反映，因此，投资者要耗费大量人力和物力，对于小投资者来说，往往得不偿失。第一百零五页，共一