第七章 三维物体的表示

第七章三维物体的表示2023/6/21计算机图形学1第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学27.1平面物体的表示

三维图形物体中运用边界表示的最普遍的方式是使用一组包围物体内部的表面多边形。很多图形系统以一组表面多边形来存储物体的描述。由于所有表面以线性方程形式加以描述，因此会简化并加速物体的表面绘制和显示。

第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学37.1.1多边形表

如图7.2所示，该方法阐述了一个物体表面的两个相邻多边形。

图7.2两个相邻多边形小平面的几何数据表表示

第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学47.1.1多边形表为了加快信息的存取，可将边表扩充成包括指向多边形表面表的指针，这样两个多边形的公共边可以很快地标识，如图7.3所示。

图7.3上图表面的边表扩充成包含指向多边形表的指针

第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学57.1.2平面方程

平面方程可以表示如下：

Ax+By+Cz+D=0运用Cramer规则，可解出系数A、B、C和D，用行列式表示如下

：

第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学67.1.2平面方程展开行列式，平面方程中的系数为平面的空间方向用平面的法向量来表示，如图7.4所示。

第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学77.1.2平面方程图7.5示例了一个单位立方体中的一个平面。(阴影多边形表面的平面方程为x-1=0，法向量为N＝(1,0,0)。第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学87.1.3多边形网格

图7.7表示了20个顶点形成12个四边形的网格。

图7.6

三角形带由11个三角形和13个顶点相连而成图7.7一个四边形网格含有12个四边形由5×4个顶点组成第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学97.2二

次

曲

面

二次曲面是一类常用的物体，这类表面使用二次方程进行描述。其中包括球面、椭球面、环面、抛物面和双曲面。二次曲面，尤其是球面和椭球面，是最基本的图形场景，经常作为图元而用于图形软件包中，由此可以构造更复杂的物体。

第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学107.2.1球面

用参数形式来描述球面，即使用纬度和经度(如图7.8所示)：

图7.8参数坐标位置(r,θ,φ)在半径为r的球面上

第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学117.2.2椭球面

椭球面可以被看成是球面的扩展，其中三条相互垂直的半径具有不同的值(如图7.10所示)。

椭球面中心在原点的笛卡儿表达式为

第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学127.2.2椭球面图7.10中，使用纬度角φ和经度角θ所表示的参数方程为

y=rycosφcosθz=rzsinφ

图7.10中心在原点、半径为的椭球面

第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学137.2.3环面

环面是轮胎状的物体，如图7.11所示。可以将环面看成是满足下列方程的解集：

图7.11环面，其圆剖面中心在坐标原点处

第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学147.3孔斯(Coons)曲面

1964年S.A.Coons将Hermite多项式所描述的处理曲线的方法推广用以处理曲面，提出一种曲面分片、拼合造型的思想。他用四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。

第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学157.3.1第一类Coons曲面

(1)对P(0,w)、P(1,w)在u向进行线性插值，得到如图7.12所示的直纹面。图7.12

对P(0,w)、P(1,w)在u向进行线性插值的直纹面

第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学167.3.1第一类Coons曲面(2)对P(u,0)、P(u,1)在w向进行线性插值，得到如图7.13所示的直纹面。图7.13

对P(u,0)、P(u,1)在w向进行线性插值的直纹面

第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学177.3.2第二类Coons曲面

第二类Coons曲面又称为双三次Coons曲面，是较为常用的Coons曲面。与第一类Coons曲面一样，第二类Coons曲面也可看作是三张面的组合，即。区别在于第二类Coons曲面不仅插值于曲面的四条边界，而且插值于给定边界的斜率。

第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学187.4贝塞尔(Bezier)曲面

7.4.1Bezier曲面的定义

给定空间的个点(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)，称如下形式的张量积参数曲面为次的Bezier曲面：

第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学197.4.1Bezier曲面的定义

Bezier曲面的矩阵表达式为当m=n=3时，上述曲面片称为双三次Bezier曲面

第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学207.4.2Bezier曲面的性质

(1)角点位置。

Bezier曲面的四个角点分别是其控制网格的四个角点，即

(2)边界线。

第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学217.4.2Bezier曲面的性质(3)角点切平面。在角点处，曲面的u向切矢量和w向切矢量分别为和，从而曲面在该点的切平面即为，，三个控制顶点确定的平面。(4)角点法矢量。(5)凸包性。曲面包含于其控制顶点Pij(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)的凸包之内。

第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学227.4.2Bezier曲面的性质(6)平面再生性。

当所有的控制顶点落于一张平面内时，由凸包性，Bezier曲面也落于该平面内。

(7)仿射不变性。

曲面的某些几何性质不随坐标变换而变化，并且对任一仿射变换，对曲面作变换等价于对其控制顶点作变换。

(8)拟局部性。

当修改一个控制顶点时，曲面上距离它近的点受影响大，距离它远的点受影响小。

第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学237.5B样条曲面

给定空间个点(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)和u,w参数轴上的节点向量，，称下面张量积参数曲面为阶B样条曲面。，

第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学247.5B样条曲面当，为均匀节点向量时，称为均匀B样条曲面，否则称为非均匀B样条曲面。B样条曲面公式也可写成如下矩阵形式：Pyz

(u,w)=UkMkPkhMThWTh

，，

B样条曲面具有局部性、凸凹性、仿射不变性等性质。

第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学257.5B样条曲面已知曲面的控制点(i,j=0,1,2,3)，参数u,w且，则构造双三次B样条曲面的步骤如下：(1)沿w(或u)向构造均匀三次B样条曲线(i=0,1,2,3)：

第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期四2023/6/21计算机图形学267.5B样条曲面(2)再沿u(或w