第三章线性代数方程组的数

第三章线性代数方程组的数第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期四3.1引言

给定一个线性方程组求解向量x。第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期四第一类是直接法。即按求精确解的方法运算求解。第二类是迭代法。其思想是首先把线性方程组(3-1)等价变换为如下形式的方程组：数值解法主要有两大类：然后构造迭代格式这称为一阶定常迭代格式，M称为迭代矩阵。第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.2解线性方程组的消去法

3.2.1高斯消去法与高斯若当消去法

例1

第一步：先将方程（1）中未知数的系数2除（1）的两边，得到下列方程组：

解：1、消元过程矩阵的观点第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

再将第二个方程减去第一个方程的4倍，第三个方程减去第一个方程的2倍。

第二步：将方程中第二个方程的两边除以的系数4

第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

将第三个方程减去第二个方程：

第三步：为了一致起见，将第三个方程中的系数变为1，

2、回代过程：第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

下面我们来讨论一般的解n阶方程组的高斯消去法，且就矩阵的形式来介绍这种新的过程：一、高斯消去法第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期四高斯消去法：

（1）消元过程：对k=1,2,…,n依次计算

(2)回代过程：第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

例3.1试用高斯消去法求解线性方程组

消元过程为解第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期四即把原方程组等价约化为据之回代解得第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期四为了避免回代的计算，我们可在消元过程中直接把系数矩阵A约化为单位矩阵I，从而得到解，即这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法

二、高斯-若当（Jordan）消去法

第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期四解归一消元第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期四归一消元归一消元第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期四例2试用高斯-若当消去法求解例3.1的线性方程组。

因为解第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期四高斯-若当（Jordan）消去法

一般公式：

第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期四高斯约当消去法是一个具有消去过程而无回代过程的算法。以上两种消去法都是沿系数矩阵的主对角线元素进行的，即第k次消元是用经过前k-1次消元之后的系数阵位于（k,k)位置的元素作除数，这时的(k,k)位置上的元素可能为0或非常小，这就可能引起过程中断或溢出停机。

3.2.2消去法的可行性和计算工作量

第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期四定理3.1

如果的各阶顺序主子式均不为零，即有即消去法可行。推论若系数矩阵严格对角占优，即有

第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期四注意：高斯-若当消去法求解矩阵方程和求矩阵的逆矩阵例3.3试用高斯-若当消去法求解如下矩阵方程解：其中X是矩阵第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.2.3选主元素的消去法

主元素的选取通常采用两种方法：一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。下面以例介绍选主元的算法思想例3.4试用选主元消去法解线性方程组

第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期四（1）用全主元高斯消去法回代解出：还原得：解第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期四故得解为（2）用全主元高斯-若当消去法归一、消元主元主元主元归一、消元归一、消元第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期四（3）用列主元高斯消去法回代解得第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.3解线性方程组的矩阵分解法

一、非对称矩阵的三角分解法

矩阵分解法的基本思想是：可逆下三角矩阵可逆上三角矩阵对于给定的线性方程组（1）分解——解两个三角形方程组。第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期四定理3.3注意第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期四矩阵的Crout分解的计算公式第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期四(3-12)Crout分解的计算公式第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期四Crout分解的计算公式的记忆方法第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期四第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期四注：第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期四例1.试用克洛特分解法解线性方程组0第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期四第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期四例3.5试用克洛特分解法解线性方程组解第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期四第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.3.3对称正定矩阵的三角分解

定义3.1若n阶方矩阵A具有性质且对任何n维向量成立，则称A为对称正定矩阵。定理3.4若A为对称正定矩阵，则

(1)A的k阶顺序主子式(2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D使得（3-16）这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。(3)有且仅有一个下三角矩阵，使（3-17）这称为分解矩阵的平方根法。第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

（1）首先由A对称正定知且对任何k维非零向量

故为k阶对称正定矩阵，所以

由惟一性得

证第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期四把平方根法应用于解方程组，则把Ax=b化为等价方程相应的求解公式为第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期四把乔里斯基分解法应用于解方程组，则Ax=b化为等价方程相应的求解公式为第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期四j1jj-1由此可建立平方根法的递推计算公式如下：第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期四注：平方根法的递推计算记忆法第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期四例3.8试用平方根法求解对称线性方程组

解

(1)第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期四由此，可先由上三角形线性方程组再由下三角形线性方程组第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期四类似地，由得从而可建立乔里斯基分解法的递推计算公式为对于依次计算第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期四例3.7用乔里斯基分解法分解矩阵

解由式(3-9)第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期四第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

例3.9试用乔里斯基分解法解线性方程组解第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期四第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.4解线性方程组的迭代法

迭代法思想:(1)Ax=b(3-1)(2)建立迭代格式这称为一阶定常迭代格式，M称为迭代矩阵。第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.4.1雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法

约化便得从而可建立迭代格式对

（3-23）以分量表示即一、Jacob迭代法雅可比（Jacobi）迭代

第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期四则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为MJfJ第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期四-------雅可比迭代例如解：修正-----高斯-塞德尔迭代第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期四用矩阵表示为对雅可比迭代格式修改得高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代

fG-SMG-S二、Gauss-Seidel迭代法第五十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期四例3.10分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组

解相应的迭代公式为雅可比迭代高斯-塞德尔迭代令取四位小数迭代计算由雅可比迭代得

由高斯-塞德尔迭代得

第五十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

3.4.2迭代法的收敛性

定义3.2设n阶线性方程组的精确解为x*

相应的一阶定常迭代格式为如果其迭代解收敛于精确解，即则称迭代格式（3-26）收敛命题3.2记的充分必要条件为第五十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期四定理3.5若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵满足条件

则该迭代格式对任何初始向量均收敛。则该迭代格式对任何初始向量均收敛。

定理3.6

若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵满足条件第五十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期四定理3.7若雅可比迭代法的迭代矩阵满足条件（3-28）或（3-29），则雅可比迭代法与相应的高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量均收敛。推论

如果线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，即则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量均收敛。

第五十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期四

定理3.8一阶定常迭代格式对任何初始向量均收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1，即这里为M的特征值定理3.9

若线性方程组（3-1）的系数矩