初中数学沪科版九年级下册第24章圆2三角形的内切圆【省一等奖】

24.5三角形的内切圆24.5三角形的内切圆情景导入

小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？24.5三角形的内切圆

若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？

最大的圆与三角形三边都相切24.5三角形的内切圆ABCM已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1.作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.NID1.作圆，使它和已知三角形的各边都相切2.过点I作ID⊥BC，垂足为D.3.以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.合作探究：24.5三角形的内切圆画角平分线→定内心→画垂线→定半径→画圆→结论三角形内心的性质：（1）三角形的内心到三角形各边的距离相等；（2）三角形的内心在三角形的三内角角平分线上；CAB．I画三角形的内切圆:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.合作探究：定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，

内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.24.5三角形的内切圆1.如图1,△ABC是⊙O的

三角形。⊙O是△ABC的

圆,点O叫△ABC

的

,它是三角形的

的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2,△DEF是⊙I的

三角形,⊙I是△DEF的

圆,

点I是△DEF的

心,它是三角形

的交点。ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三个角平分线DEFG.O3.如上图，四边形DEFG是⊙O的

四边形，⊙O是四边形

DEFG的

圆.内切外切合作探究：24.5三角形的内切圆7．o外接圆圆心:三角形三边垂直平分线的交点.外接圆的半径:交点到三角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心:三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径:交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC合作探究:24.5三角形的内切圆名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边垂直平分线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.OD=OE=OF2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．●OABCCOABFED24.5三角形的内切圆1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）2.三角形的外心到三角形各边的距离相等（）3.等边三角形的内心和外心重合；（）4.三角形的内心一定在三角形的内部（）5.菱形一定有内切圆（）6.矩形一定有内切圆（）错错对对

错

对一、判断题：合作探究：

二、填空：ABCI．．O

如图,△ABC的顶点在⊙O上,△ABC的各边与⊙I都相切,则△ABC是⊙I的

三角形;△ABC是⊙O的

三角形;⊙I叫△ABC的

圆;⊙O叫△ABC的

圆,点I是△ABC的

心,点O是△ABC的

心.外切内接内切外接内外24.5三角形的内切圆例题讲解例1如图,在△ABC

中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.解：连接IB，IC.因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线.在△IBC中，有∠BIC=

180°－(∠IBC+∠ICB)=

180°－(∠B+∠C)=180°－(43°+61°)=128°ABCI若I是△ABC的内心，则有

∠BIC＝90°＋∠A.24.5三角形的内切圆例2、已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得:Z=5X+y+z=18x+y=1324.5三角形的内切圆例3

如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径r.思路：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解．还可以发现四边形OECD为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示

AB的长，再求解．24.5三角形的内切圆解：方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝∵S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC，∴∴r＝24.5三角形的内切圆方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，∴四边形OECD是正方形．∴EC＝CD＝r.∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD

＝(AC－EC)＋(BC－CD)

＝3－r＋4－r＝7－2r.又易知AB＝∴7－2r＝5，即r＝1.24.5三角形的内切圆拓展：(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，

则S＝lr.(2)直角三角形内切圆的半径r＝(直角边长a＋直角边长b－斜边长c)．24.5三角形的内切圆随堂演练1.如△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的(

)A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点D24.5三角形的内切圆A2.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心

C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形

24.5三角形的内切圆3.如图,在△ABC中,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF=

°.5524.5三角形的内切圆4.如图，直角三角形的两直角边BC=5cm,AC=12cm则其内切圆的半径为______,外接圆的半径为______。2cm6.5cmBCDFEAO24.5三角形的内切圆5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CB