山东省济南市锦泽技工学校2024届数学高二上期末考试试题含解析

山东省济南市锦泽技工学校2024届数学高二上期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.2．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.3．直线被圆截得的弦长为（）A.1 B.C.2 D.34．下列说法中正确的是（）A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形C.正三棱锥的所有棱长都相等 D.所有几何体的表面都能展开成平面图形5．已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为A. B.C. D.6．已知函数有两个极值点m，n，且，则的最大值为（）A. B.C. D.7．在空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（）A. B.C. D.8．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日9．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]10．如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（）A. B.C. D.12．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A. B.C. D.与相交但不垂直二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在长方体中，M、N分别是BC、的中点，若，则______14．已知球的表面积是，则该球的体积为________.15．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.16．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，E为BP的中点，，（1）证明：平面PAD；（2）求平面EAC与平面PAC夹角的余弦值18．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线（1）求及线段BC的长；（2）求△ADE的面积19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是的中点（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值20．（12分）已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，F为椭圆的右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）经过点的直线与椭圆C交于两点，，且以为直径的圆经过原点，求直线的斜率；（3）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于的直线过定点22．（10分）已知函数在处的切线垂直于直线.（1）求（2）求的单调区间

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【题目详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B2、D【解题分析】依次确定选项中各个抛物线的焦点坐标即可.【题目详解】对于A，的焦点坐标为，A错误；对于B，的焦点坐标为，B错误；对于C，焦点坐标为，C错误；对于D，的焦点坐标为，D正确.故选：D.3、C【解题分析】利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.【题目详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.故选：C.4、B【解题分析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断【题目详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误故选：B5、B【解题分析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.【题目详解】因为双曲线的离心率，所以，设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，即双曲线的方程为，选B.【题目点拨】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.6、C【解题分析】对求导得，得到m，n是两个根，由根与系数的关系可得m，n的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【题目详解】由得：m，n是两个根，由根与系数的关系得：，故，令记，则，故在上单调递减.故选：C7、C【解题分析】由空间中关于坐标轴对称点坐标的特征可直接得到结果.【题目详解】关于轴对称的点的坐标不变，坐标变为相反数，关于轴对称的点为.故选：C.8、B【解题分析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【题目详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B9、B【解题分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【题目详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.10、B【解题分析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.【题目详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，，设的夹角为，则，所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，故选：B.11、B【解题分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.【题目详解】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，∴，则故选：B.12、B【解题分析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论【题目详解】因为，，所以，所以∥，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、－2【解题分析】作出图像，根据几何关系，结合空间向量的加减法运算法则即可求解.【题目详解】，∴，，，故答案为：－2.14、【解题分析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【题目详解】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：【题目点拨】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.15、3【解题分析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.【题目详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，根据抛物线定义，可得，即，所以抛物线的准线方程为，又由双曲线C的两条渐近线方程为，则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，解得，又由，可得，所以双曲线C离心率.故答案为：3.16、【解题分析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得.【题目详解】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）通过作辅助线，构造平行四边形，在平面PAD找到线并证明，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面EAC与平面PAC的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：取PA的中点F，由E为PB的中点，则，，而，，所以且，则四边形CDFE为平行四边形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小问2详解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，，，向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：，，，，，设平面APC的法向量为，由，，有，取，则，，即，设平面EAC的法向量为，由，，有，取，则，，即，所以，由原图可知平面EAC与平面PAC夹角为锐角，所以平面EAC与平面PAC夹角的余弦值为18、（1），BC＝6（2）【解题分析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得，结合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面积，结合角平分线、中线的性质求得三角形的面积.小问1详解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.【小问2详解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD为BC边的中线，∴，∴.19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）构建空间直角坐标系，设，结合已知确定相关点坐标，进而求面、面的法向量，结合已知二面角的余弦值求出参数t，再根据空间向量夹角的坐标表示求与平面所成角的正弦值【小问1详解】由平面，平面，则，又是菱形，则，又，所以平面，平面所以E.【小问2详解】分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，由（1）知：平面的法向量为，令面的法向量为，则，令，可得，因为二面角的余弦值为，则，可得，则，设与平面所成的角为，又，，所以.20、（1）（2）【解题分析】（1）根据得到，再结合为等比数列求出首项，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得数列的通项公式，进而利用公式法即可求出【小问1详解】解：（1），，当时，，即，又，为等比数列，所以，，数列的通项公式为【小问2详解】（2）由（1）知，则，数列的前项和21、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出，即可求出椭圆方程.（2）设出与的坐标即直线的方程，把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理，由题意以为直径圆经过原点可得，化简即可求出直线的斜率.（3）由题意可得圆的方程，设，由和直线的方程化简，即可得到答案.【小问1详解】，，椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.设.把直线的方程与椭圆的方程进行联立得：..由以为直径圆经过原点知，..经检验，满足，