江西师大附中2024届高二数学第一学期期末检测试题含解析

江西师大附中2024届高二数学第一学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.2．为了了解某地区的名学生的数学成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，现用系统抽样的方法，需从总体中剔除个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（）A. B.C. D.3．在等比数列中,，,则等于A. B.C. D.或4．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（）A B.C. D.5．如图，在三棱锥中，是线段的中点，则（）A. B.C. D.6．函数极小值为（）A. B.C. D.7．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（）.A. B.C. D.8．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）A B.C. D.9．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数10．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）A.0 B.1C.无数个 D.0或无数个11．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零12．在等比数列中，若，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______14．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中A点，将，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则四面体的外接球表面积为____________.16．已知圆和直线.（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程19．（12分）已知直线：，直线：（1）若，之间的距离为3，求c的值：（2）求直线截圆C：所得弦长20．（12分）已知圆,直线（1）判断直线与圆的位置关系；（2）若直线与圆交于不同两点,且,求直线的方程21．（12分）若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.（1）设，，试判断A、B是否为有界集合，并说明理由；（2）已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值.22．（10分）如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用，把代入中，即可求出答案.【题目详解】当时，.当时，.故选：C.2、D【解题分析】根据每个个体被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分别由剔除的个数和抽取的样本容量除以总体个数即可求解.【题目详解】根据系统抽样的定义和方法可知：每个个体被抽取的概率都是相等的，每个个体被剔除的概率也都是相等的，所以每个个体被剔除的概率为，每个个体被抽取的概率为，故选：D.3、D【解题分析】∵为等比数列，∴，又∴为的两个不等实根，∴∴或∴故选D4、A【解题分析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.【题目详解】由题意得，因为，所以（），即，解得，所以.故选:A5、A【解题分析】根据给定几何体利用空间向量基底结合向量运算计算作答.【题目详解】在三棱锥中，是线段的中点，所以：.故选：A6、A【解题分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.【题目详解】对函数求导得，令，可得或，列表如下：减极小值增极大值减所以，函数的极小值为.故选：A.7、A【解题分析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误.【题目详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确故选：A8、B【解题分析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.【题目详解】因为，所以，故选：B9、C【解题分析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【题目详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.10、D【解题分析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.【题目详解】设等比数列的公比为，当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，当时，，所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.故选：D.11、B【解题分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【题目详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B12、D【解题分析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.【题目详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.【题目详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.故答案为：2.【题目点拨】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.14、##0.5【解题分析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.【题目详解】依题意，，，所以.故答案：15、【解题分析】由题意在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,则长方体与四面体的外接球相同，从而可求解.【题目详解】将直角，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，所以在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,如图.则长方体与四面体的外接球相同.长方体的外接球在其对角线的中点处.由题意可得，则长方体的外接球的半径为所以四面体的外接球表面积为故答案为：16、（1）直线过定点P（4，3），直线和圆总有两个不同交点（2）k=1，【解题分析】(1)把直线方程化为点斜式方程即可；(2)由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.【小问1详解】直线方程可化为，则直线过定点P（4，3），又圆C标准方程为，圆心为，半径为，而，所以点P在圆内，所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点.【小问2详解】由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.，所以k=1时弦长最短.弦长为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9【解题分析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用各组数据中点值乘以频率后相加得均值【题目详解】（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，因此优秀学生有（人）；（2）设第一组频率为，则第二组频率为，所以，，第一组频率为，第二组频率为频率分布直方图如下：（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，设中位数为，则，均值为18、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解题分析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果(2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程【小问1详解】由抛物线定义可知：，解得：，抛物线的方程为：【小问2详解】由抛物线方程知：，设直线，，，，，联立方程，得：，，，以线段为直径的圆过点，，，解得：，直线的方程为：，即19、（1）或（2）【解题分析】（1）根据两条平行直线的距离公式列方程，化简求得的值.（2）利用弦长公式求得.【小问1详解】因为两条平行直线：与：间的距离为3，所以解得或.【小问2详解】圆C：，圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，所以弦长20、（1）直线与圆相交；（2）或【解题分析】（1）通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，不难发现直线和圆相交．（2）根据垂径定理，得到圆心与直线的距离，进而列方程求解即可试题解析：（1）将圆方程化为标准方程,所以圆的圆心,半径,圆心到直线的距离,因此直线与圆相交（2）设圆心到直线的距离为,则,又,解得所求直线为或考点：直线与圆的位置关系21、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由见解析（2）【解题分析】（1）解不等式求得集合A；由，根据指数函数的性质求得集合B，由此可得结论；（2）由函数，得出函数单调递减，即有，分和两种情况讨论，求得集合的上界，再由集合的上界函数的单调性可求得集合的上界的最小值.【小问1详解】解：由得，即，，对任意一个，都有一个，故不是有界集合；，，，，是有界集合，上界为1；【小问2详解】解：，因为，所以函数单调递减，，因为函数为有界集合，所以分两种情况讨论：当，即时，集合的上界，当时，不等式为；当时，不等式为；当时，不等式为，即时，集合的上界，当，即时，集合的上界，同上解不等式得的解为，即时，集合的上界，综上得时，集合的上界；时，集合的上界.时，集合的上界是一个减函数，所以此时，时，集合的上界是增