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文档简介
河南省驻马店经济开发区高级中学2024学年数学高二上期末学业水平测试模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知角的终边经过点,则,的值分别为A., B.,C., D.,2.甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有位优秀,位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙、丁可以知道对方的成绩C.乙可以知道四人的成绩 D.丁可以知道四人的成绩3.过点且斜率为的直线方程为()A. B.C. D.4.已知,,若不等式恒成立,则正数的最小值是()A.2 B.4C.6 D.85.已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则的值为()A. B.C. D.6.以下命题是真命题的是()A.方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量B.若m为数据(i=1,2,3,····,2021)的中位数,则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.若“”为假命题,则均为假命题7.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是()A.既不互斥也不对立 B.互斥又对立C.互斥但不对立 D.对立8.运行如图所示程序后,输出的结果为()A.15 B.17C.19 D.219.“,”是“方程表示双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为()A. B.C.8 D.1211.设为椭圆上一点,,为左、右焦点,且,则()A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.,,三点构不成三角形12.我们知道∶用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分,则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于()A. B.C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知正方体的棱长为6,E为棱的中点,F为棱上的点,且,则___________.14.三棱锥中,、、两两垂直,且.给出下列四个命题:①;②;③和的夹角为;④三棱锥的体积为.其中所有正确命题的序号为______________.15.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为____.16.设是数列的前项和,且,则_____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召若干名宣传志愿者,成立环境保护宣传小组,现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组,得到的频率分布直方图如图所示,已知年龄在内的人数为.(1)若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动,再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲,求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率;(2)在(1)的条件下,记抽取的名志愿者分别为甲、乙,该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者,给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件,求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.18.(12分)如图,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,(1)求证:∥平面;(2)求证:平面平面19.(12分)如图,在直三棱柱中,平面侧面,且.(1)求证:;(2)若直线与平面所成的角为,请问在线段上是否存在点,使得二面角的大小为,若存在请求出的位置,不存在请说明理由.20.(12分)已知首项为1的数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前n项和.21.(12分)自2021年秋季起,江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革,为了迎接新高考,某校举行物理和化学等选科考试,其中600名学生化学成绩(满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组.已知图中前三个组的频率依次构成等差数列,第一组和第五组的频率相同(1)求a,b的值;(2)估算高分(大于等于80分)人数;(3)估计这600名学生化学成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(中位数精确到0.1)22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线:,点,过点的直线l与抛物线交于A,B两点:当l与抛物线的对称轴垂直时,(1)求抛物线的标准方程;(2)若点A在第一象限,记的面积为,的面积为,求的最小值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用任意角的三角函数的定义:,,,代入计算即可得到答案【题目详解】由于角的终边经过点,则,,(为坐标原点),所以由任意角的三角函数的定义:,.故答案选C【题目点拨】本题考查任意角的三角函数的定义,解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用,属于基础题2、A【解题分析】分析可知乙、丙的成绩中必有位优秀、位良好,结合题意进行推导,可得出结论.【题目详解】由于个人中的成绩中有位优秀,位良好,甲知道乙、丙的成绩,还是不知道自己的成绩,则乙、丙的成绩必有位优秀、位良好,甲、丁的成绩中必有位优秀、位良好,因为给乙看丙的成绩,则乙必然知道自己的成绩,丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩.故选:A.3、B【解题分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【题目详解】由题意可知所求直线的方程为,即.故选:B.4、B【解题分析】由基本不等式求出的最小值,只需最小值大于等于18,得到关于的不等式,求解,即可得出结论.【题目详解】,因为不等式恒成立,所以,即,解得,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查基本不等式的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.5、A【解题分析】函数的图象在点处的切线与直线平行,利用导函数的几何含义可以求出,转化求解数列的通项公式,进而由数列的通项公式,利用裂项相消法求和即可【题目详解】解:∵函数的图象在点处的切线与直线平行,由求导得:,由导函数得几何含义得:,可得,∴,所以,∴数列的通项为,所以数列的前项的和即为,则利用裂项相消法可以得到:所以数列的前2021项的和为:.故选:A.6、A【解题分析】A:根据方差和标准差的定义进行判断;B:根据中位数的定义判断;C:根据回归直线必过样本中心点进行判断;D:根据“且”命题真假关系进行判断.【题目详解】对于A,方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量,故A正确;对于B,若为数据,2,3,,的中位数,需先将数据从小到大排列,此时数据里面之间的数顺序可能发生变化,则为排序后的第1010个数据的值,这个数不一定是原来的,故B错误;对于C,回归直线一定经过样本点的中心,,故C错误;对于D,若“”为假命题,则、中至少有一个是假命题,故D错误;故选:A7、C【解题分析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.【题目详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生,但能同时不发生,所以它们的关系是互斥但不对立.故选:C.8、D【解题分析】根据给出的循环程序进行求解,直到满足,输出.【题目详解】,,,,,,,,,,,,所以.故选:D9、A【解题分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】由,可知方程表示焦点在轴上的双曲线;反之,若表示双曲线,则,即,或,所以“,”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选:A10、B【解题分析】首先确定几何体的空间结构特征,然后求解其表面积即可.【题目详解】由题意知,该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体,正三角形的边长为:,正三角形边上的一条高为:,所以一个正三角形的面积为:,所以多面体的表面积为:.故选:B11、D【解题分析】根据椭圆方程求出,然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出,进而判断答案.【题目详解】由题意可知,,由椭圆的定义可知,而,联立方程解得,且,则6+2=8,即不构成三角形.故选:D.12、C【解题分析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得,建立适当的平面直角坐标系,可得C的坐标,设抛物线的方程,将C的坐标代入求出抛物线的方程,进而可得焦点到其准线的距离【题目详解】设AB,CD的交点为,连接PO,由题意可得PO⊥面AB,所以PO⊥OB,由题意OB=OP=OC=2,因为E是母线PB的中点,所以,由题意建立适当的坐标系,以BP为y轴以OE为x轴,E为坐标原点,如图所示∶可得∶,设抛物线的方程为y2=mx,将C点坐标代入可得,所以,所以抛物线的方程为∶,所以焦点坐标为,准线方程为,所以焦点到其准线的距离为故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、18【解题分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积运算求解.【题目详解】建立如图所示空间直角坐标系:则,所以,所以,故答案为:1814、①②③【解题分析】设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【题目详解】设,由于、、两两垂直,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则、、、.对于①,,所以,,①正确;对于②,,,则,②正确;对于③,,,,,所以,和的夹角为,③正确;对于④,,,,则,所以,,而三棱锥的体积为,④错误.故答案为:①②③.【题目点拨】关键点点睛:在立体几何中计算空间向量的相关问题,可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算即可.15、【解题分析】由已知找到异面直线所成角的平面角,再运用余弦定理可得答案.【题目详解】解:设BD的中点为O,连接EO,FO,所以,则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD,BC所成的角的平面角,又因为EO=AD=1,FO=BC=,EF=.根据余弦定理得=-,所以∠EOF=150°,异面直线AD与BC所成角的大小为30°.故答案为:30°.16、【解题分析】根据题意可知,再利用裂项相消法,即可求出结果.【题目详解】因为,所以.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解题分析】(1)将名志愿者进行编号,列举出所有的基本事件,并确定所求事件所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率;(2)列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况,并确定所求事件所包含的情况,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解:因为志愿者年龄在、、内的频率分别为、、,所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在、、内的人数分别为、、.记年龄在内的名志愿者分别记为、、,年龄在的名志愿者分别记为、,年龄在内的名志愿者记为,则从中抽取名志愿者的情况有、、、、、、、、、、、、、、,共种可能;而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、、、、,共种可能.所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为.【小问2详解】解:甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、、、、,共种可能;而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、、,共种可能.故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为.18、(1)证明见解析(2)证明见解析【解题分析】(1)根据线面平行的判定,证明即可;(2)过C作,垂足为M,根据勾股定理证明,再根据线面垂直的性质与判定证明平面BCE即可【小问1详解】证明:因为四边形ABEF为矩形,所以,又平面BCE,平面BCE,所以平面BCE【小问2详解】过C作,垂足为M,则四边形ADCM为矩形因为,,所以,,,,所以,所以因为平面ABCD,,所以平面ABCD,所以又平面BCE,平面BCE,,所以平面BCE,又平面ACF,所以平面平面BCE19、(1)证明见解析(2)存在,点E为线段中点【解题分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面,从而证明结论;(2)建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标,求平面的法向量,利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明:连接交于点,因,则由平面侧面,且平面侧面,得平面,又平面,所以三棱柱是直三棱柱,则底面ABC,所以.又,从而侧面,又侧面,故.【小问2详解】由(1).平面,则直线与平面所成的角,所以,又,所以假设在线段上是否存在一点E,使得二面角的大小为,由是直三棱柱,所以以点A为原点,以AC、所在直线分别为x,z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,且设,
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