2024届新疆奎屯市农七师高级中学高二上数学期末学业水平测试试题含解析

2024届新疆奎屯市农七师高级中学高二上数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与圆：相切，则（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或22．已知两个向量，若，则的值为（）A. B.C.2 D.83．已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（）A.1 B.2C. D.4．一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）A. B.C. D.15．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.756．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A. B.C. D.7．在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（）A.3 B.6C.5 D.48．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)9．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.8410．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形11．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是A. B.C. D.12．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A.3 B.2C.1 D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，，若将函数的图像向左平移个单位能使其图像与原图像重合，则正实数的最小值为___________.14．已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________15．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.16．已知方程，若此方程表示椭圆，则实数的取值范围是________；若此方程表示双曲线，则实数的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，为的导函数（1）求的定义域和导函数；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围18．（12分）在中，，，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.（1）求角的大小；（2）求的面积.条件①：；条件②：.19．（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求.20．（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：工龄x（单位：年）4681012生产速度y（单位：件/小时）4257626267根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，21．（12分）设函数过点（1）求函数的单调区间和极值（要列表）；（2）求函数在上的最大值和最小值.22．（10分）已知函数（1）若在点处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求证：；（3）若函数有两个零点，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.【题目详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.故选：B2、B【解题分析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【题目详解】因为，所以，即，解得.故选：B3、B【解题分析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.【题目详解】由椭圆的标准方程可知：，则焦距为，故选：B.4、B【解题分析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.【题目详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为，宽为，则由题意得：，解得：，而长方体体积为，当且仅当时等号成立，故选：B5、C【解题分析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【题目详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C6、A【解题分析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.【题目详解】连接，如下图所示：因为为的中点，所以，又因为为的中点，所以，所以，故选：A.7、D【解题分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可；【题目详解】解：依题意，即，所以，解得故选：D8、B【解题分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.【题目详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故选：B9、C【解题分析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【题目详解】∵随机变量服从正态分布，∴故选：C.10、B【解题分析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【题目详解】因为，所以，由余弦定理，因为，所以，又，∴，故为直角三角形.故选：B.11、C【解题分析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.又直线过点，故方程为.代入双曲线方程，得点的坐标为.同理可得，点的坐标为.故的面积为,选C.12、C【解题分析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题.【题目详解】解：由题意得：函数的图像向左平移个单位后得：该函数与原函数图像重合故可知，即故当时，最小正实数.故答案为：14、【解题分析】根据点是弦的中点，为坐标原点，利用点差法求解.【题目详解】设，且，则，（1），（2）得：，，.又，，.故答案为：15、2【解题分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.【题目详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，设，，则，∴，∴.故答案为：2.16、①.②.【解题分析】分别根据椭圆、双曲线的标准方程的特征建立不等式即可求解.【题目详解】当方程表示椭圆时，则有且，所以的取值范围是；当方程表示双曲线时，则有或，所以的取值范围是.故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）在单减，也单减，无增区间（3）【解题分析】（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.【小问1详解】解：的定义域为，；【小问2详解】解：当时，，恒成立，所以在和上递减；【小问3详解】解：若对，都有成立，即，即，令，，则，对于函数，，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，当时，，所以，所以，故恒成立，在为减函数，所以，所以，由（1）知，，所以，记，令，，则原式的值域为，因为存在，使成立，所以，，所以，综上，【题目点拨】本题考查了函数的定义域及导数的四则运算，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了计算能力及数据分析能力，对不等式恒成立合理变形转化为求最值是解题关键.18、（1）条件选择见解析，（2）【解题分析】（1）选①，利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；选②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：选①，，由余弦定理可得，，所以，.选②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得.19、（1）（2）1280【解题分析】（1）直接利用等差数列通项公式即可求解；（2）先判断出数列单调性，由，则时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】设数列的公差为，由，可知，∴;【小问2详解】由（1）知，数列为单调递减数列，由，则时，，时，；.20、（1）（2）80件/小时【解题分析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.【小问1详解】解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，由频率分布直方图，得，即，解得，则，，所以中位数为.【小问2详解】解：由题意，得，，由所给公式，得，，所以回归直线方程为，则当时，，即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.21、（1）增区间，，减区间，极大值，极小值（2）最大值，最小值【解题分析】（1）将点代入函数解析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.【小问1详解】∵点在函数的图象上，∴，解得，∴，∴，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值∴当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；【小问2详解】由（1）可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴,又,,∴22、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解题分析】（1）由可求得实数的值；（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.【小问1详解】解：因为的定义域为，.由题意可得，解得.【小问2详解】证明：当时，，该函数的定义域为，，令，其中，则，故函数在上递减，因为，，所以，存在，使得，则，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，，所以，当时，.【小问3详解】解：函数的定义域为，.