山东省山东师大附中2024年高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

山东省山东师大附中2024年高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对2．在平面区域内随机投入一点P，则点P的坐标满足不等式的概率是（）A. B.C. D.3．已知数列的前n项和为，，，则=（）A. B.C. D.4．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线5．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）A. B.C. D.6．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A. B.C. D.8．设数列、都是等差数列，若，则等于（）A. B.C. D.9．设，直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.11．设，，则“”是“”的A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件12．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（）A.2 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________.14．在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______.15．设x，y满足约束条件则的最大值为________16．若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.18．（12分）已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.19．（12分）已知数列满足，（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由20．（12分）已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)（1）求椭圆E的方程;（2）过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值21．（12分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点（1）若线段的中点为，求的值；（2）若，求证：原点到直线的距离为定值22．（10分）求下列函数的导数（1）；（2）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【题目详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【题目点拨】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.2、A【解题分析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.【题目详解】根据题意作出示意图，如图所示：于，所求概率.故选：A.3、D【解题分析】利用公式计算得到，得到答案【题目详解】由已知得，即，而，所以故选：D4、D【解题分析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【题目详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D5、C【解题分析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.【题目详解】由，则，可得.故选：C.6、D【解题分析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【题目详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【题目点拨】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.7、A【解题分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【题目详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.8、A【解题分析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.【题目详解】设等差数列的公差为，即，由于数列也为等差数列，则，可得，即，可得，即，解得，所以，数列为常数列，对任意的，，因此，.故选：A.【题目点拨】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.9、A【解题分析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【题目详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.10、B【解题分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，可得其渐近线的方程【题目详解】双曲线的渐近线方程是，即，故选B【题目点拨】本题考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质等知识，属于基础题11、C【解题分析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.12、C【解题分析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得【题目详解】由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】设出，根据条件推出在圆上运动，根据题意要使双曲线和圆有交点，则得答案.【题目详解】设点，由得：，所以，化简得：，即满足条件的点在圆上运动，又点存在于上，故双曲线与圆有交点，则,即实数a的最大值为2，故答案为：214、##【解题分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【题目详解】梯形ABCD：由题意可知空间几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的圆锥，几何体的体积为：故答案为：15、1【解题分析】先作出可行域，由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，求出点坐标代入目标函数中可得答案【题目详解】作出可行域如图（图中阴影部分），由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：116、【解题分析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解.【题目详解】由题意，圆，可得圆心为，因为圆心为在直线上，可得，解得.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小问2详解】，，∴平面∴为平面的法向量则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角.∴平面与平面所成角的余弦值为.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程；（2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可.小问1详解】由题设，且，故，，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设直线为，联立椭圆并整理得：，所以，可得，且，，所以且，故当时，.19、（1）；（2）存在，3【解题分析】(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得，即求【题目详解】（1）证明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得（2）解：∵，，所以，依题意，要使对于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为320、（1）（2）证明见解析【解题分析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可(2)用直线参数方程的几何意义求解【小问1详解】选①:由题知,过点且斜率为1的直线方程为联立,得由,得所以椭圆的方程为选②:由题知,所以由,得所以椭圆的方程为【小问2详解】证明:设直线的参数方程为(为参数)设A,B,H对应的参数分别为,显然将代入椭圆,得即.所以将代入直线,得由,得,所以由,得,所以所以所以为定值【题目点拨】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还要注意方向性.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分21、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；（2）设出直线的方