福建省漳州市桥东中学2022年高一数学理期末试题含解析

福建省漳州市桥东中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C2.(本题满分12分)已知过点M(-3,-3)的直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程.参考答案：解:将圆的方程写成标准形式,得所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长为5.因为直线被圆所截得的弦长是,所以弦心距为即圆心到所求直线的距离为依题意设所求直线的方程为,因此所以解得故所求的直线方程有两条,它们的方程分别为略3.若锐角满足，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】化简得到，故，得到答案.【详解】，故.故，故.锐角，，故.故选：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.4.（3分）化简+（﹣1）﹣1的结果为（） A． 26 B． ﹣28 C． 27 D． 28参考答案：A考点： 有理数指数幂的化简求值．专题： 计算题．分析： 根据指数幂的运算性质进行化简即可．解答： 原式=+（﹣1）=33﹣1=26，故选：A．点评： 本题考查了指数幂的化简求值问题，是一道基础题．5.（5分）设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经观察，y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（） A． ，t∈ B． ，t∈ C． ，t∈ D． ，t∈参考答案：A考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题；应用题；压轴题．分析： 通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=K+Asin（ωx+φ）中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．解答： 排除法：∵y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，∴由T=12可排除C、D，将（3，15）代入排除B．故选A点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题．6.函数在区间上的零点个数是（

）A

3个

B

5个

C

7个

D

9个参考答案：A7.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（?UM）等于（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，求出?UM与N∩（?UM）即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，∴?UM={2，3，5}，∴则N∩（?UM）={3，5}．故选：C．8..函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为2，则

的值是（

）A．-1

B．0

C．-

D．-参考答案：C略9.设向量均为单位向量，且(＋)，则与夹角为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C略10.函数有（

）A.最大值4，最小值0

B.最大值0，最小值-4C.最大值4，最小值-4

D..最大值，最小值都不存在参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

参考答案：略12.在1，2，3，4共４个数字中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的２倍的概率是．参考答案：13.已知f(x)=(x+1)∣x-1∣，若关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是

.参考答案：(-1,)14.含有三个实数的集合既可表示为，则

=

．参考答案：-115.若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，则对于任意的x∈，不等式a≥2x﹣恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案．【解答】解：若对于任意的x∈，不等式≥1恒成立，即对于任意的x∈，不等式1+ax≥x?2x恒成立，即对于任意的x∈，不等式ax≥x?2x﹣1恒成立，即对于任意的x∈，不等式a≥2x﹣恒成立，由y=2x，x∈为增函数，y=，x∈为减函数，故y=2x﹣，x∈为增函数，故当x=2时，y取最大值，即a≥，故实数a的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．16.设函数，若互不相同的三个实数满足，则的取值范围是__________.参考答案：略17.函数y=sinπxcosπx的最小正周期是．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈，不等式f（x）≤10在x∈上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案：考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题： 综合题；函数的性质及应用．分析： （1）依题意，原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，由即可解得a、b的值；（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；利用定义证明时，先设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，再作差f（x2）﹣f（x1）后化积讨论即可；（3）依题意得，可解得到b≤，从而可得实数b的取值范围．解答： （1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且仅有一个解x=2，因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，…（1分）所以，…（3分）解得a=﹣8，b=9．…（5分）（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．…（7分）证明：设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=x2+﹣x1﹣=（x2﹣x1）?，因为x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞a，所以f（x2）﹣f（x1）＞0．…（10分）所以f（x）在（，+∞）上是增函数．…（11分）（3）因为f（x）≤10，故x∈时有f（x）max≤10，…（12分）由（2），知f（x）在区间的最大值为f（）与f（1）中的较大者．…（13分）所以，对于任意的a∈，不等式f（x）≤10在x∈上恒成立，当且仅当，即对任意的a∈成立．…（15分）从而得到b≤．

…（17分）所以满足条件的b的取值范围是（﹣∞，]．

…（18分）点评： 本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．19.数列{an}前n项和为Sn，已知（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明．参考答案：（1）；（2）证明见详解.【分析】(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.(2)由可得，用放缩法证明不等式.【详解】(1)由,得，以上两式相减得，则.两边同除以，可得.，，…，，以上个式子相加得，又，则，所以.(2)证明：因为，所以.所以.记，则，当时，，可得，所以.所以.【点睛】本题考查求数列的通项公式，不等式的证明.求数列通项公式时一般需要构造等差数列或等比数列.放缩法是证明数列不等式的一种常用方法，有时需要保留前面的若干项，只把后面的各项放缩.20.已知奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x）＜0，求x的取值范围．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，得出f（0）=0，求出a值；（Ⅱ）写出f（x）的解析式，根据f（x）的定义与解析式，把不等式f（x﹣1）+f（x）＜0化为关于x的不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=a﹣是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=a﹣=0，解得a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=﹣，且x∈（﹣1，1），又f（x）满足f（x﹣1）+f（x）＜0，即，化简得，解得，即0＜x＜，∴x的取值范围是（0，）．【点评】本题考查了奇函数的定义与指数函数的运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．21.已知数列{an}满足；（1）证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}前n项和为Sn.参考答案：（1）由已知故数列是等差数列，；（2）由22.本小题满分12分）已知函数，[－1，1]．⑴当时，求