2023八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.3正方形课时2正方形的判定作业课件新版华东师大版

课时2正方形的判定1.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列能判定四边形ABCD是正方形的条件是(

)

A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDB.AB=BC=CD=DAC.AO=CO,BO=DO,AC⊥BDD.AB=BC,CD⊥DA答案1.A

由AO=BO=CO=DO可得四边形ABCD是矩形,若AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形,故选项A符合题意.由AB=BC=CD=DA可得四边形ABCD是菱形,故选项B不符合题意.由AO=CO,BO=DO,AC⊥BD可得四边形ABCD是菱形,故选项C不符合题意.由AB=BC,CD⊥DA无法判断四边形ABCD的形状,故选项D不符合题意.2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,EF垂直平分BC,分别交AB,BC于点E,D,BF=BE,连接CF,CE,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是(

)A.BC=AC B.CF⊥BFC.BD=DF D.AC=BF答案2.D

∵EF垂直平分BC,∴BE=EC,BF=CF,又∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形.当BC=AC时,∵∠ACB=90°,∴∠A=∠EBC=45°,∴∠EBF=2∠EBC=90°,∴菱形BECF是正方形,故选项A不符合题意;当CF⊥BF时,由一个角是90°的菱形是正方形可得出菱形BECF是正方形,故选项B不符合题意;当BD=DF时,由对角线相等的菱形是正方形可得出菱形BECF是正方形,故选项C不符合题意;当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D符合题意.3.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是

.

答案3.AB=AD(或AC⊥BD等,答案不唯一)

由∠A=∠B=∠C=90°,可知四边形ABCD是矩形,根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形,可知应该添加的条件为AB=AD或AC⊥BD等.4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,∠A=90°,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:四边形AEDF是正方形.答案4.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEA=∠BED=90°,∠DFA=∠DFC=90°.又∵∠A=90°,∴四边形AEDF是矩形.∵D是BC边的中点,∴BD=CD.∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠BED=∠DFC=90°,∴△BED≌△CFD,∴DE=DF,∴四边形AEDF是正方形.5.[2020北京通州区一模]如图,已知线段AB,直线l垂直平分AB且交AB于点O,以O为圆心、AO的长为半径画弧,交直线l于C,D两点,分别连接AC,AD,BC,BD.(1)根据题意,补全图形.(2)求证:四边形ACBD为正方形.5.(1)解:如图所示:(2)证明:∵直线l垂直平分AB,∴AC=BC,BD=AD,∠AOC=∠AOD=90°.在△AOC和△AOD中,∵CO=DO,∠AOC=∠AOD,AO=AO,∴△AOC≌△AOD,∴AC=BC=BD=AD,∴四边形ACBD是菱形.∵OA=OB=OC=OD,∴AB=CD,∴菱形ACBD为正方形.答案6.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.6.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC.∵△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形.(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠EAC=60°.由(1)知,EO⊥AC,AO=OC,∴∠AEO=∠OEC=30°.∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAO=∠BAO=45°,∴∠BAD=90°,∴菱形ABCD是正方形.答案1.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件,使得四边形ABCD是正方形.现有下列四种选法,其中错误的是(

)

A.选①② B.选②③C.选①③ D.选②④答案1.B

选①②时,由有一组邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形,可得四边形ABCD是正方形,故选项A不符合题意;选②③时只能得到四边形ABCD是矩形,故选项B符合题意;选①③时,由有一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形,可得四边形ABCD是正方形,故选项C不符合题意;选②④时,由有一个角是直角的平行四边形是矩形,对角线互相垂直的矩形是正方形,可得四边形ABCD是正方形,故选项D不符合题意.2.已知四边形ABCD的对角线AC=BD,AC⊥BD,分别过A,B,C,D作对角线的平行线,所形成的四边形EFMN是(

)A.正方形 B.菱形C.矩形 D.任意四边形答案2.A

如图,设AC,BD交于点O,∵AC∥MN∥EF,EN∥BD∥MF,∴四边形EFMN,EBDN,BFMD,NACM,AEFC均为平行四边形,又∵AC=BD,AC⊥BD,∴∠E=∠F=∠M=90°,EN=NM=FM=EF,∴四边形EFMN是正方形.3.如图,在矩形ABCD内有一点F,BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD,点E为矩形ABCD外一点,连接BE,CE.现添加下列条件:①CE∥BF;②BE=CE,BE=BF;③BE∥CF,CE⊥BE.其中能判定四边形BECF是正方形的共有

个.

答案

4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.答案4.【分析】

(1)先通过证明△ADE≌△CDE,得∠ADE=∠CDE;再通过证明△ABD≌△CBD,得AB=BC;结合AD∥BC可得出BC=CD,进而得四边形ABCD为菱形.(2)根据三角形内角和定理和已知条件可推出∠CBE=45°,进而可得出∠ABC是直角,由此可证明四边形ABCD是正方形.

(2)∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC.设∠BCE=∠BEC=(3x)°,则∠CBE=(2x)°.根据三角形内角和定理,得2x+3x+3x=180,解得x=22.5,∴∠CBE=45°.由(1)知△ABD≌△CBD,∴∠ABE=∠CBE=45°,∴∠ABC=90°.又由(1)知四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.

答案

6.[2021浙江省杭州第十中学期末]如图,在△ABC中,点O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由.(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由.(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE

是菱形(填“可能”或“不可能”).请说明理由.

答案6.解:(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE.∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC.∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD.又∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD,∴∠OFC=∠OCF,∴OF=OC,∴OE=OF.(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC是直角三角形,其中∠ACB为直角