2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第25讲怎样解圆锥曲线与向量的综合问题含解析

Page1第25讲 怎样解圆锥曲线与向量的综合问题一、知识与方法平面向量及其运算特点是融数,形于一体,因为它具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的一个重要交汇点,平面向量的运算法则,特别是坐标运算可将几何问题转化为代数问题,而解析几何的学科特点正是运用代数的方法研究平面图形的性质,两者是何等一致!比如,以向量为工具,求解解析几何中的平行,垂直,共线,夹角等问题.所以它们的结合或者说运用平面向量来解决解析几何问题是一件十分自然的事情,可谓是“墙外桃花三两枝,春江水暖鸭先知”了！平面向量与解析几何的交叉渗透,使数学问题的情景新颖别致,使解答过程自然流畅,使数学之美充分展现,信不信?让我们用例题来展示.二、典型例题【例1】(1)已知点在圆上运动,且,若点的坐标为,则的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9(2)在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则的最大值为________【分析】本例两小题均为圆方程与平面向量的综合.第(1)问,利用转化思想和数形结合思想,把向量模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题.第(2)问的题设是3个定点和一个动点.易知动点的轨迹是以定点为圆心,半径为1的圆,求的最大值.解题思路有多种.一种是代数的方法,构造目标函数,可以引入圆的参数方程,将目标函数转化为某一个角的三角函数求解;也可以引入坐标变量,求出的坐标,求模再求最大值.另一种是利用向量的几何意义,运用向量的几何性质或不等式性质整体求解.本小题动静兼顾,是动态向量模的最值问题,其解题策略具有普遍性.【解析】(1)由题意可得为圆的直径,故可设.的最大值是圆上的动点到点距离的最大值,从而有时,的最大值为7,故选.(2)【解法一】(引入圆的参数方程转化为三角函数的最值问题)由可知,点在以点为圆心,1为半径的圆上,设,则故,其中.则,其中,当时等号成立.【解法二】(引入坐标变量,求模再求最值)由可知,点在以点为圆心,1为半径的圆上,设.则,故,它表示圆上的点到点的距离..【解法三】(利用向量的几何意义,数形结合求解)由已知得,如图所示,记.则由图可知【解法四】(利用向量的三角不等式求解)已知故,当且仅当与同向时等号成立.故的最大值为.【例2】(1)已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是().A. B. C. D.(2)过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点.若,且,则双曲线的离心率为().A. B. C. D.【分析】第(1)问,把向量的数量积用坐标表示出来是解本小题的关键.之后就是解不等式求的取值范围.第问,由知点是的中点,又・,则,即点在线段的垂直平分线上,因此可用数形结合思想求解.【解析】(1)由题意,知.又点在曲线上,则,即,代入(1)式,得,解得,故选.(2)如图所示,是的中点,又,连接,则,(负值舍去)，故选【例3】(1)已知是拋物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之和的最小值是（）.A.2 B.3 C. D.(2)如图所示,设抛物线的焦点为,动点在直线上运动,过作抛物线的两条切线,切点分别为求证:.【分析】第(1)问是典型的圆锥曲线双动点问题,但这两个动点是有约束关系的，一方面受曲线的方程的约束,另一方面受条件的约束,可以想办法用坐标表示三角形面积,再结合基本不等式或函数思想方法求解.三角形面积的向量公式为:若,则,用此公式便于建立目标函数求最值,若题中涉及直线方程的选择,为避免对斜率存在性的讨论,可将经过定点的动直线设为的形式,为计算求解带来方便.由于是拋物线的点,设也是一种不错的选择,在中消去一个字母从而出现单变量函数,可用基本不等式求最小值.第问,题中并没有提供向量的信息,但涉及解决角有关的一类问题,可从数量积入手,把几何关系转化为数量关系.通过“计算”得出所要的结果.这就需要解题者通过构造向量来实现.【解析】(1)【解法一】为了解题方便,先推导三角形面积的向量公式:设,则,证明如下:设,则于是依题意,不妨设点,其中,又得,由此解得与面积之和等于当且仅当时取等号.因此与面积之和的最小值是3,故选.【解法二】设直线的方程为,点.由得又因此,解得或又,因此,直线过定点当且仅当,即时取等号.因此与面积之和的最小值是3,故选.【解法三】如图所示,设,点为直线与轴的交点,其中,则,解得(舍)或，,即,令,解得...则.当且仅当,即时等号成立,故与面积之和的最小值为,故选.(2)【证明】设切点的坐标分别为和.可得切线的方程为;切线的方程为.解得点的坐标为.则由于点在拋物线外,即.同理有综上可知.三、易错警示【例】已知两点,且点使成公差小于零的等差数列,则点的轨迹是什么曲线?【错解】设,则成等差数列,即即点的轨迹方程为.因此,点的轨迹是以原点为圆心,以为半径的圆.【评析及正解】上述解法中,有一个细节没有注意到,即公差小于零.因为公差小于零,所以,即,所以,点的轨迹方程为.因此,点的轨迹是以原占为圆心,以为半径的圆的右半部分(不包括端,点),可见上述的错解实质是考虑不全面,或者识解题过程不完整,轨迹的范围限定是一个容易疏忽的“细节”,而“细节”往往决定成败,务必需要引起注意.四、难题攻略【例】以为原点的坐标平面内有4点,满足条件,试回答以下问题:(1)若点在曲线上,求证:点不在该曲线上;(2)若点在圆上,求证:点也在该圆上.【分析】第问,证明点不在该曲线上,由于在曲线上,利用条件,把的坐标用的坐标表示,探究的值是否等于1,若不等,则证得不在曲线上.第(2)问,点在圆上,则设,证明即得结论.【解析】【证明】(1)设.当时，当时总有，点不在曲线上.(2)设,则，由①②得因此,同理,;由③得.故点在圆上.五、强化训练1.已知圆的半径为为该圆的两条切线,为两切点,则的最小值为（）A. B. C. D.【解析】解法一：如图①所示，设，则令，则，故选．解法二：若把水平放置，则关于对称，建立平面直角坐标系如图②所示．则圆的方程为．设，则直线的方程为，令，得．故选D．2.在平面内,定点满足.,动点满足,则的最大值是（）.A. B. C. D.【解析】解法一．（轨迹法）由已知可得，．以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图①所示，则．设，由已知，得，又，它表示圆上点与点的距离平方的．可得，故选．解法二：(轨迹法)由题意，为正的中心，且|设，由知为线段的中点．设，则．由，得，即点的轨迹为圆圆心为．于是$|BM|$的最大值为．故|的最大值是．解法三：(参数方程法)由知，点在以点为圆心的圆上，设圆的半径为由，得，代人上式得．以点为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系．如图②所示．易求得，由知，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，故可设，．又由知点为中点．．而3.在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知抛物线的准线方程为,,若动点满足,且点的轨迹与抛物线交于两点.(1)求证:;(2)在轴上是否存在一点,使得过点的直线交抛物线于两点,且以线段为直径的圆都过原点?若存在,求出以线段为直径的圆的圆心的轨迹方程;若不存在,说明理由.【解析】（1）由抛物线的准线方程为，得拋物线的方程为．