2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第23讲怎样解圆锥曲线中的最值问题含解析

Page1第23讲 怎样解圆锥曲线中的最值问题一、知识与方法与圆锥曲线有关的最值问题主要有以下几种类型.(1)圆锥曲线上的动点到某些定点或定直线的距离的最值问题.用几何特征转化为某一变量的函数关系通过求函数最值来解决.(2)圆锥曲线中某三角形或四边形面积的最值问题,往往转化为某一个(或两个)变量的函数关系,再通过求函数最值或运用基本不等式求最值来分析求解(3)与圆锥曲线有关的最值问题还可以用几何法求解,即利用圆锥曲线的定义转化为几何问题处理,或利用数形结合思想,挓掘表达式的几何特征进行求解.若与焦点弦有关,则可使用圆锥曲线的统一定义结合焦半径求解,或建极坐标系用极坐标方程解之更显简捷明快.上述问题中,第(1)(2)类运用的解题方法是代数法,即将圆锥曲线中的最值问题转化为函数最值问题,然后根据函数的特征选用参数法.配方法,判别式法,函数单调性法,三角换元法及基本不等式法等方法解之.二、典型例题【例1】(1)已知点,椭圆)上两点满足,则当________时,点横坐标的绝对值最大;(2)在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点,若点到直线的距离大于恒成立,则实数的最大值为________(3)函数的最小值为________【分析】第(1)问,可以利用向量共线,实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,应用二次函数的最值,求得相应的结论,也可以以軤率为参数或利用直线的参数方程,运用基本不等式求解.第(2)问,数形结合,利用两平行直线的距离公式,使距离大于恒成立.则.第(3)问,通过构造图形,使函数的最值问题转化为解析几何中的最值问题.【解析】(1)【解法一】设,由,得即.点在椭圆上得当时,点横坐标的绝对值最大,最大值为【解法二】由条件知直线的斜率存在,设,直线的方程为.联立得由韦达定理得,①由知.代入①式解得.此时,又,解得.【解法三】设直线的参数方程为其中为参数,为直线的倾斜角,将其代入椭圆方程化简得.设点对应的参数分别为,则,由韦达定理知,解得..此时,即,代入,解得(2)设点直线与等轴双曲线的渐近线平行,点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间的距离要使距离大于恒成立,即使,故的最大值是.(3)所给函数变形得为抛物线上一点到直线和到点的距离之和.如图所示,过点作直线的垂线交拋物线于或.当三点共线时,最小,进而取得最小值.的最小值为【例2】(1)设为坐标原点,是以为焦点的拋物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线斜率的最大值为()A. B. C. D.1(2)椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是()A.11 B. C. D.9【分析】第(1)问,可以利用抛物线的参数方程结合基本不等式求最值,如果由条件联想到三角形重心,则可以得到巧妙的解法.第(2)问,由平面几何知识,椭圆上的点到圆上的点的距离最大＝椭圆上的动点到圆心的最大距离圆的半径,也可转化为求三角函数的最值,或者考虑与相交的情况,用判别式法解决,下面只介绍三角法,其他解法读者可以一试.【解析】(1)【解法一】解得当且仅当时等号成立.则直线斜率的最大值为,故选.【解法二】由可以联想到三角形的重心.故特取.则点即为的重心.设点由重心公式可得点,则当且仅当时等号成立,故直线斜率的最大值为.故选.(2)设圆的圆心为是椭圆上的点.则当且仅当时取等号,故所求距离最大值为11.【例3】已知圆经过点,且圆心在直线上,且直线与圆相交于两点.(1)求圆的方程;(2)过点作直线与垂直,且直线与圆交于两点,求四边形面积的最大值.【分析】第(2)问,要求四边形的面积,关键在于求出解析式,而求解析式的关键是选择合适的参数作自变量,选择直线的斜率是容易想到的,只要㧓住图形特征,得到函数并不难.而如何求的最值是个难点.通常需要进行一系列的变形オ能求出最值.如果结合平面几何知识和圆的有关定理可得简捷解法.【解析】(1)设圆心,半径为圆经过点,解得圆的方程是.(2)【解法一】设四边形的面积为,当直线的斜率时,则的斜率不存在,此时;当直线的斜率时,设.则代入消元得.同理得到当且仅当时,等号成立,的最大值为7.【解法二】设圆心到直线的距离分别为,四边形的面积为.都经过点,且,根据勾股定理,有又根据垂径定理和勾股定理得到,而,即当且仅当时,等号成立.的最大值为7.三．易错警示【例】设双曲线的中心在坐标原点,准线平行于轴,离心率为,若点到双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线方程.【错解】,则.又知准线平行于轴,则双曲线的方程为,设点到双曲线上的点的距离为,则当时,取得最小值,由题设,得.因此,所求的双曲线方程为.【评析及正解】上述解法是错误的,原因在是的函数,因此,应该关注它的定义域,而上述解法没有考虑的取值范围.正确的解法如下:【解析】由双曲线的性质,有,设,需要考虑的图像的对称轴与的取值范围,即的关系.(1)当,即时,由于函数在上单调递减,在上单调递增,当时,取得最小值.由题设,得.因此,所求的双曲线方程为.(2)当即时,函数在上单调递增.当时,取得最小值,解得或(舍去).因此,所求的双曲线方程为.综上所述,所求的双曲线方程为和.四、难题攻略【例】如图2-70所示,已知抛物线与圆相交于这4点.(1)求的取值范围;(2)当四边形的面积最大时,求对角线的交点的坐标.【分析】先求出四边形面积的函数解析式,再运用导数求该函数的最大值,【解析】(1)将代入并化简得.①拋物线与圆有个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根由此可得解得且,的取值范围是(2)不妨设与的4个交点的坐标是,则直线的方程是解得点的坐标是.设,由和(1)知.由于四边形是等腰梯形,因而其面积,则①将代入①式,并令得则.令,解得(舍去),当时,;当时,.故当且仅当时,有最大值,即四边形的面积最大,此时点的坐标为.五、强化训练1.平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左,右焦点分别是,以为圆心,以为半径的圆与以为圆心,以为半径的圆相交且交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点.①求的值;②求面积的最大值.【解析】由题意知，则，又，可得．椭圆的方程为(2)由知椭圆的方程为．①设，由题意知．，又即，即

②设，将代人椭圆的方程，可得，由，可得，①则有直线与轴交点的坐标为的面积设，将代人椭圆的方程，可得，由，可得．②由①②可知．因此在上递增，故．当且仅当，即时取得最大值，由此可知，的面积为面积的最大值为．2.已知两点,平面上动点满足(1)求动点的轨迹的方程;(2)设是轴上两点,过作直线与曲线交于两点,试证:直线与轴所成的锐角相等.(3)在的条件中,若,直线的斜率为,求面积的最大值.【解析】．化简整理得，即动点的轨迹为拋物线，其方程为．（2）证明：过