新人教版八年级上册初中数学全册教案

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

【知识与技能】

(1)结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，并能用符号语

言表示三角形.

(2)利用边的相等关系能正确地给三角形分类.

(3)掌握三角形的三边关系，并能利用此关系判断已知的三条线段能否组成

三角形.

【过程与方法】

在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历测量三角形边长的实践活

动，理解三角形三边间的不等关系.

【情感态度与价值观】

帮助学生树立几何知识源于客观实际的观念，用客观实际的观念激发学生

的学习兴趣.

(1)对三角形的有关概念的了解，能用符号语言表示三角形.

(2)三角形的三边关系.

用三角形的三边关系判断已知三条线段能否组成三角形.

多媒体课件、三角形纸片

出示投影(一些含有三角形的实际例子，比如金字塔、自行车等，如图11-

1.1-D，首先让学生观察，然后教师进行引入：三角形是一种常见的几何图形，

从古埃及的金字塔到现代的飞机、飞船，从宏大的建筑到微小的分子结构，处

处都有三角形的影子.我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活.本节我

们将从认识三角形开始.（教师板书课题）

（M）

图11-1.1-1

教师提问：通过观察刚才的图片，你们能得出三角形完整的概念吗？

探究1三角形的有关概念

教师出示一个三角形纸片，让学生观察，然后由教师直接给出三角形的概

念.

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.

教师继续利用刚才的三角形纸片向学生直接指明相关的概念：

1.相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点.

2.相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.

3.组成三角形的线段叫作三角形的边.

接着教师出示投影（△ABC）,并提出问题：这个三角形该怎么用符号语言

表示？它的内角、边又该怎么表示？学生独立思考，师生共同总结：图11-1.1-

2“三角形”可用符号“△”表示，如图11-1.1-2,顶点是A,B,C的三角形，记作

△ABC,读作“三角形ABC”.NA,ZB,NC是△ABC的三个内角；△ABC的

三边分别是AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示，顶点A,B,C所对

的边分别可用a,b,c来表示，即边AB可用c表示，边BC可用a表示，边

A

B

图11-1.1一2

CA可用b表示.

教师安排学生完成教材P4练习第1题，并举手回答：

图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

解：5个.分别是△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE.

教师讲评学生的回答，然后师生共同归纳、总结数三角形个数的方法(列举

法)：

(1)按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先

后顺序去数)

(2)按三角形的大小顺序去数.

(3)从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.

(4)先固定一个顶点，变换另两个顶点来数.

探究2：三角形的分类方法

教师布置学生自学，先让学生学习有关的概念，如等腰三角形、等边三角

形等，然后通过小组进行讨论交流后完成下面的填空.

/等£

/三边都三角形

不相等的一、

三角形

锐角三角形

按角分类:三角形］

直角三角形

钝角三角形

三边都不相等的三角形

按边分类：二角形］

耀二一械喝底三边和角腰形不相不腰:一角形

在这一过程中，教师要注意点拨分类的思想和原则.

探究3：三角形的三边关系

教师出示教材P3的探究，先让学生动手画一画，试一试，教师再引导学生

讨论、分析，得到两条线路：

⑴由点B直接到点C,即BC；

(2)先由点B到点A,再由点A到点C,即BA+AC.

师生得到结论：线路(1)中的BC要短一些，即BCVBA+AC.

教师进一步提出问题：为什么BC要短一些？

学生举手回答：“两点之间，线段最短

然后师生共同归纳得出：

BC<AB+AC,①

ACVAB+BC,②

ABVBC+AC.③

即三角形两边的和大于第三边.(教师板书)

教师提问：由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？通过这些不等

式，你有什么发现呢？

学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边.(教师板书)

教师出示教材P3例题：

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

师生共同分析后，教师板书规范的解答过程：

解：⑴设底边长为xcm,则腰长为2xcm.

由题意，得x+2x+2x=18,解得x=3.6.

所以，三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.

若4cm长的边为底边，设腰长为xcm,则

4+2x=18,解得x=7.

若4cm长的边为腰，设底边长为xcm,则

2X4+X=18,解得X=10.

因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4

cm的等腰三角形.

由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.

教师总结三角形三边关系的作用：(1)已知三角形的两边长，求第三边长的

取值范围.(2)判断三条线段能否组成三角形.(3)利用三角形的三边关系解决含绝

对值符号的化简问题.

最后让学生独立完成教材P4练习第2题，学生举手口答.

1.三角形的相关概念以及表示方法.

2.三角形按边分类.

3.三角形的三边关系.

o®®

11.1.1三角形的边

探究1:三角形的有关概念探究3：三角形的三边关系

投

影探究2：三角形的分类方法三角形两边的和大于第三边.

区按角分类：三角形两边的差小于第三边.

按边分类：(教材P3例题的解答过程)

【正式作业】教材P8习题11.1第1,2,7题

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.L2三角形的高、中线与角平分线

11.1.3三角形的稳定性

【知识与技能】

(1)会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，并理解它们的含义.

(2)通过画图，了解三角形的三条高所在的直线交于一点；三角形的三条中

线交于一点——三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点.

(3)了解三角形的稳定性.

【过程与方法】

经历折纸、画图等实践活动，认识三角形的高、中线与角平分线.

【情感态度与价值观】

培养学生的动手实践能力.

(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的

高、中线与角平分线.

(2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一

点.

(3)了解三角形的稳定性.

(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的

高、中线与角平分线.

(2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一

点.

(3)了解三角形的稳定性.

多媒体课件、直角三角尺、硬纸条、钉子

教师提出：同学们，我们以前学习过“过一点画已知直线的垂线”，谁能

说一说是怎样画的？(教师可让几名同学到黑板上演示一下，其他学生在作业本

上画.教师要注意强调画法的规范性)

教师进一步提出问题：过三角形的一个顶点如何画三角形的高？这节课我

们就来研究这个问题（教师板书）

探究1:三角形的高

教师让学生动手画出一个锐角三角形的高，然后找学生描述三角形的高的

画法与定义.教师总结三角形的高的定义：

图11-1.2-1

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线

段叫作三角形的高.如图11-1.2-1,在AABC中，AD1BC,垂足为D,所以

AD是^ABC的一条高.

教师引导学生注意垂直符号的书写.

接着，教师提出问题：想一想，一个三角形有几条高？

然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角

形、钝角三角形，要求学生作出它们的高，最后同学间进行交流.

教师点评学生的作法后出示投影（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以

及它们的高，如图11-1.2-2）,并出示结论：

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高.

教师继续让学生观察：每个三角形的三条高有什么位置关系？小组之间进

行讨论、交流，然后归纳结果：

锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于一点；直角三角形有两条高

与直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角

形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，三条高不相交，但三条

高所在的直线相交于三角形外一点.

教师进一步让学生练习：教材P5练习第1题.

探究2：三角形的中线

教师提问：你能画一条线段将三角形的面积平分吗？

教师先让学生思考、尝试，再引出这条线段就是三角形的另一条特殊的线

段——三角形的中线.教师紧接着指出三角形的中线的定义：

连接三角形顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线能把三角形分成面积

相等的两部分，最后教师点评并说明：中线可以把这个三角形分成两个等底等

高的三角形，所以这两个三角形的面积相等.接着让学生任意画出一个三角形，

画出这个三角形的三条中线，然后分析这三条中线的位置关系，同桌之间互相

讨论、交流.（教师多让几位同学发言，分别指出他们画出的是什么样的三角形，

这样三角形的任意性就有了）

师生共同总结：任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交

点叫作三角形的重心.教师出示几何语言表述：

（由中线推线段相等）如图11-1.2-3,AD是AABC的边BC上的中线（已

知），所以BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点.

图11-1.2-3

图11-123（由线段相等推中线）如图11-1.2-3,因为BD=DC=12BC或

BC=2BD=2DC或D为BC的中点（已知），所以线段AD为边BC上的中线（三角

形的中线的定义）.

最后教师将这部分知识进行归纳：

（1）一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，相交于一点.

(2)三角形的中线是一条线段.

(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

探究3：三角形的角平分线

教师指出三角形的角平分线的定义，然后仿照三角形的高或中线的教学过

程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题.学生动手操作，然后交流、探

讨，师生共同归纳总结：

(1)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点.

(2)三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线.

最后教师强调：三角形的高、中线、角平分线都是线段.

教师出示例题：

图11-1.2-4

如图11-1.2-4,AD为AABC的中线，BE为4ABD的中线.

(1)画出^BED中BD边上的高；

(2)若aABC的面积为60,BD=5,求点E到BC边的距离.

教师带领学生进行分析，让学生自主完成第(1)问，教师给出第(2)问的规范

解答过程.

分析：(l)4BED是钝角三角形，BD边上的高在BD边的延长线上.(2)先根

据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得^

BED的面积，再求出点E到BC边的距离即可.

A

殖

B

图11-1.2-5

解：（1）如图11-1.2-5,EF即为ABED中BD边上的高.

（2）因为AD为aABC的中线，BE为4ABD的中线，SAABC=60,

所以SABED=12SAABD=14SAABC=15.

因为BD=5,所以EF=2SZ\BED・BD=2X15+5=6,

即点E到BC边的距离为6.

教师进一步让学生练习：教材P5练习第2题.

探究4：三角形的稳定性

A

图11-1.2-6

教师把学生分成四人一组，发给他们三张硬纸条、三枚钉子，分组合作探

究实验.

教师出示实验（投影）：如图11-1.2-6,把三张硬纸条用钉子钉成一个三角

形，然后扭动它，它的形状会改变吗？这说明什么问题？

（教师巡回检查，并指导，指定个别同学归纳结论）

师生共同总结：三角形具有稳定性.

教师让学生举手发言：在现实生活中，三角形的稳定性有哪些方面的应用

呢？举例子说明.（对于学生的发言，只要符合实际，教师都要给予肯定）

图11-1.2-7表示其中的一些例子.

钢架桥起重机

图11-1.2-7

教师接着类比三角形的方法，与学生一起探究四边形、五边形是否具有稳

定性，并且寻找使四边形、五边形具有稳定性的方法，最后师生共同总结：三

角形的稳定性是三角形特有的性质，除三角形以外的多边形都不具有稳定性，

要使其稳固，可以引入三角形.三角形在生产、生活中应用很广，有很多需要稳

定的东西都制成三角形的形状.

教师进一步让学生练习：教材P7练习.

1.三角形的高、中线、角平分线的定义及画法.

2.运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角.

3.三角形具有稳定性，多边形不具有稳定性.

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

11.1.3三角形的稳定性

探究3：三角形的角平分线

探究1：三角形的高

（例题的解答过程）

探究2：三角形的中线

探究4：三角形的稳定性

【正式作业】教材P8习题11.1第3,4,8题

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第十一章三角形

11.2与三角形有关的角

11.2.2三角形的外角

【知识与技能】

(1)理解三角形外角的定义，并能识别三角形的外角.

(2)掌握三角形外角的性质.

(3)能利用三角形外角的性质解决问题.

【过程与方法】

使学生在操作过程中，探索并了解三角形的外角的性质，并能利用学过的

定理证明这个性质.

【情感态度与价值观】

能面对数学活动中的困难，增强学好数学的自信心.

三角形外角的性质.

三角形外角的性质的证明过程.

多媒体课件.

图11-2.2-1

(教师出示投影)如图11-2.2-1,在足球场上，小罗在E处受到阻挡需要传

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球，请帮助他作出选择，应传给在B处的球员还是在C处的球员，其射门才不

易射偏？（不考虑其他因素）

观察图中哪个角不同于其他的角？（教师引入新课，板书课题）

探究1：三角形外角的定义

教师提出问题：1.观察情境导入中的图形，NACB与NACD在位置上有什

么关系？

2.对于NACB而言，NACD在aABC的内部还是外部？

学生回答教师所提出的问题，继而师生共同总结三角形外角的定义：

像NACD这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.

探究2：三角形外角的性质

教师让学生自学教材P15思考的内容，然后让学生分小组进行交流、讨

论，从而归纳三角形的外角有什么性质，并且提出以下问题：

能否用证明的方法说明所归纳的性质？

让学生先自己去尝试说一说，互相讨论、交流，再安排学生当堂发言.师生

共同纠正叙述过程中的不当之处.

最后教师总结并板书三角形外角的性质：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

图11-2.2-2

教师出示教材P15例4：

如图11-2.2-2,ZBAE,ZCBF,NACD是AABC的三个外角，它们的和是多少？

教师先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形

的内角，然后师生共同写出规范的解答过程.

解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得NBAE=N2+N3,Z

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CBF=Z1+Z3,ZACD=Z1+Z2,

所以ZBAE+ZCBF+ZACD=2(Z1+Z2+Z3).

由/1+/2+/3=180°,得

ZBAE+ZCBF+ZACD=2X180°=360°.

接着教师布置练习：教材P15练习，学生举手回答.

1.三角形外角的定义.

2.三角形外角的性质：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;

(2)三角形的外角和等于360°；

(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

11.2.2三角形的外角

投探究1:三角形外角的定义知识拓展：1.三角形的外角和等于360。.

影

探究2：三角形外角的性质

区2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何

(教材P15例4的解答过程)一个内角

【正式作业】教材P16习题11.2第5,6,8题

【家庭作业】《》P9-P10

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第十一章三角形

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

课时一三角形的内角

【知识与技能】

理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的

实际问题.

【过程与方法】

经历探究活动的过程，得出三角形内角和定理，能用平行线的性质推出这

一定理.

【情感态度与价值观】

通过观察、归纳、推理得出数学猜想，体验数学充满探索性、创造性.

<80©

三角形内角和定理.

三角形内角和定理的证明过程.

多媒体课件、三角形硬纸片、剪刀.

教师提问：我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°,怎样证明这

个结论的正确性呢？在小学，我们是通过测量或剪拼的方法进行验证，但我们

不可能对所有的三角形都进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等

于180°的方法呢？

（引发学生思考，教师板书本节课的课题）

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教师让学生拿出提前准备好的三角形硬纸片.

(1)(2)

图11-2.1.1-1

在图11-2.1.1-1(1)中，NB和NC分别拼在NA的左右，三个角合起来形

成一个平角，出现一条过点A的直线1,移动后的NB和NC各有一条边在直线1

上.想一想，直线1与4ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出证明“三

角形的内角和等于180°”的方法吗？

由上述剪拼过程得到启发，过AABC的顶点A作直线1平行于aABC的边

BC(图11-2.1.1-1),那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的

内角和等于180°”这个结论.

最后师生共同归纳：三角形的内角和等于180°.

探究2：三角形内角和定理的证明

教师出示投影：

已知：AABC,如图11-2.1.1-2.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

教师引导学生借助拼接的方法，进行小组讨论，借助辅助线进行解答，学

生依据拼接的方法进行讨论、交流，教师做好引导和指导工作.

思路一：

师生共同完成证明过程(并板书)：

证明：如图11-2.1.1-3,过点A作DE〃BC.

.,.ZB=Z1,NC=N2(两直线平行，内错角相等).

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VZBAC+Z1+Z2=18O°,

.".ZBAC+ZB+ZC=180°,

即三角形的内角和为180°.

教师强调：添加辅助线是将三角形的三个内角转化为一个平角，再利用平

行线的性质进行证明.

思路二：

教师提问：结合其他的拼接方法，你还能得到怎样的证明方法？还有其他

的证明方法吗？学生根据已有的证明方法和拼接经验，自主思考三角形内角和

定理的证明过程，最后小组讨论，师生交流得到证明方法，学生书写证明过程

(可模仿思路一的书写过程).教师可给出参考，如图11-2.1.1-4(1)(2)(3).

图11-2.1.1-4

师生总结并板书：三角形内角和定理，即三角形三个内角的和等于180°.

教师分别出示教材P12例1、例2：

图11-2.1.1-5

例1如图11-2.1.1-5,在aABC中，ZBAC=40°,ZB=75°,AD是4

ABC的角平分线.求NADB的度数.

教师引导学生思考：(1)要求/ADB的度数，只要求出哪个角的度数就可

以？(2)此题的解答都要利用哪些定理？

学生独立完成解题过程，并与课本上的过程进行对照.

解：由NBAC=40°,AD是AABC的角平分线，得

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ZBAD=12ZBAC=20°.

在4ABD中，ZADB=180°-ZB-ZBAD=180°-75°-20°=85°.

教师点拨：解决求某个角的度数的问题，一般先分析这个角是哪一个三角

形的内角，其他两个角是否已知度数或已知三个角之间的数量关系，再利用三

角形内角和定理进行求解.

图11-2.1.1-6

例2图11-2.1.1-6是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方

向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看

A,C两岛的视角NABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角NACB呢？

教师分析：A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的NACB是4ABC的

一个内角.如果能求出NCAB,NABC的度数，就能求出NACB的度数.

教师板书解题过程.

解：ZCAB=ZBAD-ZCAD=80°-50°=30°.

由AD〃BE,得NBAD+NABE=180°.

/.ZABE=180o-ZBAD=180°-80°=100°,

/.ZABC=ZABE-ZEBC=100°-40°=60°.

在Z^ABC中,ZACB=180°-ZABC-ZCAB=180°-60°-30°=90°.

答：从B岛看A,C两岛的视角NABC是60°,从C岛看A,B两岛的视

角NACB是90°.

教师点拨：解答此题的关键是明确方向角的定义，知道题目所给出的角的

度数，再运用平行线的性质和三角形内角和定理解答.

1.三角形内角和定理的证明.

2.会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数.

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11.2与三角形有关的角

H.2.1三角形的内角（课时❶三角形的内角）

投探究1:用剪拼法说明三角形的内角和等于18（）。

影（例2的解题过程）

区探究2：三角形内角和定理的证明

（思路一的证明过程）

【正式作业】教材P16习题11.2第1,3,7题

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第十一章三角形

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

课时二直角三角形的性质

【知识与技能】

(1)会用符号和字母表示直角三角形.

(2)掌握“直角三角形的两个锐角互余”的性质.

(3)能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”对三角形进行判定.

【过程与方法】

通过三角形内角和定理得出直角三角形的性质，使学生体会从一般到特殊

的方法.

【情感态度与价值观】

发展学生的逻辑推理能力，激发学生学习的热情.

探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理..

有关直角三角形的推理表述及性质定理和判定定理的应用

多媒体课件.

教师提问：

(1)三角形的内角和为多少？

(2)在aABC中，ZC=90°,NA与NB有什么数量关系？

(学生口答，教师引入本节课题，并板书)

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探究1:直角三角形的表示方法

图11-2.1.2-1

教师提问：三角形ABC表示成aABC,直角三角形应该如何表示呢？

学生先自主思考后，教师直接给出：直角三角形可以用符号“Rt△”表示.

如图11-2.1.2-1,直角三角形ABC的表示方法为Rt/XABC,直角的两边叫作直

角边，直角所对的边叫作斜边.

教师提问：在RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,ZA等于多少度？有

没有简单的方法计算这道题呢？下面我们来研究直角三角形的性质.

活动一：根据以上问题，教师指导学生借助三角尺进行分析、计算，学生

得出NA=600,教师引导学生总结NA和NB之间的关系.

活动二：请同学们画一个RtAABC,其中NC=90°,用量角器分别量出/

A,/B的度数，并且求出NA+/B的值.

教师追问：通过对问题的计算你们发现NA和NB有什么关系？

学生讨论后，小结得出：直角三角形的两个锐角互余.

教师继续追问：结合图形，你们能写出已知、求证和证明吗？

学生回答，教师板书（如下），师生共同完成证明过程.同时教师指出，经过

证明的这个结论被称为“直角三角形的性质定理”.

已知：RtAABC,ZC=90°.

求证：直角三角形的两个锐角互余.

图11-2.1.2-2

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证明:如图11-2.122,在RtZXABC中,

•.•NA+NB+NC=180°（三角形内角和定理），

且NC=90°,

.,.ZA+ZB=90°,

即直角三角形的两个锐角互余.

最后教师强调以后我们在求直角三角形中锐角的度数时，就可以直接利用

直角三角形的这个性质进行解答，而不必再用三角形的内角和定理.

教师出示教材P14例3：

如图11-2.1.2-3,ZC=ZD=90°，AD,BC相交于点E,NCAE与NDBE

有什么关系？为什么？

分析：要想找出NCAE与NDBE的关系，它们不在同一个三角形中，通过

观察可知它们是两个不同的直角三角形中的锐角，只要找出另外两个锐角的关

系即可.

师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程：

解：在Rt/XACE中，ZCAE=900-ZAEC.

在RtZ^BDE中，ZDBE=90°-ZBED.

VZAEC=ZBED,ZCAE=ZDBE.

探究3：直角三角形的判定

教师提出问题：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角

形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

学生独立思考，然后小组讨论、交流，形成结论，汇报交流结果，教师做

好指导和评价.

教师请一名学生书写推理过程：

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如图11-2.1.2-4,在^ABC中，NA+/B+NC=180°（三角形内角和定理）.

VZA+ZB=90°（已知），

/.ZC=90°,

.二△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）.

教师最后总结：有两个角互余的三角形是直角三角形.

之后安排学生完成教材P14练习第2题，教师请一名学生进行板演，然后

进行点评.扈管0©

1.直角三角形的表示方法.

2.直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余.

3.直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形.

11.2.1三角形的内角（课时❷直角三角形的性质）

探究1：直角三角形的表示方法探究3：直角三角形的判定

RtA4BC有两个角互余的三角形是直角三

投

影探究2：直角三角形的性质角形.

区直角三角形的两个锐角互余.

（性质定理推理过程）

（教材P14例3的解答过程）

【正式作业】教材P16习题11.2第4,10题

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第十一章三角形

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

【知识与技能】

(1)了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念.

(2)区别凸多边形与凹多边形.

【过程与方法】

通过对多边形的概念的探究，使学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.

【情感态度与价值观】

接触社会环境中的数学信息，认识到数学既来源于生活，又服务于生活，

提高学生学习数学的积极性.

多边形及有关概念.

区分凹、凸多边形.

多媒体课件.

教师提出问题：(1)什么是三角形?

(2)与三角形有关的线段有哪些？

(3)与三角形有关的角有哪些？

学生抢答，教师指导、点评.

探究1：多边形的概念

教师出示问题：

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1.观察图11-3.1-1中的图片，说说它们是由哪些基本图形组成的.

图11-3.1-1

2.你们能说出生活中的多边形吗？

学生观察图片并进行讨论、交流，之后学生自由发言.在这一过程中，教师

应当关注学生能否积极地参与到活动中，是否能认真观察、敢于发言，最后教

师指明相关的概念：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.多边形按

组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边

形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫作n边形.

教师强调：对于定义应抓住四点：①在平面内；②一些线段；③首尾顺次

相接；④封闭图形.

探究2：多边形的相关概念

图11-3.1-2

教师引入：在三角形中，我们专门研究了它的内角、外角，类似地，你们

能结合图11-3.1-2指出这个多边形的内角和外角吗？

学生观察教师给出的图形，然后思考回答：ZA,NB,ZBCD,ZD,

NE,NF是六边形的内角，NDCM是六边形的一个外角.

教师进而指出：

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多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延

长线组成的角叫作多边形的外角.

问题：什么是多边形的对角线？三角形有几条对角线？四边形、五边形、

六边形……n边形呢？

教师给出多边形对角线的概念，然后提出问题，组织学生进行讨论、探究.

教师可以根据图形适当向学生提示：过四边形的一个顶点可以画几条对角

线，四边形一共有几条对角线？

过五边形的一个顶点可以画几条角线，五边形一共有几条对角线？六边形

呢？这里有什么规律吗？

n-3)

归纳：多边形的对角线的条数是2,这里的n指的是多边形的边数.

(教师出示例题)

例1若一个多边形自一个顶点引对角线可把它分割为六个三角形，则这个

多边形是几边形？

教师分析：解答此类问题可以运用对角线条数的计算过程进行分析，也可

以画图进行分析，明确对角线是不相邻的两个顶点之间的线段，所以由n边形

的一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，即可分(n-2)个三角形.

分析完之后，师生共同解答，教师板书解答过程：

解：设该多边形的边数为n.因为过n边形的一个顶点有(n-3)条对角线，它

们把n边形分割成了(n-2)个三角形，所以n-2=6,解得n=8,

所以这个多边形是八边形.

探究3：凸、凹多边形及正多边形的概念

教师引入问题：你们能说出图11-3.1-3中的两个四边形的异同点吗？

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图11-3.1-3

教师引导学生分析得出，在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在

的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；在图(2)中，画出边CD所在的直

线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.教师介绍，学生总结，得出凸多边形

和凹多边形的定义.

凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这

条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.

凹多边形：画出多边形的某一条边所在的直线，如果整个多边形不都在这

条直线的同侧，那么这个多边形就是凹多边形.

教师在黑板上任意画一个多边形，让学生判断其属于哪一类多边形.

教师引入：我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形

这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形.图11-3.1-4是正多

边形的一些例子：

多媒体展示：正三角形、正方形、正五边形等.

图11-3.1-4

(教师出示例题)

例2若一个正六边形的周长为36cm,请求出它的边长.

师生共同分析：正六边形有六条边，且每条边都相等.

然后让一名学生进行板演，其余学生在草稿本上进行解答，做完之后，教

师点评.

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解：因为正多边形的边长相等,

所以正六边形的六条边都相等,

所以它的边长为36+6=6（cm）.

1.多边形的概念.

n-3）

2

2.多边形的对角线的条数：一（n指的是多边形的边数）.

3.凸、凹多边形及正多边形的概念.

11.3.1多边形

探究1:多边形的概念.探究3：凸、凹多边形及

投探究2：多边形的相关概念.正多边形的概念

影

区多边形的对角线的条数是丐2（n指的是多边形的边数）

（例1的解答过程）

【正式作业】教材P21练习第1,2题

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第十一章三角形

11.3多边形及其内角和

11.3.2多边形的内角和

【知识与技能】

掌握多边形的外角和及内角和公式.

【过程与方法】

(1)通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体

会从特殊到一般认识问题的方法.

(2)通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻

求解决问题的方法，并有效地解决问题.

【情感态度与价值观】

通过学生间交流，进一步激发学生的学习热情与求知欲望，养成良好的数

学思维品质.

探索多边形的内角和公式及外角和.

如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角

和.

多媒体课件.

出示问题1:你还记得三角形的内角和是多少吗？

学生思考并回答问题，教师提出问题并对学生的回答进行总结：

三角形的内角和等于180°.

出示问题2：正方形、长方形的内角和是360°,那么任意一个四边形的内

角和是否等于360。呢？能证明你的结论吗？

学生在独立探究的基础上，分组交流、探讨，汇总解决问题的方法.教师深

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入小组参与活动，指导、倾听学生交流，可以在测量、拼图的基础上引导学生

利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形

探究1:五、六边形的内角和

教师引入：解决四边形的内角和时，连接了对角线，你们知道连接对角线

起到了什么作用吗？

(学生举手回答)将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题

转化为两个三角形的所有内角和的问题.

接着教师提出问题：类比前面的过程，你知道五边形的内角和是多少吗？

六边形呢？十边形呢？你是怎么得到的？

学生先独立思考每个问题，再分组活动，最后总结如图11-321.

图11-3.2-1

结论：从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割为3个

三角形，得到五边形的内角和为(5-2)X180°=540°,同理六边形的内角和为(6-2)

X180°=720°.

教师进一步启发学生从顶点或边或多边形内部分割多边形，进而得到多边

形的内角和.

探究2：多边形内角和的计算公式

教师提出问题：你能从四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程获得

启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？你知道

n边形的内角和吗？

学生在独立思考的基础上分组活动，推导出n边形可以转化为(n-2)个三角

形，发现和概括出几边形的边数与内角和之间的关系，归纳总结n边形的内角

和公式，即(n-2)XI80°.

教师和学生互相交流，共同归纳总结：

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多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)X180°.

教师出示教材P22例1：

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

师生共同分析：由多边形的内角和公式可知，四边形的内角和为360°.若

其中两个角的和为180°,则可得到另外两个角的和也为180°.

分析完之后，师生共同解答，教师板书：

图11-3.2-2

解：如图11-3.2-2,在四边形ABCD中，ZA+ZC=180°.

VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°,

AZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=360°-180°=180°.

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.

探究3：多边形的外角和

11-3.2-3

教师出示教材P22例2：

如图11-3.2-3,在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作

六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？

教师提出三个问题：

(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？

(2)六边形的六个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？

(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？

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让学生观察图形，思考这三个问题，然后师生共同解答：

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°,因此六边

形的六个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6X180°.这个总和就是六

边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6

X1800-(6-2)X180°=2X180°=360°.

接着教师让学生探究、总结多边形的外角和.学生分组交流、探究、总结多

边形的外角和.教师进行指导、点拨，最后得出多边形的外角和：多边形的外角

和等于360°.

最后教师归纳多边形内角和与外角和的作用：

(1)内角和公式的作用：①已知边数，求内角和.②已知内角和，求边数.

(2)外角和的作用：①已知各相等外角的度数，求多边形的边数.②已知多边

形的边数，求各相等外角的度数.

教师让学生完成教材P24练习第1,3题，完成之后，教师进行简单点评.

1.多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)xl80。.

2.多边形的外角和等于360°.

11.3.2多边形的内角和

探究1：五、六边形的内角和.探究3：多边形的外角和

投探究2:多边形内角和的计算公式.(例2的解答过程)

影

区n边形的内角和公式：(n-2)xl80。多边形的外角和等于360。

(例1的解答过程)

【正式作业】教材P24习题11.3第2,3,5题

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第十二章全等三角形

12.1全等三角形

【知识与技能】

(1)了解全等形及全等三角形的概念.

(2)理解全等三角形的性质.

【过程与方法】

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何

直观.

【情感态度与价值观】

(1)让学生观察、发现生活中的全等三角形并体验在实际操作中获得全等三

角形的喜悦.

(2)在运用全等三角形的性质的过程中感受数学活动的乐趣.

全等三角形的概念及性质.

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确地指出

两个全等三角形的对应元素.

多媒体课件、剪刀

教师引入：一位哲学家曾经说过“世界上没有完全相同的两片叶子”，但

是在我们的周围，却有着好多形状、大小完全相同的图案.你能举出这样的例子

吗？

学生口答，教师点评并引入本节新课.

探究1:全等形及全等三角形的相关概念

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教师让学生完成以下活动：

1.动手做.

(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能够重合吗？

(2)把手中的直角三角尺按在纸上，画出三角形，并裁下来，把直角三角尺

和纸三角形叠放在一起，观察它们能够重合吗？

然后学生得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念：

能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全

等三角形.(教师板书)

2.观察.

观察图12-1-1中AABC与4A'B'C重合的情况.

图12-1-1

师生共同总结对应顶点、对应边、对应角的概念：

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫

作对应边，重合的角叫作对应角.

然后教师指出：全等的符号“且”，读作“全等于”.教师强调：记两个三

角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，

DEF全等，记作△ABCgZiDEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F

是对应顶点；AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；NA和/D,NB和

NE,NC和NF是对应角.

接着教师出示例题：

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例1如图12-1-2,已知4ABN丝AACM,NB和NC是对应角，AB和AC

是对应边.写出其他的对应边及对应角.

师生共同分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将4ABN

和4ACM从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找对应元素，再依据已知

的对应元素找出其余的对应元素.然后学生自主完成.

解：对应角为NBAN与NCAM,NANB与NAMC.

对应边为AM与AN,BN与CM.

探究2：全等三角形的性质

教师让学生把△ABC沿直线BC分别进行平移、翻折、绕定点旋转，然后

观察图形的大小、形状是否发生变化（如图12-1-3）.

图12-1-3

师生共同得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变

图形的大小和形状.

教师追问：那么在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？

学生先思考，再小组交流，得出：全等三角形的对应边相等，对应角相

等.（教师板书）

接着教师出示例题:

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例2已知△DEFgZ\ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4

cm,求DE的长.

教师引导学生先画出图形，再进行分析，然后师生共同完成，教师板书：

解：因为△ABC的周长为23cm,BC=4cm,AB=AC,

所以AB=AC=(23-4)+2=9.5(cm).

因为△DEF0△ABC,，DE=AB=9.5cm.

教师强调：运用全等三角形的定义和性质时，要注意规范书写格式.

1.能够完全重合的两个图形叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全

等三角形.重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

2.找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元

素、对顶角等.

12.1全等三角形

探究2：全等三角形的性质.

投探究1：全等形及全等三角形的相关概念.

影全等三角形的对应边相等，对应角

能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全