高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程讲义新人教B版选修

如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你就是那坐标轴虽然我们有缘，能够生在同一个平面然而我们又无缘，漫漫长路无交点为何看不见，等式成立要条件难到正如书上说的，无限接近不能达到为何看不见，明月也有阴晴圆缺此事古难全，但愿千里共婵娟

悲伤双曲线双曲线及其标准方程生活中的双曲线双曲线型自然通风冷却塔北京采用双曲线交通结构可缓解道路拥堵广州塔人称“小蛮腰”

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程和等于常数2a

(

2a>|F1F2|)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离之

3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系和等于常数2a

(

2a>|F1F2|)的点的轨迹.椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的提出问题：[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。观察总结：拉链运动的轨迹是什么？（一）小组探究结果展示[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。观察总结：拉链运动的轨迹是什么？（一）小组探究结果展示

双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（0<2a<2c）oF2F1M|

|MF1|-|MF2|

|

=2a

(0<2a<|F1F2|)双曲线定义的符号表述：讨论：定义当中条件2a<|F1F2|=2c如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？oF2F1M两条射线F1P、F2Q。F2F1PMQM无轨迹。线段F1F2的垂直平分线。|MF1|=|MF2|F1F2MoF2F1M（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？F2F1MxOy

以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)求点M轨迹方程。|MF1|-|MF2|=±2a建系标准：简洁、对称（一）小组合作，推导方程

P={M||MF1

|-|MF2|

=+2a}

化简，得：(c2-a2)

x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得：=x2a2-y2b21(a>0,b>0)（二）自我展示，大家共赏xyoF1F2M=x2a2-y2b21(a>0,b>0)方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2（三）提炼精华，总结方程当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？思考：=a2-b21(a>0,b>0)y2x2定义图形方程焦点a.b.c

的关系焦点位置||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）

(±c,0)

(0,±c)焦点跟着正项走小试身手:说出以下双曲线的焦点坐标.F1(-5,0)F2(5,0)F1(-5,0)F2(5,0)F1(0，-5)F2(0，5)F1(0，-5)F2(0，5)例1.已知双曲线的两个焦点坐标分别是F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以b2=52-32=16.

故双曲线的标准方程为

。

解：因为双曲线的焦点在

轴上，所以设它的标准方程为：

（a>0，b>0）例2、已知双曲线的焦点为（0，-6），（0,6），且经过点（2，-5），求双曲线方程。解法1：因为双曲线的焦点在

轴上，所以设它的标准方程为：

（a>0，b>0）因为双曲线的焦点为（0，-6），（0,6），所以c=6。又因为双曲线经过点（2，-5），所以解得因此双曲线方程为。例2、已知双曲线的焦点为（0，-6），（0,6），且经过点（2，-5），求双曲线方程。解法2:双曲线的焦点为（0，-6），（0,6），且经过点（2，-5），所以︱PF1︱=,︱PF2︱=由双曲线定义可得：所以a=又因为c=6,故b2=c2-a2=16,因此双曲线方程为