高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数讲义新人教A版本

1.2.1任意角的三角函数(二)第一章

§1.2任意角的三角函数学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一三角函数的定义域梳理正弦函数y＝sinx的定义域是

；余弦函数y＝cosx的定义域是

；正切函数y＝tanx的定义域是___________________________.RR知识点二三角函数线思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sinα，cosα，tanα与MP，OM，AT的关系吗？答案sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.思考2三角函数线的方向是如何规定的？答案方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？答案

长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.梳理图示正弦线角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段

即为正弦线余弦线有向线段

即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段

即为正切线MPOMAT[思考辨析判断正误]1.正弦线MP也可写成PM.(

)提示三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.2.三角函数线都只能取非负值.(

)提示三角函数线表示的值也可取负值.3.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(

)4.当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(

)答案提示××√√题型探究类型一三角函数线解答解

如图所示，反思与感悟(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1

在单位圆中画出满足sinα＝

的角α的终边，并求角α的取值集合.解答交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，类型二利用三角函数线比较大小解答反思与感悟利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.跟踪训练2比较sin1155°与sin(－1654°)的大小.解sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°.如图，在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M1P1，M2P2.∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正，∴sin1155°>sin(－1654°).解答类型三利用三角函数线解不等式(组)解答命题角度1利用三角函数线解不等式(组)例3

在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.故满足要求的角α的集合为解答故满足条件的角α的集合为反思与感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间.解答解图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，解答命题角度2利用三角函数线求三角函数的定义域则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，反思与感悟(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.解答解要使函数f(x)有意义，必须使2sinx－1≥0，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，所以函数f(x)的定义域为所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，达标检测答案1.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是A.正弦线为PM，正切线为A′T′B.正弦线为MP，正切线为A′T′C.正弦线为MP，正切线为ATD.正弦线为PM，正切线为AT12345√A.cosα<sinα<tanαB.tanα<sinα<cosαC.sinα<cosα<tanαD.cosα<tanα<sinα答案解析12345√故cos

α<sinα<tanα.方法二如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，12345即cos

α<sinα<tanα.则OM<MP<AT，3.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边

A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y＝x上D.在直线y＝x或y＝－x上答案解析12345√解析由题意|sinα|＝1，∴sinα＝±1，则角α的终边在y轴上，故选B.4.已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在

A.第一象限的角平分线上B.第四象限的角平分线上C.第二、四象限的角平分线上D.第一、三象限的角平分线上答案解析12345√解析由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在第二、四象限的角平分线上.12345解答所以不等式的解集为规律与方法1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到