第八章考点两角和与差的正弦余弦正切

考点31两角和与差的正弦、余弦、正切第八章

三角函数第1页，共65页第2页，共65页考点解读考点内容解读

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三角函数及有关概念①了解正角、负角、零角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念22765

单项选择题填空题解答题第3页，共65页考点解读考点内容解读

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三角函数及有关概念②理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算③理解任意角的三角函数的概念，记住三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值22765

单项选择题填空题解答题第4页，共65页考点解读考点内容解读

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三角函数式的变换①掌握同角三角函数两个基本关系式、诱导公式，会运用它们进行运算、化简8812129单项选择题填空题解答题第5页，共65页考点解读考点内容解读

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三角函数式的变换②会根据已知三角函数值求角(0～2π内特殊角)③掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，会用它们进行运算、化简8812129单项选择题填空题解答题第6页，共65页考点解读考点内容解读

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三角函数式的图象与性质①掌握正弦函数的图象和性质，会用正弦函数的性质(定义域、值域、周期性和单调性)解决有关问题56567单项选择题填空题解答题第7页，共65页考点解读考点内容解读

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三角函数式的图象与性质②了解函数y＝A

sin(ωx＋φ)的图象、性质，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最大值和最小值56567单项选择题填空题解答题第8页，共65页考点解读考点内容解读

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解三角形掌握正弦定理、余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题，会根据三角形两边及其夹角求三角形的面积913888填空题解答题第9页，共65页分析解读三角函数在高职考中占有较大的比重，试题的难度一般以中、低档难度为主，主要考查以下几方面．1．三角函数定义的理解，三角函数值的符号判断．2．同角三角函数的关系与诱导公式用于化简或求值．3．三角恒等变换的考查集中在两类：一类是单独考查，以单项选择题和填空题为主；另一类是作为解决三角函数问题的工具，结合三角函数的图象与性质及解三角形进行考查．第10页，共65页分析解读4．三角函数的最值(值域)、单调性、周期等性质以及图象的变化规律．5．利用正弦定理、余弦定理及其变式或推论的内容求解边或角．6．以解三角形为背景的应用问题是高职考命题的趋势，突出生产和生活中的实际运用.7．三角函数的考查，综合性越来越强，能力要求逐年提高．第11页，共65页思维导图第12页，共65页知识要点两角和与差的三角函数①sin(α＋β)＝____________________，②sin(α－β)＝____________________，③cos(α＋β)＝____________________，④cos(α－β)＝____________________，sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ第13页，共65页知识要点⑤tan(α＋β)＝____________________，⑥tan(α－β)＝____________________.第14页，共65页基础过关1．求值：cos75°cos15°－sin75°sin15°等于()A．

B．－C．0

D．1C123456【提示】原式＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.第15页，共65页基础过关2．下列式子中，正确的个数为()①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos＝sinα；③cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.A．0

B．1C．2

D．3B【提示】仅③正确．123456第16页，共65页基础过关3．若sinα＝，且α∈，则sin等于()A．

B．

C．－

D．－B【提示】原式＝sinα－cosα＝×－×＝.123456第17页，共65页基础过关4．求值：等于()A．

B．C．－

D．－B【提示】原式＝tan(20°＋40°)＝tan60°＝.123456第18页，共65页基础过关5．化简：cos4－sin4等于()A．

B．

C．

D．0A【提示】原式＝(cos2－sin2)(cos2－sin2)＝cos＝.123456第19页，共65页基础过关6．化简：cos(A－B)·cosB－sin(A－B)·sinB＝________.cosA123456【提示】原式＝cos[(A－B)＋B]＝cosA.典例剖析例1变1例2例1求值：(1)sin15°；变2第20页，共65页【思路点拨】“15°＝60°－45°，105°＝60°＋45°”，利用两角和与差的正弦及正切公式进行计算．例3变3例4变4【解】sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝×－×＝.典例剖析(2)tan105°.第21页，共65页【解】tan105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝－2－.例1变1例2变2例3变3例4变4第22页，共65页变式训练1求值：(1)cos75°；典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4【关键点评】利用两角和与差的正弦、余弦、正切，会计算sin15°，sin75°，cos15°，cos75°，tan15°，tan75°，并且能熟记这些值．第23页，共65页解：原式＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝×－×＝.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第24页，共65页(2)tan15°.解：原式＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第25页，共65页例2计算：(1)sin55°cos35°＋cos55°sin145°；典例剖析【思路点拨】(1)可利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，进行两角和的正弦公式的逆用；(2)两角差的正切公式逆用．例1变1例2变2例3变3例4变4【解】原式＝sin55°cos35°＋cos55°sin35°＝sin(55°＋35°)＝sin90°＝1.第26页，共65页(2).【解】原式＝tan(10°－55°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第27页，共65页典例剖析变式训练2求值：(1)cos10°cos110°－cos80°sin110°；【关键点评】(1)两角和的余弦公式的逆用；(2)在两角差的正切公式逆用中，经常用“tan45°”去替代“1”．例1变1例2变2例3变3例4变4第28页，共65页解：原式＝cos10°cos110°－sin10°sin110°＝cos(10°＋110°)＝cos120°＝－.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第29页，共65页(2).解：原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第30页，共65页例3

已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为锐角，求α＋β的值．典例剖析【思路点拨】已知三角函数值求角，一般分两步：①“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值；②根据角的范围与三角函数值确定该角的值．例1变1例2变2例3变3例4变4第31页，共65页【解】∵α，β均为锐角，∴cosα＝，cosβ＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第32页，共65页典例剖析变式训练3已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为锐角，求α－β的值．例1变1例2变2例3变3例4变4【关键点评】分析角的范围并合理选择一个三角函数值．第33页，共65页解：∵α和β均是锐角，∴cosα＝，cosβ＝.∵α∈，β∈，∴α－β∈.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第34页，共65页又∵sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝，∴α－β＝.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第35页，共65页例4

已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β均为锐角，求角β.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4【思路点拨】先运用拆角技巧β＝(α＋β)－α，再运用两角差的余弦公式．第36页，共65页【解】∵α∈，∴sinα＝，而α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)>0，且sin(α＋β)＝＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.∵α，β均为锐角，∴β＝.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第37页，共65页典例剖析变式训练4(1)已知0＜α＜＜β＜π，sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝________；例1变1例2变2例3变3例4变4【关键点评】将未知角用已知角表示出来，使之变成两角和与差的形式．【提示】sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cosα－cos(α＋β)·sinα＝.第38页，共65页(2)若sin＝，且α＋∈，则sinα＝________.【提示】sinα＝sin.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4第39页，共65页回顾反思1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确而且要熟悉公式的逆用及变形．2．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．第40页，共65页回顾反思3．常见的配角技巧：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β).其中α，β可为特殊角，例如：α＝.检测练习12345678一、单项选择题1．求值：sin－cos等于()A．0

B．

C．－

D．1第41页，共65页9101112123C【提示】原式＝sincos－cossin＝sin＝sin＝－.A组B组第42页，共65页2．若α＋β＝，则(1＋tanα)·(1＋tanβ)等于()A．1

B．－1

C．2

D．－2检测练习C123456789101112123A组B组【提示】tan(α＋β)＝，则tanα＋tanβ＋tan(α＋β)·tanαtanβ＝tan(α＋β).当α＋β＝时，tanα＋tanβ＋tanα·tanβ＝1.第43页，共65页3．化简：cos(α＋β)＋cos(β－α)等于()A．2cosαcosβ

B．2sinαsinβC．2sinαcosβ

D．－2cosαcosβ检测练习A【提示】公式直接展开．123456789101112123A组B组第44页，共65页4．已知sinα＝，且α∈，则tan等于()A．－7

B．7

C．－

D．检测练习D【提示】∵α∈，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan＝＝＝.123456789101112123A组B组第45页，共65页5．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC是()A．锐角三角形

B．直角三角形C．钝角三角形

D．不能确定检测练习C123456789101112123A组B组【提示】原式＝cos(A＋B)＝－cosC>0，∴cosC<0.第46页，共65页6．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为()A．

B．

C．

D．检测练习123456789101112123A组B组C第47页，共65页【提示】tan＝tan＝＝＝.

检测练习123456789101112123A组B组第48页，共65页二、填空题7．求值：(1)sin17°cos13°＋sin73°sin13°＝________；检测练习123456789101112123A组B组【提示】原式＝sin17°cos13°＋cos17°sin13°＝sin(17°＋13°)＝sin30°＝.第49页，共65页(2)tan15°＋tan75°＝________.【提示】tan15°＝2－，tan75°＝2＋.4检测练习123456789101112123A组B组第50页，共65页8．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cosαsinβ＝________检测练习【提示】∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴cosαsinβ＝＝.123456789101112123A组B组第51页，共65页9．已知tan(α＋β)＝2，tanβ＝－3，则tanα＝________.检测练习－1【提示】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝－1.123456789101112123A组B组第52页，共65页10．若cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，则cos(α－β)＝________.检测练习【提示】(cosα－cosβ)2＝cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝，(sinα－sinβ)2＝sin2α＋sin2β－2sinαsinβ＝，两式相加得2－2(cosαcosβ+sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.123456789101112123A组B组第53页，共65页三、解答题11．已知sinα＝，且α∈，求sin和cos的值．检测练习解：∵α∈，∴cosα＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×123456789101112123A组B组第54页，共65页＝－；cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.检测练习123456789101112123A组B组第55页，共65页12．已知α，β∈(0，π)，且tanα和tanβ是方程x2＋x＋6＝0的两根，求α＋β的值．检测练习解：∵tanα，tanβ是方程x2＋x＋6＝0的两根，∴由韦达定理得又∵α，β∈(0，π)，∴α，β∈，123456789101112123A组B组第56页，共65页∴π<α＋β<2π.∵tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝.检测练习123456789101112123A组B组第57页，共65页1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它的终边经过点P.(1)求sin(α＋π)的值；检测练习解：由点P可知，x＝－，y＝－，∴r＝＝1，123456789101112123A组B组第58页，共65页则sinα＝＝－，cosα