理工刚体的定轴转动

理工刚体的定轴转动第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一刚体定轴转动定律角动量定理本章知识结构角动量角动量变化率转动惯量角动量守恒定律力矩作功转动动能动能定理刚体转动角量角速度、角加速度角量与线量关系刚体运动学刚体动力学第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期一华南热带农业大学儋州立业宝岛生根第三章刚体的转动

教学基本要求

一

理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.

二

理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.

三

理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期一§3-1转动动能转动惯量刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体最简单的运动形式：平动、转动.一、刚体工s03-平动3.swf第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期一刚体平动质点运动▲平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.二、平动和转动平动视频工s03-平动2.swf第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期一转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动.工s03-转动.swf第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期一刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期一三、刚体的定轴转动定轴转动：

刚体上各点都绕同一直线（转轴）作不同半径的圆周运动，而轴本身在空间的位置不变。且在相同时间内转过相同的角度。打滑时第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期一参考平面角位移角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动角速度矢量

方向:右手螺旋方向参考轴刚体转动的角速度和角加速度第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期一角量与线量的关系第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期一角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一华南热带农业大学儋州立业宝岛生根第三章刚体的转动§3-1刚体的平动、转动和定轴转动匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期一

一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑论半径为0.5m,如果升降机从静止开始以a=0.4m/s2匀加速上升，求：(1)滑轮的角加速度。(2)开始上升后,5秒末滑轮的角速度(3)在这5秒内滑轮转过的圈数。(4)开始上升后,1秒末滑轮边缘上一点的加速度(不打滑)。解:(1)轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等arExample3.1-线度角度关系第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期一(2)(3)(4)ar合加速度的方向与轮缘切线方向夹角第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期一质点运动的动能:刚体是由许多质点组成的,第小块质元的质量其动能：绕定轴转动刚体的总动能:Oi四、刚体的转动动能第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期一理论计算单位：kgm2——表示刚体相对于确定转轴的特征的物理量五、转动惯量一质点对O点：J=mr2mrOrdm同样质量做成半径r

的圆环，对中心轴例：O第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期一质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量：质量元

对质量线分布的刚体：：质量线密度对质量面分布的刚体：：质量面密度对质量体分布的刚体：：质量体密度第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期一O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元例题3-3

一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒Example2-P97-3-3

第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例题3-2

求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rRdr解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、

宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm=2rdr。可得Example3-P98-3-4第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期一转动惯量与质量分布有关转动惯量与材料性质有关平行轴定理:刚体对任一轴的转动惯量J,等于对过中心的平行轴的转动惯量与二轴间的垂直距离h的平方和刚体质量的乘积之和。转动惯量与转轴位置有关转动惯量是描述刚体对轴转动惯性大小的物理量决定转动惯量的大小的因素第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期一通过任一转轴A的转动惯量：CxdxdmAh（取C为坐标原点）第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一P99-3-1表第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例3-4求质量m半径R的(1)均质圆环，(2)均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。解：(1)圆环：dmExample-圆环第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期一odm(2)圆盘：可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期一§3-2力矩的功定轴转动定律P*O:力臂刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.对转轴Z的力矩

一力矩第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期一O分析

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期一二、力矩的功力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。力对P点作功：0‘0第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期一因力矩作功：对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。0‘0第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期一1.转动动能合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.三、刚体绕定轴转动的动能定理2.定轴转动的动能定理第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期一表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。即：质心高度为：

对于一个不太大的质量为的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。四、刚体的重力势能第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例题3-5如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮，r1=0.3m,r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。（2）若冲床冲断0.5mm厚的薄钢片需用冲力9.80104N，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？2r12r2dExample4–P100-3-5第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一解：（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得

皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为由此得飞轮的角速度第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期一这样飞轮的转动动能是（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为由求得此时间的角速度’为而飞轮的转速变为第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期一应用牛顿第二定律，可得：对刚体中任一质量元-外力-内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：ωOO’五.刚体定轴转动定律第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期一用ri乘以上式左右两端：

设刚体由N个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N个方程左右相加，得：

根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期一得到：上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J表示。于是得到刚体定轴转动定律刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例题3-6

一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1<m2

如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1’(T1’=T1)，

物体2这边的张力为T2、T2’(T2’=T2)Example3.2–P103-3-6第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期一因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期一而第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期一当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0时，有

上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例题3-7

一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。Example–P103-3-7第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期一设圆盘经过时间t停止转动，则有由此求得第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期一§3-3定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1质点的角动量质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点

O

的位矢为，质点相对于原点的角动量大小的方向符合右手法则.一、刚体的角动量第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期一2刚体定轴转动的角动量O对转轴o的角动量质元大小：方向：定义转动惯量第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期一二、刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动定理：则该系统对该轴的角动量为：由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为、、…，对于该系统还有第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期一为时间内力矩M对给定轴的冲量矩之和。角动量定理的积分形式：在外力矩作用下，从角动量变为，，则由得第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期一角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M恒为零，则此系统的总角动量L为一恒量。恒量讨论：a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量=恒量三.、定轴转动刚体的角动量守恒定律第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期一b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系统的角动量依然守恒。J大→

小,J小→大。c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。理工v03-茹科夫斯基转椅_30s.WMV第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期一LABABCC常平架上的回转仪应用事例：理工v03-角动量直升机_45s.WMV第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例题3-8

工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？AACBACBExample3.3–P108-3-8第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期一或共同转速为

在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期一例题3-7

一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能COExample3.4-摆动第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期一零点，用表示棒这时的角速度,则（1）

第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则（2）式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。

’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期一第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3）由匀减速直线运动的公式得（4）亦即由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得（5）第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期一亦即l>6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件为亦即l<6s

棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：把式（5）代入上式，所求结果为当’取正值，则棒向左摆，其条件为(6)第五十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期一进动（preccesion）：物体绕自转轴高速旋转的同时，其自转轴还绕另一个轴转动的现象。又称回转效应。如：倾倒陀螺的进动§3-4进动理工v04-旋进8m.WMV第五十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期一设陀螺质量为m，以角速度自转。重力对固定点o的力矩：绕自身轴转动的角动量：由角动量定理的微分式：显然，时刻改变方向而大小不变——进动。陀螺的进动

mgo第五十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期一进动角速度：do由图可知：由角动量定理：陀螺第六十页，共六十八页，编辑于2023年，星期一陀螺的进动角速度：2.进动轴通过定点且与外力平行。1.ωp与ω有关，与θ无关。3.进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。4.较小时，

有周期性变化，称为章动。说明do回转效应的应用：炮筒内的旋转式来复线等。第六十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期一改变方向，情况如