线性电路过渡过程的时域分析详解演示文稿

线性电路过渡过程的时域分析详解演示文稿本文档共90页；当前第1页；编辑于星期三\14点32分（优选）线性电路过渡过程的时域分析本文档共90页；当前第2页；编辑于星期三\14点32分当含有储能元件（如电容、电感）的电路从一个稳定状态改变到另一个稳定状态时，电路中电容电压和电感电流的建立或其量值的改变，必然伴随着电容中的电场能量和电感中磁场能量的改变，而这种储能元件储能的改变只能是渐变（即连续变动）的，它不可能是跃变，要变就需要一定的时间（即使这时间很短），在这段时间内完成电路中各元件间能量的转移、转化和重新分配，以建立新的稳态，因此电路中必然经历一个过渡过程。本文档共90页；当前第3页；编辑于星期三\14点32分8.2换路定律和初始值计算8.2.1换路定律

不论产生电路中过渡过程的原因如何，在换路后的一瞬间，任何电感中的电流和任何电容上的电压都应当保持换路前一瞬间的原值不能跃变，换路以后就以此为初始值而连续变化。这个规律称为换路定律。本文档共90页；当前第4页；编辑于星期三\14点32分计算动态电路的过渡过程，一般都把换路的瞬间取为计时起点，即取为t=0，并把换路前的最后一瞬间记作t=0-，把换路后的最初一瞬间记作t=0+

。0+与0、0与0-间的间隔都趋近于零。则换路定律可以表达为本文档共90页；当前第5页；编辑于星期三\14点32分8.2.2初始值的计算初始值的计算可按如下步骤进行。（1）首先根据换路前的稳态电路求出t=0-时电路中的电容电压uC(0-)和电感电流iL(0-)，（2）利用换路定律uC(0+)=uC(0-)、iL(0+)=iL(0-)确定出t=0+时的电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。本文档共90页；当前第6页；编辑于星期三\14点32分（3）将电容元件用电压为uC(0+)的电压源替代，将电感元件用电流为iL(0+)的电流源替代，电路中的独立源则取其在t=0+时的值，画出换路后的电路在t=0+时的等效电路。它是一个电阻电路，并与换路后原动态电路只在0+一瞬间等效。（4）利用基尔霍夫定律和欧姆定律求解t=0+时的等效电路，求出其他相关初始值。本文档共90页；当前第7页；编辑于星期三\14点32分8.3一阶电路的零输入响应

在含有储能元件的一阶电路中，若无电源激励，输入信号为零，仅由储能元件的初始储能引起的响应称为零输入响应。本文档共90页；当前第8页；编辑于星期三\14点32分8.3.1RC电路的零输入响应图8.7RC电路的零输入响应（a）（b）本文档共90页；当前第9页；编辑于星期三\14点32分

设图8.7(a)所示RC电路中，t<0时开关S置于1的位置很久，电源U0经电阻R0对电容C充电，电路已处于稳态。t=0时将开关S倒向2的位置，则已充电到电压U0的电容与电源脱离，并开始向电阻R放电，如图8.7(b)所示。由于此时电路已脱离电源，没有外电源的输入，只靠电容中的初始储能在电路中产生响应，属于零输入响应。本文档共90页；当前第10页；编辑于星期三\14点32分在所选各量的参考方向下，由KVL和VCR得换路后电路的方程为这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它描述了RC电路零输入响应的暂态特性。求解该微分方程便得到uC(t)，以后简记为uC。根据常系数线性齐次常微分方程的特性

有通解本文档共90页；当前第11页；编辑于星期三\14点32分由换路定律，得初始条件为

可以求得电容电压

可见换路后，电容电压以U0为初始值按指数规律衰减，随后趋向零，进入新的稳态。放电电流为本文档共90页；当前第12页；编辑于星期三\14点32分图8.8uC和i随时间变化的曲线（a）（b）本文档共90页；当前第13页；编辑于星期三\14点32分令

，则有采用SI单位时，有与时间单位相同，与电路的初始情况无关，所以将称为RC电路的时间常数。本文档共90页；当前第14页；编辑于星期三\14点32分时间常数的物理意义开始放电时，经过一个等于时间常数的时间后，即时，衰减为所以时间常数就是按指数规律衰减的量衰减到它的初始值的36.8%时所需时间。假若能以过渡过程初始的速率等速衰减，经过时间，过渡过程便可达到稳态值。即过初始点的切线与横轴相交于，如图8.9所示。本文档共90页；当前第15页；编辑于星期三\14点32分图8.9时间常数的物理意义

本文档共90页；当前第16页；编辑于星期三\14点32分从理论上讲，t=∞时uC才衰减为零，即放电要经历无限长的时间才结束；实际上，经历的时间，uC已衰减为，即为初始值的0.7%，可以认为经过后，过渡过程即已结束。所以，电路的时间常数决定了零输入响应衰减的快慢，时间常数越大，衰减越慢，放电持续的时间越长。图8.10给出了RC电路在三种不同值下电压uC随时间变化的曲线。

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值下的uC曲线本文档共90页；当前第18页；编辑于星期三\14点32分

RC电路的时间常数与电路的R和C成正比。在相同的初始电压U0下，C越大，它储存的电场能量越多，放电所需时间也就越长，所以与C成正比。同样U0与C情况下，R越大，越限制电荷的流动和能量的释放，放电所需时间越长，所以与R成正比。本文档共90页；当前第19页；编辑于星期三\14点32分8.3.2RL电路的零输入响应图8.12RL电路的零输入响应（a）（b）本文档共90页；当前第20页；编辑于星期三\14点32分在所选各量的参考方向下，由KVL和VCR得

它是一阶常系数线性齐次常微分方程，描述了RL电路零输入响应的暂态响应。其通解为式中，p为特征方程Lp+R=0的根，所以特征根

，本文档共90页；当前第21页；编辑于星期三\14点32分积分常数A由电路的初始条件确定。由换路定律得，可得A=I0，解得电感的零输入响应电流可见，换路后电感电流以I0为初始值按指数规律衰减，最后趋向零，进入新的稳态。本文档共90页；当前第22页；编辑于星期三\14点32分电感电压及电阻电压分别为电流i及电压uL、uR随时间变化的曲线如图8.13所示。令，则有

，，，，本文档共90页；当前第23页；编辑于星期三\14点32分图8.13iL、uL、uR的变化曲线本文档共90页；当前第24页；编辑于星期三\14点32分采用SI单位时有

与时间单位相同，与电路初始情况无关，所以称为RL电路的时间常数。

同理，当经历了等于时间常数的时间后，即时，也有所以，在RL电路的零输入响应中，时间常数的意义是：按照指数规律衰减的电感电流或电压衰减到初始值的36.8%所需的时间。本文档共90页；当前第25页；编辑于星期三\14点32分

RL电路的零输入响应的快慢同样可用时间常数反映。与电路的L成正比，而与R成反比。在相同的初始电流I0下，L越大，则储存的磁场能量也就越多，释放磁能所需时间越长，所以与L成正比。同样I0及L情况下，R越大，消耗能量越快，放电所需时间越短，所以与R成反比。本文档共90页；当前第26页；编辑于星期三\14点32分由本节的分析可知，对于一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且电路中的其他电压和电流的零输入响应，都是从其初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中的时间常数相同。

本文档共90页；当前第27页；编辑于星期三\14点32分当初始值f(0+)增大K倍，则零输入响应也同样增大K倍。这种零输入响应和初始值的线性关系称为零输入线性。若用f(t)表示一阶电路的零输入响应，用f(0+)表示其初始值，则零输入响应的一般表达式为本文档共90页；当前第28页；编辑于星期三\14点32分8.4一阶电路的零状态响应前节讨论了一阶电路的零输入响应，其本质是由储能元件的非零初始储能引起的。若动态电路储能元件的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应，称为零状态响应。同样一阶电路的零状态响应也包括RC和RL两类电路。本文档共90页；当前第29页；编辑于星期三\14点32分8.4.1RC电路的零状态响应直流电压源通过电阻对电容充电的电路如图8.20所示，设开关S闭合前C未充电，电容电压为零，即初始状态为零。t=0时闭合开关S，求换路后电路的零状态响应。本文档共90页；当前第30页；编辑于星期三\14点32分图8.20

RC电路在直流激励下的零状态响应本文档共90页；当前第31页；编辑于星期三\14点32分换路后电路的方程，由KVL和VCR得根据常系数线性常微分方程的特性，有

它是一阶常系数线性非齐次常微分方程，描述了RC电路零输入响应的暂态响应。

本文档共90页；当前第32页；编辑于星期三\14点32分其中为方程的一个特解，与外施激励有关，称为强制分量。的特点是它随时间变化的规律和电源随时间变化的规律相同，它是由电源的作用在电路中建立的强制状态，它不仅决定于电路的结构和参数，而且决定于电源。当激励为直流电源或正弦电源时，此情况下的强制分量称为稳态分量。本文档共90页；当前第33页；编辑于星期三\14点32分为了满足KVL又满足换路定律，还必须考虑解中另一个分量。

称为自由分量或暂态分量，式中，为电路的时间常数，A为积分常数，由初始条件决定。按指数规律衰减，暂态分量的变化规律仅由电路的结构和参数所决定，而与外施激励无关，但暂态分量的大小与电源有关。本文档共90页；当前第34页；编辑于星期三\14点32分代入初始条件，得uC、i随时间变化的曲线如图8.21所示。uR随时间变化的曲线与相似，图中省略未画出。本文档共90页；当前第35页；编辑于星期三\14点32分图8.21uC和i随时间变化的曲线

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充电过程中电容电压由零随时间逐渐增长，其增长率按指数规律衰减，最后电容电压趋于直流电压源的电压Us。充电电流方向与电容电压方向一致，充电开始时其值最大为Us/R，以后按指数规律衰减到零。本文档共90页；当前第37页；编辑于星期三\14点32分当经历等于时间常数的时间，即时电容电压增长为可见，时间常数是电容电压从零上升到稳态值的63.2%所需的时间，也即电容电压的暂态分量衰减到初始值的36.8%所需的时间。本文档共90页；当前第38页；编辑于星期三\14点32分理论上，过渡过程的结束需要无限长的时间，当经过的时间，已上升到稳态值的99.3%，可以认为过渡过程已经结束。所以，时间常数的大小决定了一阶电路零状态响应进行的快慢，时间常数越大，暂态分量衰减越慢，充电持续时间越长。本文档共90页；当前第39页；编辑于星期三\14点32分8.4.2RL电路的零状态响应图8.23RL电路在直流激励下的零状态响应

1.RL电路在直流激励下的零状态响应

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图8.23所示RL串联电路，开关S闭合前电感中无电流，即初始状态为零。t=0时闭合开关S与直流电压源Us接通，求换路后电路的零状态响应。

换路后电路的方程，由KVL和VCR得

其解由两部分组成本文档共90页；当前第41页；编辑于星期三\14点32分代入初始条件，得

i、uR及uL随时间变化的曲线如图8.24(a)、(b)所示。本文档共90页；当前第42页；编辑于星期三\14点32分（a）（b）图8.24i、uR和uL随时间变化的曲线本文档共90页；当前第43页；编辑于星期三\14点32分电感电流由零随时间逐渐增长，其增长率按指数规律衰减，最后趋于稳态值Us/R。电感电压方向与电流方向一致，开始接通时其值最大为Us，以后按指数规律衰减到零。

本文档共90页；当前第44页；编辑于星期三\14点32分从直流激励下的RC和RL电路的零状态响应分析可以看出，若外施激励增大K倍，则其零状态响应也增大K倍。这种外施激励与零状态响应之间的线性关系称为零状态线性。本文档共90页；当前第45页；编辑于星期三\14点32分求一阶电路的零状态响应的方法如下：首先求出换路后电容元件或电感元件两端看进去的戴维南等效电路，然后求出等效电路中的电容电压或电感电流，最后根据KVL、KCL、欧姆定律和电容元件或电感元件的VCR即可求出原电路中其他支路电压和电流。本文档共90页；当前第46页；编辑于星期三\14点32分2.RL电路在正弦激励下的零状态响应

图8.27

RL电路在正弦激励下的零状态响应本文档共90页；当前第47页；编辑于星期三\14点32分图8.27所示RL电路，开关S闭合前电感中无电流，即初始状态为零。t=0时闭合开关S与正弦电压源接通，为接入相位角，换路后的电路方程为

其解仍由两部分组成其中稳态分量可按正弦电流电路计算。本文档共90页；当前第48页；编辑于星期三\14点32分于是稳态分量

其暂态分量仍为

，代入初始条件，得

电路的阻抗本文档共90页；当前第49页；编辑于星期三\14点32分由以上可见，暂态分量仍以为时间常数按指数规律衰减。暂态分量为零后，电路进入正弦稳态。但暂态分量的大小与换路时电压源的初相有关。有两个特殊情况：

①，即在电压源电压的初相时换路，则式中的暂态分量电路换路后不经历过渡过程，立即进入稳态。时换路，也立即进入稳态。

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②的情况下换路，则

在所有不同的中，这一情况下电流暂态分量的起始值最大，等于稳态最大值。当情况下的i、、随时间变化的曲线如图8.28所示。本文档共90页；当前第51页；编辑于星期三\14点32分图8.28i、i′和i〞随时间变化的曲线本文档共90页；当前第52页；编辑于星期三\14点32分从图8.28中可见，在换路后约经半个周期电流瞬时值最大。如果电路的时间常数很大，即衰减很慢，经过半个周期时间，电流几乎为其稳态最大值的两倍，出现过电流现象，在实际工程中应引起足够的重视。本文档共90页；当前第53页；编辑于星期三\14点32分8.5一阶电路的全响应8.5.1全响应及其分解

电路中的初始储能（即非零初始状态uC(0+)或iL(0+)不为零）及外施激励在电路中共同产生的响应称为全响应。以图8.31所示RC电路为例，设uC(0+)=U0，电压源电压为Us，换路后的方程仍为代入初始

条件有本文档共90页；当前第54页；编辑于星期三\14点32分图8.31RC电路的全响应本文档共90页；当前第55页；编辑于星期三\14点32分电容电压的全响应为电阻电压、电流的全响应分别为

uC、uR和i随时间的变化曲线如图8.32所示。其中uC以U0为初始值按指数规律逐渐上升至稳态值Us

，而充电电流则以为初始值按指数规律逐渐下降至零。本文档共90页；当前第56页；编辑于星期三\14点32分图8.32uC、uR和i随时间变化的曲线本文档共90页；当前第57页；编辑于星期三\14点32分下面以uC为例介绍适用于任何线性一阶电路的全响应的两种分解方法。

强制分量自由分量(稳态分量)(暂态分量)其中第一个分量为强制分量（稳态分量）；第二个分量为自由分量（暂态分量），两个分量的变化规律不同。(1)本文档共90页；当前第58页；编辑于星期三\14点32分稳态分量取决于外施激励。现在外施激励是直流电源，稳态分量也是恒定不变量；当外施激励为正弦电源时，稳态分量也是同频率正弦量。暂态分量是按指数规律衰减变化的，取决于电路的特性，其大小则既与初始状态有关，也与外施激励有关。RL电路的全响应也包含这两个分量。即任何一阶电路的全响应都可分解为稳态响应和暂态响应之和。本文档共90页；当前第59页；编辑于星期三\14点32分（2）全响应是非零初始状态和外施激励共同作用所产生的响应。根据叠加定理，可看成是分别单独作用产生响应的代数和，而分别产生的响应恰是零输入响应和零状态响应，故一阶电路的全响应应是零输入响应和零状态响应的叠加。零输入响应零状态响应本文档共90页；当前第60页；编辑于星期三\14点32分其中第一个分量uC1是零输入响应；第二个分量uC2是零状态响应。RL电路的全响应也包含这两个分量。即任何一阶电路的全响应都可分解为零输入响应与零状态响应之和。图8.33（b）画出了电容电压全响应（uC）及其零输入响应(uC1)、零状态响应(uC2)两个分量的曲线。应该注意两种分解的表达式实际上是完全相同的。本文档共90页；当前第61页；编辑于星期三\14点32分(a)(b)图8.33全响应的两种分解本文档共90页；当前第62页；编辑于星期三\14点32分其实，零输入响应和零状态响应也可各自分解为稳态分量（零输入响应的稳态分量为零）和暂态分量，两者的稳态分量的和便是全响应的稳态分量，两者的暂态分量的和便是全响应的暂态分量。本文档共90页；当前第63页；编辑于星期三\14点32分全响应分解为稳态响应和暂态响应，能较明显反映电路的工作阶段，便于分析过渡过程的特点。全响应分解为零输入响应和零状态响应，明显反映了响应与激励在能量方面的因果关系，并且便于分析计算。本文档共90页；当前第64页；编辑于星期三\14点32分8.5.2分析一阶电路全响应的三要素法

一阶电路中，任意电压或电流都是由其初始值、稳态值和时间常数这三个参数确定的。若用f(t)表示一阶电路的全响应（电压或电流），f(0+)表示其初始值，f(∞)表示其稳态值，表示电路的时间常数，则一阶电路的全响应的一般表达式为本文档共90页；当前第65页；编辑于星期三\14点32分

f(0+)，f(∞)和称为一阶电路的三要素，利用这三个要素可直接求出在直流激励下的一阶电路任一电压或电流的全响应，这种方法就称为分析一阶电路全响应的三要素法。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，故上式同样适用于求解一阶电路的零输入响应和零状态响应。本文档共90页；当前第66页；编辑于星期三\14点32分若是f(t)零输入响应，其初始值为f(0+)，则响应的一般表达式为若是f(t)零状态响应，其稳态值为

f(∞)，则响应的一般表达式为本文档共90页；当前第67页；编辑于星期三\14点32分1.确定初始值初始值f(0+)是指任一响应换路后最初一瞬间t=0+时的值，其求法见8.2.2节2.确定稳态值稳态值f(∞)是指任一响应在换路后电路达到稳态时的值，其求法可画出t=∞时的等效电路。若外施激励为直流电源，电容相当于开路，电感相当于短路，可按直流电阻电路计算求得。本文档共90页；当前第68页；编辑于星期三\14点32分3.求时间常数为所求响应电路的时间常数，对于RC电路，；对于RL电路，，其中R0是将电路中所有独立源置零后，从电容或电感两端看进去的一端口网络的等效电阻（即戴维南等效电阻）。本文档共90页；当前第69页；编辑于星期三\14点32分

对于外施激励为正弦电源的一阶电路，也可用三要素法求解全响应，其一般表达式为式中f∞

(t)为响应的稳态值，在换路后用相量法计算，仍然是一个同频率的正弦量。f∞(0+)是稳态值f∞(t)的初始值。本文档共90页；当前第70页；编辑于星期三\14点32分8.6阶跃函数和一阶电路的阶跃响应8.6.1阶跃函数在分析动态电路的过渡过程时，引入阶跃函数，以便描述电路的激励和响应。单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为

本文档共90页；当前第71页；编辑于星期三\14点32分图8.42阶跃函数（a）（b）本文档共90页；当前第72页；编辑于星期三\14点32分如果单位阶跃发生在时，则称为延迟的单位阶跃函数，用表示，其波形如图8.42(b)所示。将单位阶跃函数乘以常数K，便成为一般的阶跃函数。在0-

到0+间发生了幅度为K的阶跃。本文档共90页；当前第73页；编辑于星期三\14点32分阶跃函数可以用来描述开关的动作。如图8.43(a)所示，用阶跃函数代替开关来表示t=0时开关的作用，即可由阶跃函数表示电路接到直流电压源上；图8.43(b)则用延时的阶跃函数来表示t=t0时把电路接通到2A的直流电流源上。本文档共90页；当前第74页；编辑于星期三\14点32分图8.43阶跃函数的开关作用

（a）（b）本文档共90页；当前第75页；编辑于星期三\14点32分图8.44单位阶跃函数截取波形的作用单位阶跃函数还可以方便地表示某些分段函数，起到截取波形的作用

（a）（b）

本文档共90页；当前第76页；编辑于星期三\14点32分阶跃函数还可用来分解波形

（a）（b）（c）图8.45矩形脉冲的组成本文档共90页；当前第77页；编辑于星期三\14点32分8.6.2一阶电路的阶跃响应电路在（单位）阶跃电压或电流激励下的零状态响应，称为（单位）阶跃响应。

电路在直流激励下的零状态响应中的激励量改为单位阶跃量，就成为电路的阶跃响应。本文档共90页；当前第78页；编辑于星期三\14点32分如果单位阶跃激励不是在t=0时，而是在t=t0时施加的，则将电路阶跃响应中的t改为(t-t0)，即得电路的延迟的阶跃响应。如果已知电路的阶跃响应，只要将阶跃响应乘以直流激励的值，就可求得电路在直流激励下的零状态响应。本文档共90页；当前第79页；编辑于星期三\14点32分8.7二阶电路的零输入响应前面研究的动态电路为一阶电路，即电路中只有一个储能元件——电容或电感。现在研究含有两个独