数学变式百例精讲

第一部分数学问题演变的意义与价值认识一、数学问题演变的意义二、数学问题演变的价值认识1、优化学生思维素质2、掌握贯通数学思想3、培养学习兴趣，提高教学效益

以往的变式教学更多地在理论上列举了一题多变、举一反三的教学与学习的优势，更多地立足于宏观教学理论上的探讨。但作为一线教师对数学变式的途径希望是明确再明确、具体再具体的，使每一个教师都能理解掌握并能熟练地进行操作。立足于课堂教学和学生解题训练的实际，我研究了数学问题是如何深入和演变的具体途径，注重于数学问题演变的具体的技术手段。八个具体技术手段和途径：1、图形内部结构的变式探究2、几何图形形状的变式探究3、对原题型的条件或结论的变式探究4、原题数量关系的变式探究5、因某一知识迁移的变式探究6、增加试题层次的变式探究7、转化设问方向的变式探究8、纵横交错、信息互换的变式探究第二部分、培养数学问题演变能力的策略

一、重视基础，沟通联系案例1.求证：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。变式1、求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。变式2、求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形。变式3、求证：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形。变式5、顺次连结什么四边形中点得到矩形。变式6、顺次连结什么四边形中点得到菱形等。变式4、顺次连结什么四边形中点得到平行四边形。例２、圆台侧面积公式为Ｓ＝π（Ｒ＋ｒ）ｌ．当ｒ＝０时，即圆台体变形为圆锥体，圆锥体侧面积公式为Ｓ＝πＲｌ；当Ｒ＝ｒ时，圆台体变形为圆柱体，圆柱体侧面积公式为Ｓ＝２πＲｌ．这样，我们用整体的观点，站在更高的层次上，分析与研究知识点之间的纵横关系、因果关系、演变关系，沟通不同知识间的内在联系，以知识为经、方法为纬，编织一个“知识网”，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础。二、推陈出新，发展思维案例3：如图2-1，在Rt△ABC中，当∠C=90°，则c²=a²+b²（勾股定理）变式1、当∠C不是90°时，c²=a²+b²仍成立吗？如不能成立，a、b、c三边又成何关系式呢？

变式2、我们已知所有符合a²+b²=c²的正整数解即为一组勾股数，如：

3、4、5，5、12、13，9、40、41……那是否存在正整数

a、b、c使a³+b³=c³呢？变式3、当n>3时，是否存在正整数a、b、c，使也成立呢？这就是有名的数学难题——费马最后定理。三、掌握规律，建立技能直觉思维辩证思维发散思维大胆猜想、类比、联想熟悉化、简单化、具体化、特殊化，组合、分拆解法发散，条件结论发散，动静变换，主次易位，相关问题比拟A的变式策略构建检验与择优

问题A例1：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。变式题1：如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点，则FG⊥DE，请说明理由。变式题2：如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°,点M，N分别是BD、AC的中点，MN、AC的位置关系如何？ABCDMN例２已知点Ｐ（ａ－2，ａ２－４）在ｘ轴负半轴上，求点Ｐ坐标变式１已知Ｐ（ａ－２，ａ２－４）在二、四象限的角平分线上，求点Ｐ坐标变式２若点Ｐ（ａ－２，ａ２－４）在直线ｙ=２ｘ＋３上，求点Ｐ的坐标．变式３已知点Ａ（－３，ｍ）、Ｂ（ｎ，４），若ＡＢ∥ｘ轴，求ｍ的值并确定ｎ的范围．问题一：要在河边修建一个水泵站，分别向两侧的村庄A,B送水，问水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？请你来设计方案，怎样设计才能使所用的水管最短？画一画问题二：要在河边修建一个水泵站，分别向同侧的村庄A,B送水，问水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？例1：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,则BP+PE最小值_____解:B的对称点为C,连接CP只要C,P,E三点共线即可D变外形变式1：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，在BC上找一点P,使AP+PE最小，则最小值是_______解：作E的对称点E'，连接PE'，延长E'E，作AF⊥E'F∵AP+PE=AP+PE’∴A,P,E'三点共线时最小方法二：解：作A的对称点A'，连接A’E，A’B∵AP+PE=A’P+PE∴A’,P,E三点共线时最小变式2：设正三角形ABC的边长为2，E为AB上的中点，P为BC边上的任意一点，PA＋PE的最大值和最小值分别记为s和t。求s2－t2＝＿＿。(2005.全国初中数学竞赛题）解：由上题可知最小值为当P运动到于C重合时最大，最大值为变式3：如图，在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到＿＿＿＿。解：由正方形的对称性质，可知点E关于BD的对称点E'在AB上，连CE'交BD于P，则PE＋PC最小此时PE'＝BE＝2PE'＝PE，PE＋PC=PE'＋PC=CE‘EABCDPE’变式4：如图，已知⊙O的半径为r，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则CP＋PD的最小值为＿＿＿＿。解：如图，设D'是D关于直径AB的对称点，连CD‘交AB于P则P点使CP＋PD最小。∵AC＝96°，BD＝36°，∴CD=180°－96°－36°＝48°∴CD‘=48°＋36°×2＝120°，∴∠COD'＝120°。从而易求CP＋PD＝CD'＝变式5：如图，平面直角坐标系中，分别以点A(2，3),点B(3,4)为圆心，1，3为半径作圆A,圆B,M,N分别是圆A,圆B上动点，P为X轴上的动点，则PM+PN的最小值解析：作圆A关于X轴的对称圆A’,连接BA’分别交圆A’和圆B于M,N,交X轴于P,此时PM+PN最小A’B=即PA+PB的最小值为变式6：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,5）请在x轴上找点P,则AP＋BP最小值是_____解：作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交直线l于点p，两线段的和AP＋BP＝A'P＋BP＝A'B=变式7：求代数式

的最小值。41813422+-++-xxxx解答要点：如图，参考上题可知＝＝数形结合思想变式8：求代数式的最大值。解：连接BA并延长交x轴于点CAB即为差的最大值变式9：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,-5）请在x轴找一点P,则最大值是_____解：作B的对称点B’,连接B’A并延长交x轴于PAB’为的最大值变式10：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,-5）请在x轴找一点P,则最小值时，P的坐标______解：连接AB，作AB的中垂线交X轴于点P∴P(7,0)(7,0)方法一:设P(x,0)∵AP=BP∴AP2=BP2∴（x-2)2+9=(x-4)2+25∴x=7变式11：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,-5）请在x轴找一点P,则最小值时，P的坐标______解：连接AB，作AB的中垂线，交X轴于点P∵LAB:y=-4x+11∴P(7,0)(7,0)∴直线AB的中垂线的解析式:方法二:例3：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交线段AB于点P，交射线CB于点F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。（2005年上海中考压轴题）ABCDEFPOABCDEO(F)(P)变式1、将原题中“交线段AB于P”改为“交直线AB于P”，则此题又将作何解答？在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交直线AB于点P，交射线CB于点F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。ABCDEOPF在△ABC中，等边三角形ABC，AB=6，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交直线AB于点P，交射线CB于点F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。变式2、将原题中“∠ABC=90°，AB=4，BC=3”改为“等边三角形ABC，AB=6”则此题又将作何解答？ABCPFDEO解：（1）结论△ADE∽△AEP仍成立。（2）在Rt△AOD中，∠A=60°，则AD=，OE=OD=所以AE=+x所以y=因为0＜AE≤AC所以0＜x≤24－12由△ADE∽△AEP，得，,即0＜≤6，ABCDEFPO变式3、将原题中“∠ABC=90°，AB=4，BC=3”改为“等腰直角三角形ABC，AB=4”则此题又将作何解答？变式4、将原题中“O点为斜边AC上的一个动点”改为“O为直角边AB上的一个动点”。在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O为直角边AB上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与斜边AC相切于点D，交线段OB于点E，作EP⊥ED，交直线AC于点P，交射线CB于点F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。ABCEDOFP变式5：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AB上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与斜边AC相切于点D，交线段OB于点E，作EP⊥ED，交直线AC于点P，交直线CB于点F①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式。③当CF=1时，求线段AP的长。ABCEDFPO（2013宁波考试说明）如图，四根长度均为2的小棒AB,BC,CD,DE,四根长度均为的小棒EF,FG,GH,HA，首尾顺次相连恰好放在一个圆周上，连接OD,OF.(1)求∠DOF的度数;(2)求⊙O的半径;(3)求阴影部分的面积.解(1)(2)过F作FP⊥DE于P,连结DF,

在Rt△EFP中,∠FEP=45°,EF=∴EP=FP=2,∴在Rt△DFP中,∵△DOF是等腰直角三角形∴OD=(3)（2013宁波17）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为▲．BDACOE（2013宁波中考说明）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=8，那么△BCE的周长等于▲_C_E_B_A_D（2013宁波中考说明）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=8，那么△BCE的周长等于▲解：设则在Rt△ADE中，即_C_E_B_A_DEBACD（2013宁波中考备用卷18）如图，在四边形ABCD中，E是BC上的一点，∠AED=∠B=∠C=60°AB+AE=BC=8，BE=2，则△CDE的周长为。宁海星海中学王伟

变式中的极端化思想是指把问题的某一条件引向极端来加以考察。数学中很多问题，若运用极端化思想去处理，不仅能迅速猜测出答案，还能启发解题策略，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题获得迅速解决。例1、如图已知：C、D是线段AB上两点，且AB=20cm，CD=6cm，M是AD的中点，N是BC的中点，则线段MN=特殊情况：当点C与点A重合时7解法：设AC=x，则AD=AC+CD=6+x，BC=20-x∵M是AD的中点∴MD=AM=3+x∵N是BC的中点∴CN=BC=10-x∴MN=CN+AC-AM=10-x+x-(3+x)=7特殊位置例2、在等边三角形ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点D为MN上任意一点，BD,CD的延长线分别交于ACAB于点E,F,若

则△ABC的边长为多少？特殊情况：当D是MN的中点时解：∵M.N是AB,AC中点，D是MN中点例2、在等边三角形ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点D为MN上任意一点，BD,CD的延长线分别交于ACAB于点E,F,若

则△ABC的边长为多少？特殊情况2：当D与M重合时解：∵M.N是AB,AC中点，D是MN中点例3、在等边三角形ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点D为MN上任意一点，BD,CD的延长线分别交于ACAB于点E,F,若

则△ABC的边长为多少？解：过点D分别作DG//AB,DH//AC则△DGH为等边三角形例4、如图，直线

交x轴于点C，交y轴于点D，点P是反比例函数第一象限图象上的一点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点E，过点P作x轴的平行线交直线CD于点F，则=

.特殊情况:取点P（1，1）时由直线

可得点C（

，0）点D（0，

），点E（1，

），点F（

，0）∴∴2例4、如图，直线

交x轴于点C，交y轴于点D，点P是反比例函数第一象限图象上的一点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点E，过点P作x轴的平行线交直线CD于点F，则=

.∴解法：设点P（

），由直线

可得点C（

，0），点D（0，），点E（）点F（）∴2例5、如图，M为双曲线上一点，过点M作x轴、y轴垂线，分别交直线y=-x+m于D、C两点，若直线y=-x+m与y轴交于A，与x轴交于B，则AD·BC的值为例6、如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，则MC-ND=

特殊情况1：当点A与点C重合时4例6、如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，则MC-ND=

4特殊情况2：当点C与点D重合时例6、如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，则MC-ND=

解法：连结OA，过O点作OH⊥AB于H4解法：∵CD与AB重合∴B、D、H重合∴DH=0,HF=3∴DH+HF=3特殊情况1：当点CD与点AB重合时例9、（2015年)H为△ABC的垂心，且AB=CD=6,F为AB中点，求DH+HF的值特殊情况2：当点D与点F重合时例9、（2015年）H为△ABC的垂心，且AB=CD=6,F为AB中点，求DH+HF的值例9、（2015年宁海）H为△ABC的垂心，且AB=CD=6,F为AB中点，求DH+HF的值∽

浙江宁海桃源中学