理论力学非惯性参考系

理论力学非惯性参考系第一页，共十八页，编辑于2023年，星期一动坐标系：A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐标：dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt讨论(1)仅有转动(角速度ω相对固定坐标系）∵dr/dt=ω×

r

∴di

/dt

=ω×

i

,

dj

/dt

=ω×

j

,

dk

/dt

=ω×

k

.记δA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k则有:

dA/dt=δA

/δt+ω×A

转动参考系算符变换：d/dt=δ/δt+ω×

第二页，共十八页，编辑于2023年，星期一例:质点的位置矢量r

，求v

，a

。解：v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牵

a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)

=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+

ω×(ω×r

)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)

+

2ω×(δr/δt)=a相+a牵+a科

a相=δ2r/δt2a牵=(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)a科=2ω×(δr/δt)第三页，共十八页，编辑于2023年，星期一dA/dt=δA/δt+ω×A

运算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

=ω2

(OB-OP)=-ω2

R对于角速度ω，角加速度为β

β

=dω/dt=δω/δt+ω×ω

=δω/δt说明角加速度与坐标系无关。RrωBPO第四页，共十八页，编辑于2023年，星期一例：一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速ω绕O转动。P点以匀相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时，P点走过AB，如AB=b，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。PAByzxOω第五页，共十八页，编辑于2023年，星期一第六页，共十八页，编辑于2023年，星期一(2)平动+转动固定坐标系中位矢rI

与动坐标系r

之间关系:

rI

=

R

+

rd2rI/dt2=d2R/dt2+

d2r/dt2=d2R/dt2+

δ2r/δt2+(δω/δt)×r

+ω×(ω×r

)+2ω×(δr/δt)或a=a平

+a相+β×r-ω2

R+2ω×v相若等角加速度转动β=0，无平动加速度a平

=0，则：a=a’-ω2

R+2ω×v’第七页，共十八页，编辑于2023年，星期一§5.2非惯性系中的动力学方程惯性力惯性系中：md2rI

/dt2=F非惯性系：m2r/t2=F

-m[d2R/dt2+βr+ω(ωr)+2ωv’]=Feff

1、平移力

-md2R/dt2←动系平动加速2、方位力

-mβ

r←动系转动加速3、惯性离心力

-m[ω

(ω

r

)←动系相对固定系转动4、科里奥利力

-2mω

v’

←质点相对动系运动第八页，共十八页，编辑于2023年，星期一例：在光滑水平直管中有一质量为m的小球。此管以匀角速ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为a,球相对管的速率为零，而的总长为2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求：(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；

(2)球从开始运动到离开管口时所需时间。第九页，共十八页，编辑于2023年，星期一(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；第十页，共十八页，编辑于2023年，星期一

(2)球从开始运动到离开管口时所需时间第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期一可证明，引入非惯性力

，质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。例：角动量定理：

L’/t=(r’

mv’)

/t=(r’)/tmv’+r’

mv’/t=r’

(F+F惯性)动能定理:∵mv’/t=

F+F惯性→

mv’

·

r/t=(F+F惯性)·

r→mv’

·v’=(F+F惯性)·

r→(mv’2/2)=(F+F惯性)·

r即:

T=(F+F惯性)·

r第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期一拉格朗日方程导出惯性力第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期一第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期一§5.3拉格朗日函数的不确定性

非惯性系中的拉格朗日函数1、若两个拉格朗日函数L1和L2只相差一函数f(q,t)的全微商df/dt，则L1和L2是等价的。证明：设L2=L1+df(q,t)/dt，只要证明由L1和L2所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期一2、非惯性系中的拉格朗日函数设有三个参考系：S为惯性系，S1为相对S以vo(t)作平动，S’与S1有共同原点，但相对