电路罗先觉学习指导与习题分析课件第8章

第8章

相量法复数相量法的基础电路定律的相量形式8.18.2

正弦量8.38.4首页本章重点重点：正弦量的表示、相位差正弦量的相量表示电路定理的相量形式返回1.复数的表示形式(j

=-1

为虚数单位)FbReImao|F|qF

=|

F

|

ejq

=|

F

|

(cosq

+

j

sinq)

=

a

+

jbF

=

a

+

jbF

=|

F

|

ejq

=|

F

|

—

qF

=|

F

|

ejq代数式指数式极坐标式三角函数式8.1

复数返回上页下页几种表示法的关系：a

bθ

=

arctan

|

F

|=

a2

+

b2或

b

=|

F

|

sinq

a

=|

F

|

cosq2.复数运算①加减运算——采用代数式FbReImao|F|qF

=

a

+

jbF

=|

F

|

ejq

=|

F

|

—

q返回上页下页则

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，

F2=a2+jb2图解法F1ReImF2oF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返回上页下页②乘除运算——采用极坐标式212222

22|F

|θ

-

θ=

|F1|F

|

F

|—

θ

|

F

|

ejθ

2

|

F

|F

|

F

|—

θ

|

F

|

ejθ1

|

F

| 1

=

1 1

=

1

=

1

ej(

θ1-θ2

)若

F1=|F1|

q

1

，F2=|F2|

q

2则:21

21j(q

+q

)=

F1

F2

—

q1

+q2=

F1

F2

ejq

F

ejq2F1

F2

=

F1

e模相乘角相加模相除角相减返回上页下页例15—

47

+10—

-

25

=?原式=(3.41

+j3.657)+(9.063

-j4.226)=12.47

-

j0.569

=12.48—

-

2.61解例220

+

j5220

—

35

+

(17

+

j9)

(4

+

j6)

=

?解20.62—14.0419.24—

27.9

·

7.211—

56.3原式=180.2

+j126.2

+=180.2

+

j126.2

+

6.728—

70.16=180.2

+

j126.2

+

2.238

+

j6.329=182.5

+

j132.5

=

225.5—

36返回上页下页③旋转因子复数

ejq

=cosq

+jsinq

=1∠qF•

ejqFReIm0F•

ejqq旋转因子返回上页下页π2

2πjπ+

jsin

=

+j2=

cose

2q

=

π

,π2

2π2π2j-π,

e

=

cos(-q

=

-ej–π

=

cos(–π)

+

jsin(–π)

=

-1q

=

–π

,特殊旋转因子Im0F+

jFRe-

jF-

F)

+

jsin(-

)

=

-j注意

+j,

–j,

-1

都可以看成旋转因子。返回上页下页1.正弦量瞬时值表达式t8.2

正弦量i0T周期T

和频率f周期T：重复变化一次所需的时间。单位：秒s频率f

：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)HzTf

=

1i(t)=Imcos(w

t+y)正弦量为周期函数f(t)=f

(

t+kT

)波形返回上页下页正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。研究正弦电路的意义积分运算后仍是同频率的正弦函数；②正弦信号容易产生、传送和使用。1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。优

①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、点返回上页下页2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。nf

(t)

=

Ak

cos(kwt

+qk

)k

=1结论对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。返回上页下页2.正弦量的三要素w

=

2π

f

=

2π

T单位：rad/s

，弧度/秒幅值(振幅、最大值)Im反映正弦量变化幅度的大小。角频率ω相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。(3)初相位y反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(w

t+y)返回上页下页一般规定：|y

|£p

。y

=0y

=p/2y

=－p/2iwto

y注意同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。返回上页下页例已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，1.写出i(t)表达式；2.求最大值发生的时间t1tio10050t1解i(t)

=100

cos(103

t

+y

)t

=

0

fi

50

=100

cosyy

=

–

π

3由于最大值发生在计时起点右侧3y

=

-

π3i(t)

=100

cos(103

t

-

π)13当

10

t

=

π

3

有最大值π

31031t

＝

＝1.047ms返回上页下页3.同频率正弦量的相位差设

u(t)=Umcos(w

t+y

u),

i(t)=Imcos(w

t+y

i)相位差：j

=(w

t+y

u)-(w

t+y

i)=y

u-y

i规定：|j

|

£p

(180°)等于初相位之差返回上页下页w

tj

>0，u超前i

j

角，或i

滞后u

j

角,(u

比i

先到达最大值)；j

<0，i超前uj

角，或u滞后ij

角,i比u先到达最大值）。u,

iuiyu

yijo返回上页下页j

＝

0，同相j

=–p

(–180o

)，反相特殊相位关系uiw

tow

tuioj=p/2：u

领先i

p/2w

tuio同样可比较两个电压或两个电流的相位差。返回上页下页例计算下列两正弦量的相位差。(2)

i

(t)

=10

cos(100π

t

+

300

)1i

(t)

=10sin(100π

t

-150

)21i2

(t)

=10

cos(100π

t

-

π

2)(1)

i

(t)

=10

cos(100π

t

+

3π

4)0213cos(100π

t+

30

)i

(t)

=

-(3)

u

(t)

=10

cos(100π

t

+

300

)1u

(t)

=10

cos(200π

t

+

450

)2(4)

i

(t)

=

5cos(100π

t

-

300

)解i

(t)

=10

cos(100πt

-1050

)2j

=300

-(-1050

)=1350

不w1

„

w

2能比较相位差j

=

-300

-(-1500

)

=120002i

(t)

=

3cos(100πt

-150

)两个正弦量进行相位比j

=3π

4

-(-π 2)=5π 4

>0

较时应满足j

=5π

4

-2π

=-3π

4

同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。结论返回上页下页4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义R直流IR交流iTRi

(t)dt20W

=W

=

RI

2T物理意义返回上页下页def

1

T

2I

=

T

0

i

(t

)d

tT02defI

=i

(t

)d

t

1T均方根值def

1

T

2U

=

T

0

u

(t)dtT02定义电压有效值：defU

=u

(t)dt1T正弦电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(w

t+Y

)返回上页下页ITcos

(1022mI

=w

t

+Ψ

)

dtTTT11dt2cos

(0002=

T2=

t21

+

cos2(w

t

+Ψ

)Tw

t

+Ψ

)

dt

=mmT

2

2=

0.707

I1

I

2

T

=

Im\

I

=2I

cos(w

t

+Ψ

)i(t)

=

Im

cos(w

t

+Ψ

)

=Im

=

2I返回上页下页同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：2m

mU

=

2UU

=1

U

或若交流电压有效值为

U=220V

，

U=380V其最大值为

Um»311V

Um»537V注意①

工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。返回上页下页②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。i

,

Im

,

I

,

u

,

Um

,

U返回上页下页8.3相量法的基础1.问题的提出电路方程是微分方程：dt

dtd2u

duC=

u(t)LC C

+

RC

C

+

u两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：i1

=

2

I1

cos(w

t

+y

1

)i2

=

2

I2

cos(w

t

+y

2

)RLC+-uCiLu+-返回上页下页正弦量复数i1

i2

i1+i2

fi

i3角频率

w

w

w有效值

I1

I2

I3初相位

Y

1

Y

2

Y

3变换的思想w

tu,

ii1i2oi3结论同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用返回上页下页F

(t)

=2Ie

j(w

t

+Ψ

)对F(t)取实部Re[F

(t)]=2Icos(w

t

+Ψ

)

=

i(t)F

(t)

=j(w

t+Ψ

)2Iei

=

2Icos(w

t

+Ψ

)

«造一个复函数=

2Icos(wt

+Ψ

)

+

j

2Isin(wt

+Ψ

)无物理意义是一个正弦量有物理意义3.正弦量的相量表示结论任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。返回上页下页F(t)包含了三要素：I、Y

、w，复常数包含了两个要素：I,Y

。2Ie

jwtjy2Ie

e

jwt

=F(t)还可以写成F

(t)

=复常数正弦量对应的相量I

=

I—

Ψi(t)

=•2I

cos(w

t

+Ψ

)相量的模表示正弦量的有效值

相量的幅角表示正弦量的初相位注意返回上页下页U

=U—

θu(t)

=•2U

cos(w

t

+

θ

)同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1i

=141.4cos(314t

+

30o

)Au

=

311.1cos(314t

-

60o

)V试用相量表示i,u

.解o••U

=

220—

-

60o

VI

=100—

30

A,例2解i

=

50

2cos(314t

+15

)

A•已知

I

=

50—15

A,

f

=

50Hz

.试写出电流的瞬时值表达式。返回上页下页i(t)

=u(t)

=在复平面上用向量表示相量的图2Icos(ω

t

+Ψ

)

fi

I

=

I—

Ψ2Ucos(w

t

+

θ)

fi

U

=U—

θ相量图Yq•U•I+1+j返回上页下页4.相量法的应用①同频率正弦量的加减222

211ejw

t

)ejw

t

)••2

U

cos(w

t

+Ψ

)

=

Re(

2Uu

(t)

=2

U1

cos(w

t

+Ψ

1)

=

Re(

2Uu

(t)

=2

U

1

e2

U

2

e

)jwtjwtjwt

jwtjwt••••u(t)

=

u1

(t)

+

u2

(t)

=

Re()

+

Re(=

Re(

2

U

1

e

+

2

U

2

e

)

=

Re(•

•2(U

1

+U

2

)e

)U相量关系为：

U

=U

+U1

2结论同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。返回上页下页i1

–

i2=

i31

2

3I

–

I

=

I例1u2

(t)

=

4u

(t)

=

62cos(314t

+

30

)

V2cos(314t

+

60o

)

Vo1=

6—

30

VUU

=

4—

60o

V2U

=U

+U

=

6—

30

+

4—

601

2=

5.19

+

j3

+

2

+

j3.46

=

7.19

+

j6.46=

9.64—

41.9o

V\

u(t)

=

u

(t)

+

u

(t)

=

9.64

2cos(314t

+

41.9o

)

V1

2返回上页下页借助相量图计算+j301U260U41.9+1U首尾相接U

=

4—

60o

V2U

=

6—

30o

V1+j41.9+1UU260301U返回上页下页②正弦量的微分、积分运算i

=

2

I

cos(w

t

+y

i

)

«

I

=

I—

y

idi

=

d

Re[

2

Iejw

t

]=

Re[

2I

jw

ejw

tdt

dtI

ejw

t

idt=

Re[

2Iejw

t

]dt

=

Re

2jw微分运算积分运算2idtdi

fi

jw

I

=

w

I

y

+

π2ijw

widt

fi

I

=

I

y

-

π返回上页下页例i2

I

cos(w

t

+y

)i(t)

=dt

Cu(t)

=

Ri

+

L

di

+

1

idtjw

CI②把微积分方程的运算变为复数方程运算；③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。Li(t)+

Ru(t)-C用相量运算：

U

=

RI

+

jw

LI

+相量法的优点①把时域问题变为复数问题；返回上页下页②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。①正弦量时域正弦波形图相量频域相量图注意不适用线性线性w1w2非线性w返回上页下页8.4

电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：ii=

RI—

ΨRU相量形式：I

=I—Ψ相量模型i(t)

=uR

(t)

=

Ri(t)

=i(t)R+uR(t)-相位关系R+-U

R••I2I

cos(wt

+Ψi

)2RI

cos(wt

+Ψi

)URY

u相量关系：U=

R

IRUR=RI

有效值关系Y

u=Y

i返回上页下页瞬时功率R

R波形图及相量图iw

touRpRURIY

u=Y

iRU

I2Ri2U

2I

cos

(ω t

+Ψ

)p

=

u

i

==UR

I[1

+

cos

2(ω t

+Ψi

)]瞬时功率以2w

交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率同相位返回上页下页相量形式：i(t)

=2I

cos(w

t

+

ψi

)2iiπLdtu

(t)

=

L

di(t)

=

-=

2w

L

I

cos(w

t

+Ψ

+

)2wL

I

sin(w

t

+Ψ

)相量模型LL相量关系：

U=

jwL

I

=

jX

I2.电感元件VCR的相量形式i

L

i=

w

LI

Ψ

+

π

2UI

=

I—

Ψ有效值关系：U=w

L

I相位关系：

Y

u=Y

i

+90°i(t)

时域形式：uL(t)L+-jw

L+-U

L•I返回上页下页感抗的性质wXL相量表达式XL=wL=2pfL，称为感抗，单位为W

(欧姆)BL=-1/w

L

=-1/2pfL，称为感纳，单位为S感抗和感纳LU

=

jX

I

=

jwLI

,①表示限制电流的能力；②感抗和频率成正比。w

=

0(直流),

XL

=

0,

短路;w

fi

¥,

XL

fi

¥

,

开路;LwL

jwL1

UI

=

jB

U

=

j

-1U

=返回上页下页功率pL

=

uLi

=ULm

Im

cos(wt

+Ψi

)sin(w

t

+Ψi

)=UL

I

sin

2(w

t

+Ψi

)w

tiouLpL2p瞬时功率以2w

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。LU波形图及相量图电压超前电流900IY

i返回上页下页相量形式：2U

cos(wt

+Ψu

)πdtdu(t)iC

(t)

=

C=

2wCU

cos(w

t

+Ψu

+

2

)=

-

2wCU

sin(w

t

+Ψu

)相量模型iC(t)C+u(t)-UCI+-1jωC

相量关系：C

1I

=

jX

IU

=

-jwC3.电容元件VCR的相量形式时域形式：

u(t)

=uu=

w

CU

Ψ

+

π

2U

=U—

Ψ

IC有效值关系：IC=w

CU相位关系：

Y

i=Y

u+90°返回上页下页XC=-1/w

C，称为容抗，单位为W

(欧姆)B

C

=

w

C，称为容纳，单位为S容抗和频率成反比wfi

0，|X

|fi

¥

直流开路(隔直)Cw

fi

¥

，|XC|fi

0

高频短路w|XC|容抗与容纳相量表达式CI

=

jB

U

=

jwCUC返回上页下页wCU

=

jX

I

=

-j

1

I功率pC

=

uiC

=

2UIC

cos(ω

t

+Ψu

)sin(ω

t

+Ψu

)=UIC

sin

2(ω

t

+Ψu

)iCouw

tpC瞬时功率以2w

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。CIY

u波形图及相量图电流超前电压900U2p返回上页下页i(t)

=

04.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：1 2jw

t+

I +]e

=

0

i(t)

=

Re

2

I

I

=

0u(t)

=

0U

=

0表明流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。返回上页下页WC=

jw

CI5.

UC例1试判断下列表达式的正、误。iu2.

i

=

5cosw

t

=

5—

00mUmLULIL4.

X

=LL6.

U=

jw

LICdtdi7.

u

=U1.

=

w

LIm3.

I

=

jw

CUU

=

UmI

Im1jwCL返回上页下页例2

已知电流表读数：A1A1

＝8A

A2

＝6AA0Z1Z2UA2A0＝?若

1.

Z1

=

R,

Z2

=

jXC2.

Z1

=R,

Z2为何参数A0

＝I0max=?A0

＝I0min=?Z2为何参数Z2为何参数Z1

=

jX

L

,Z1

=

jX

L

,A2

＝?A0

＝A1解0I

=

82

+

62

=10AZ2

=

R，I0

max

=

8

+

6

=14AI0

minI0

=

I1

=

8A,

I2

=16AZ2

=

jX

C

,

=

8

-

6

=

2AZ2

=

jX

C

,1U

,

I2I0I返回上页下页例32

cos(5t),求:i(t)已知u(t

)=120解U

=120—

00jX

L

=

j4

·5

=

j20W1=

-j10Ω5

·

0.02CjX

=

-j相量模型_15Wu4H0.02Fi+Uj20W-j10W1I2I3I+

I_15W返回上页下页

1

1

1

=120

+

-

15

j20

j10=

8

-

j6

+

j12

=

8

+

j6

=10—

36.90

Ai(t

)

=10

2

cos(5t

+

36.90

)ACLR

L

CR

jX

jX+

UI

=

I

+

I

+

I

=

U

+

Uj20W-j10W12I3I+

I_

UI15W返回上页下页例406S+15

),求:

u

(t)解I

=

5—1501C=

-j5Ω106

·

0.2

·10-6jX

=

-j=

5—150

·5

2—

-

450

=

25

2—

-

300

V=

5—150

(5

-

j5)U

=U

+US

R

CRI,UCU5W+uS_0.2mF已知i(