江苏省六校联盟2024学年数学高二上期末联考试题含解析

江苏省六校联盟2024学年数学高二上期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则有（）A. B.C. D.2．已知，，若，则xy的最小值是（）A. B.C. D.3．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（）A.1 B.C. D.24．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（）A. B.C. D.5．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是A. B.C. D.6．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.728．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（）A. B.C. D.9．设函数的图象为C，则下面结论中正确的是（）A.函数的最小正周期是B.图象C关于点对称C.函数在区间上是增函数D.图象C可由函数的图象向右平移个单位得到10．2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：满意程度学生族上班族退休族满意一般不满意记满分为分，一般为分，不满意为分.设命题：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取人，则退休族应抽取人；命题：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.11．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A. B.C. D.12．椭圆的短轴长为（）A.8 B.2C.4 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足：，，则______14．设是数列的前项和，且，则_____________.15．已知函数，则的导函数______.16．已知数列的前n项和为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.18．（12分）已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.（1）求动点E的轨迹方程；（2）设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.19．（12分）已知满足，.（1）求证：是等差数列，求的通项公式；（2）若，的前项和是，求证：.20．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）21．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率22．（10分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】利用作差法计算与比较大小即可求解.【题目详解】因为，，所以，所以，故选：A.2、C【解题分析】对使用基本不等式，这样得到关于的不等式，解出xy的最小值【题目详解】因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立故选：C3、C【解题分析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.【题目详解】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.故选：C.4、C【解题分析】对方程进行化简可得双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，进而可得结果.【题目详解】已知方程可以变形为，即，∴其表示双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，又由，可得，故选：C.5、C【解题分析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.又直线过点，故方程为.代入双曲线方程，得点的坐标为.同理可得，点的坐标为.故的面积为,选C.6、A【解题分析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后可判断.【题目详解】当时，，所以两直线平行；若两直线平行，则且，解得或，所以，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A7、C【解题分析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.【题目详解】解：等差数列中，所以等差数列的前6项之和为：故选：C.8、D【解题分析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【题目详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集为.故选：D.9、B【解题分析】化简函数解析式，求解最小正周期，判断选项A，利用整体法求解函数的对称中心和单调递增区间，判断选项BC，再由图象变换法则判断选项D.【题目详解】，所以函数的最小正周期为，A错；令，得，所以函数图象关于点对称，B正确；由，得，所以函数在上为增函数，在上为减函数，C错；函数的图象向右平移个单位得，D错.故选：B10、A【解题分析】由抽样比再乘以可得退休族应抽取人数可判断命题，求出上班族对数字媒体内容满意程度的平均分，由方差公式计算方差可判断，再由复合命题的真假判断四个选项，即可得正确选项.【题目详解】因为退休族应抽取人，所以命题正确；样本中上班族对数字媒体内容满意程度的平均分为，方差为，命题正确，所以为真，、、为假命题，故选：11、D【解题分析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【题目详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定，故选：D.12、C【解题分析】根据椭圆的标准方程求出，进而得出短轴长.【题目详解】由，可得，所以短轴长为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】令n=n-1代回原式，相减可得，利用累乘法，即可得答案.【题目详解】因为，所以，两式相减可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案为：14、【解题分析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.【题目详解】因为，所以.故答案为：.15、【解题分析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【题目详解】函数定义域为，则，所以.故答案为：16、【解题分析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.【题目详解】，则，故.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）C是以点，为左右焦点的椭圆，（2）【解题分析】（1）根据椭圆的定义即可得到答案.（2）当垂直于轴时，，舍去.当不垂直于轴时，可设，再根据题意结合韦达定理求解即可.【小问1详解】因为，，所以C是以点，为左右焦点的椭圆.于是，，故，因此C的方程为.【小问2详解】当垂直于轴时，，，舍去.当不垂直于轴时，可设，代入可得.因为，设，，则，.因为，所以.同理.因此.由可得，，于是.根据椭圆定义可知，于是.18、（1）（2）证明见解析【解题分析】(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；(2)设，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.【小问1详解】由圆A：可得(，∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，，，可得，，，由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴动点E的轨迹方程为；【小问2详解】由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，当m＝3时，直线MN的方程为：，此时过点P(0，3)不符合题意，∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：此时直线MN过点(－1，－3)，当直线MN的斜率不存在时，，，解得，此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，综上所述：直线MN过定点(－1，－3).19、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解题分析】（1）在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式；（2）求得，利用裂项相消法求得，即可证得原不等式成立.【小问1详解】解：在等式两边同时除以可得且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，因此，.【小问2详解】证明：，所以，.故原不等式得证.20、（1）证明见解析（2）（3）【解题分析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【题目详解】（1）证明：取的中点，连接，，，四边形是平行四边形，，且，，，，又，侧棱底面，，，平面（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设与平面所成角为，则，解得，故所求（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题21、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟（2）【解题分析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为，由题意得，解得所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟【小问2详解】由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，所以从名学生中抽取名的样本空间，共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”则，共