福建省示范名校2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

福建省示范名校2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()A.960 B.720C.640 D.3202．直线的倾斜角为（）A B.C. D.3．已知椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A.4 B.C.4或 D.4或4．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；④如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于；其中错误说法的个数是（）A. B.C. D.5．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.6．等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（）A. B.2C.或2 D.或7．有关椭圆叙述错误的是（）A.长轴长等于4 B.短轴长等于4C.离心率为 D.的取值范围是8．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或239．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.6410．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.4 B.C. D.911．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.2612．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若，则该圆的半径r的取值范围是____________.14．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____15．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.16．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．X1491625Y2a3693142三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间(1)求实数的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；(2)若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率18．（12分）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为A（1）求点A的坐标；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（均与A，不重合），过点与轴垂直的直线分别交直线，于点，，证明：点，关于轴对称19．（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由20．（12分）已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.21．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】由分层抽样各层成比例计算即可【题目详解】设高二年级学生人数为,则,解得故选:D2、C【解题分析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【题目详解】设直线的倾斜角为，则，∵，所以.故选：C3、C【解题分析】根据焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得的值.【题目详解】当焦点在轴上时，，且.当焦点在轴上时，且.故选：C4、C【解题分析】根据统计的概念逐一判断即可.【题目详解】对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；故②正确；对于③，线性回归方程必过样本中心点，回归直线不一定就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，也可能不过任何一个点；③不正确；对于④，如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于，不正确，应为相关系数的绝对值就越接近于；综上，其中错误的个数是；故选：C.5、A【解题分析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.【题目详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设双曲线的方程为，则，可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A.第II卷6、C【解题分析】根据等比数列的通项公式计算可得；详解】解：依题意、，所以，即，所以；故选：C7、A【解题分析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.【题目详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.故选：A.8、D【解题分析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【题目详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【题目点拨】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.9、B【解题分析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【题目详解】由题意，，所以.故选：B.10、C【解题分析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【题目详解】因为各项均为正数的等比数列满足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立故的最小值等于.故选：C【题目点拨】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.11、A【解题分析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出、，将样本中心点带入回归方程，即可求得参数.【题目详解】设缺少的数值为，则，，因为回归直线方程经过样本点的中心，所以，解得.故选：A12、A【解题分析】求出函数的导函数，再求出，然后利用导数的几何意义求解作答.【题目详解】函数，求导得：，则，而，于是得：，即，所以曲线在点处的切线方程为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设出直线的方程为，代入抛物线方程，消去，可得关于的二次方程，运用韦达定理及抛物线的定义，化简计算可求解.【题目详解】抛物线C：y2=8x的焦点为,设以为圆心的圆的半径为，可知，，设，直线的方程为，则，代入抛物线方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案为：14、【解题分析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.【题目详解】正方形的面积为，如下图所示：阴影部分的面积为:，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.【题目点拨】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.15、【解题分析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.【题目详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，则，，当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故答案为：【题目点拨】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.16、17【解题分析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【题目详解】因为，，所以，解得故答案为：17三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0.05，40；（2）【解题分析】（1）因为由频率分布直方图可得共五组的频率和为1所以可得一个关于的等式，即可求出的值.再根据已知有4名学生的成绩在9米到11米之间，可以求出本次参加“掷铅球”项目测试的人数.本小题要根据所给的图表及直方图作答，频率的计算易漏乘以组距.（2）因为若此次测试成绩最好的共有4名同学.成绩最差的共有2名同学.所以从6名同学中抽取2名同学共有15中情况，其中两人在同组情况由8中.所以可以计算出所求的概率.试题解析：（Ⅰ）由题意可知解得所以此次测试总人数为答：此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为40人(Ⅱ)设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生自不同组的事件为A：由已知，测试成绩在有2人，记为；在有4人，记为.从这6人中随机抽取2人有，共15种情况事件A包括共8种情况.所以答：随机抽取的2名学生自不同组的概率为考点：1.频率分布直方图.2.概率问题.3.列举分类的思想.18、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）先求出直线的方程，联立直线与椭圆，求出A点坐标；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，用韦达定理得到两根之和，两根之积，求出两点的纵坐标，证明出，即可证明关于轴对称.【小问1详解】由题意得，，所以直线方程为，与椭圆方程联立得解得或，当时，，所以【小问2详解】设，，的方程为，联立消去得，则，直线的方程为，设，则，直线的方程为，设，则，因为，即，所以点，关于轴对称19、（1）；（2）存在，理由见解析.【解题分析】（1）根据题意用定义法求解轨迹方程；（2）在第一问的基础上，设出直线l的方程，联立椭圆方程，用韦达定理表达出两根之和，两根之积，求出直线l的垂直平分线，从而得到D点坐标，证明出结论.【小问1详解】由题意得：，所以，，而，故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程，由得：，，所以动点P的轨迹E的方程为；【小问2详解】存，理由如下：显然，直线l的斜率存在，设为，联立椭圆方程得：，设，，则，，要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，其中，，则，故AB的中点坐标为，则AB的垂直平分线为：，令得：，且无论为何值，，点D在线段上，满足题意.20、（1）（2）【解题分析】（1）由离心率可得双曲线的渐近线方程；（2）设，则的中点为，由，可得，然后的方程与双曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得答案.【小问1详解】设，则，又，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为.【小问2详解】由已知直线的倾斜角不是直角，，设，则的中点为，，由，可知，所以，即，因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，由消去y，得，所以，，所以，因为，所以，即.21、（1）；（2）.【解题分析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.（2）利用集合间的关系求解即可.【题目详解】实数满足不等式，即命题实数满足不等式，即（1）当时，命题，均为真命题，则且则实数的取值范围为；（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集则且解得故的取值范围为.【题目点拨】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.22、（1）答案见解析