2024学年江西省抚州临川市第二中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2024学年江西省抚州临川市第二中学高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本容量2．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.3．设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.4．在矩形中，，在该矩形内任取一点M，则事件“”发生的概率为（）A. B.C. D.5．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.6．在数列中，，，则（）A. B.C. D.7．已知椭圆与直线交于A，B两点，点为线段的中点，则a的值为（）A. B.3C. D.8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）A.60 B.120C.150 D.24010．已知等比数列满足，，则（）A.21 B.42C.63 D.8411．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（）A. B.C. D.12．若平面的一个法向量为，点，，，，到平面的距离为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设上存在极大值M，证明：.14．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________15．在数列中，若，则该数列的通项公式__________16．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱（1）试确定的值，并证明你的结论；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）19．（12分）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4（1）求圆M的标准方程；（2）设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标20．（12分）记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值.21．（12分）已知数列满足，，数列前项和为.（1）求数列，的通项公式；（2）表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.22．（10分）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4（1）求抛物线C的方程（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由样本的概念即知.【题目详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.2、A【解题分析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【题目详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【题目点拨】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.3、D【解题分析】有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.【题目详解】解：设，则，所以在上递减，在上递增，，且时，，有两个零点等价于与的图象有两个交点，画出的图象，如下图所示，由图可得，时，与的图象有两个交点，此时，函数有两个零点，实数m的取值范围是，故选：D.【题目点拨】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质4、D【解题分析】利用几何概型的概率公式，转化为面积比直接求解.【题目详解】以AB为直径作圆，当点M在圆外时，.所以事件“”发生的概率为.故选：D5、D【解题分析】根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；【题目详解】，，故A错误；，，显然数列不是等比数列，故B错误；，故C错误；，，故D成立；故选：D6、A【解题分析】根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到.【题目详解】由，得，所以，所以.故选：A.7、A【解题分析】先联立直线和椭圆的方程，结合中点公式及点可求a的值.【题目详解】设，联立，得，，因为点为线段的中点，所以，即，解得，因为，所以.故选：A.8、A【解题分析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【题目详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.9、C【解题分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【题目详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C10、D【解题分析】设等比数列公比为q，根据给定条件求出即可计算作答.【题目详解】等比数列公比为q，由得：，即，而，解得，所以.故选：D11、C【解题分析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程【题目详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故选：C.【题目点拨】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键12、B【解题分析】求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果【题目详解】解：，，，，∴为平面的一条斜线，且∴点到平面的距离：故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）在单调递增，单调递减；（2）详见解析.【解题分析】（1）求得，利用和即可求得函数的单调性区间；（2）求得函数的解析式，求，对的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.【题目详解】（1）由题意，函数，则，当时，令，所以函数单调递增；当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，当时，令，即，解得或，令，即，解得，所以函数在单调递增，在单调递减.（2）由函数，则，令，可得令，解得，当时.，函数在单调递增，此时，所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时，令解得，令，解得，所以上单调递减，在上单调递增，因为在上存在极大值，所以，解得，因为，易证明，存在时，，存在使得，当在区间上单调递增，在区间单调递减，所以当时，函数取得极大值，即，，由，所以【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题14、①.②.点或点（填出其中一组即可）【解题分析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直.【题目详解】（1）令，，，则，则有，故（2）令，，，则，则有，故故，即又由（1）之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为：0;点或点15、【解题分析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.【题目详解】解：由在数列中，若，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.16、【解题分析】由直线平行求参数m，再利用平行直线的距离公式求与之间的距离.【题目详解】由题设，，即，所以，，所以直线与之间的距离为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）【解题分析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.【小问1详解】.证明如下：在△中，因为点分别为的中点，所以//.又平面，平面，所以//平面.因为平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因为点为的中点，所以点为的中点，即.【小问2详解】因为底面为正方形，所以.因为底面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则，，，因为分别为的中点，所以.所以，.设平面的法向量，则即令，于.又因为平面的法向量为，所以所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.【题目详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则，y1y2＝-4，所以又点O到直线l的距离，所以，解得，即【题目点拨】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题19、（1）（2），【解题分析】（1）用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；（2）当三点共线时有最小值，求出直线MN的方程，令y=0即可.【小问1详解】由题意可设圆心，因为y轴被圆M截得的弦长为4，所以，又，则，化简得，解得，则圆心，半径，所以圆M的标准方程为【小问2详解】点关于x轴的对称点为，则，当且仅当M，P，三点共线时等号成立，因为，则直线的方程为，即，令，得，则20、（1）（2），【解题分析】（1）由，计算出公差，再写出通项公式即可.（2）直接用公式写出，配方后求出最小值.【小问1详解】设公差为，由得，从而，即又，【小问2详解】由（1）的结论，，，当时，取得最小值.21、（1），（2）证明见解析【解题分析】(1)利用累加法求通项公式，利用通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；(2)求出并判断其范围，求出，利用裂项相消法求的前n项和即可证明.【小问1详解】由题可知，当n≥2时，＝当n＝1时，也符合上式，∴；当时，，当n＝1时，也符合上式，∴；【小问2详解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴设为数列的前n