河北省廊坊市秋强中学2021年高二数学文联考试题含解析

河北省廊坊市秋强中学2021年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，则其圆C和半径r分别为（）A．C（1，﹣2），r=5 B．C（﹣1，﹣2），r=5 C．C（1，2），r=25 D．C（1，﹣2），r=25参考答案：A【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，从而得出结论．【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=25，表示以C（1，﹣2）为圆心、半径等于5的圆，故选：A．2.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=

.

参考答案：略3.下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是（）A．y=cos2x B．y=lg|x| C．y=﹣x D．y=参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．y=cos2x是偶函数，在定义域上是单调递减，不满足条件．B．y=lg|x|是偶函数，不满足条件．C．y=﹣x是奇函数，在定义域上是奇函数，满足条件．D．y=是奇函数，在定义域{x|x≠0}上不单调，不满足条件．故选：C4.的计算结果精确到个位的近似值为（）A.106 B.107 C.108 D.109参考答案：B【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选：B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y+5的最小值为(

)

A．-10

B．-15

C．-20

D．-25参考答案：A6.若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间[k﹣1，k+1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，2） B．（1，2） C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得：1＜k＜，故选：D．7.命题“”的否定是A．

B．C．

D．参考答案：C8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．【解答】解：∵P在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=4|PF2|，∴4|PF2|﹣|PF2|=2a，即|PF2|=a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=a≥c﹣a，∴a≥c，即e≤，此双曲线的离心率e的最大值为，故选：C9.点P极坐标为，则它的直角坐标是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意设点，由点极坐标可得解得即可得到答案。【详解】根据题意设点，因为点极坐标为，所以解得，所以故选B.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。10.以下有关命题的说法错误的是 A．命题“若则x=1”的逆否命题为“若” B．“”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆的圆心坐标是__________；半径为__________．参考答案：；解：，，半径为．12.若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为

。参考答案：13.．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点

.参考答案：略14.在中，，则=

．参考答案：略15.如图，在正方体中，给出下列四个命题：①当点在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②当点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；③当点在直线上运动时，二面角的大小不变；④若点是平面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线其中真命题的编号是

（写出所有真命题的编号）参考答案：①③④16.函数的单谰递减区间是_______.参考答案：17.对于椭圆和双曲线有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;

②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．参考答案：【分析】（1）直接求函数f（x）的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；（2）可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；

或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=∴f′（x）=[﹣1﹣ln（x+1）]=﹣[+ln（x+1）]．由x＞0，x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2）解法一：当x＞0时，f（x）＞恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3．下面证明当k=3时，f（x）＞（x＞0）恒成立．即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，则g′（x）=ln（x+1）﹣1．当x＞e﹣1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e﹣1时，g′（x）＜0．∴当x=e﹣1时，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．因此正整数k的最大值为3．解法二：当x＞0时，f（x）＞恒成立．即h（x）=＞k对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．由h′（x）=，记Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．=＞0，∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增．又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：h（x）（x＞0）的最小值为h（a）==a+1∈（3，4）．因此正整数k的最大值为3．【点评】本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用，以及函数的导数法研究函数的单调性，同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”．19.已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）求f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）求f（x）的闭区间[2，5]上的最值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）根据f（2）=，求出n的值，求出函数的解析式即可；（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；（3）根据函数的单调性求出函数的最值即可．【解答】解：（1）由f（2）=，得：2﹣=，解得：n=1，故f（x）=x﹣；（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）（1+）∵x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞）∴x1﹣x2＜0，1+＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）由（2）f（x）在[2，5]递增，故f（x）min=f（2）=2﹣=，f（x）max=f（5）=5﹣=．20.如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．参考答案：见解析（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．21.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？参考答案：【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由?（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，．22.(本小题满分14分)