湖南明德中学2024届高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

湖南明德中学2024届高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列，，，，…，的通项公式可能是（）A. B.C. D.2．已知直线平分圆C：，则最小值为（）A.3 B.C. D.3．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（）A. B.C. D.4．已知直线在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为（）A.2 B.3C.4 D.55．设函数在上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对6．已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为A. B.C. D.7．已知点是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（）A.与双曲线的实轴长相等B.的面积为C.双曲线的离心率为D.直线是双曲线的一条渐近线8．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率（）A. B.C. D.9．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是A. B.C. D.10．设数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.11．等差数列中，，则（）A. B.C. D.12．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B.C.1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.14．直线与圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为________15．在棱长为2的正方体中，点P是直线上的一个动点，点Q在平面上，则的最小值为________.16．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段BC上动点，则（1）的最小值为______；（2）点F到直线DE距离的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为21求椭圆的方程；2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值18．（12分）已知椭圆C：的焦距为，点在C上（1）求C的方程；（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线：上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程.19．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20．（12分）已知函数（1）讨论的单调区间；（2）求在上的最大值.21．（12分）已知函数在处的切线与轴平行（1）求的值；（2）判断在上零点的个数，并说明理由22．（10分）设数列满足（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，是否存在实数，使得对任意恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】利用数列前几项排除A、B、C，即可得解；【题目详解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，故选：D2、D【解题分析】根据直线过圆心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【题目详解】根据题意，直线过点，即，则，当且仅当，即时取得最小值.故选：D.3、B【解题分析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.【题目详解】由题设，，因为回归直线方程过样本点中心，A：，排除；B：，满足；C：，排除；D：，排除.故选：B4、C【解题分析】求出直线方程在两坐标轴上的截距，列出方程，求出实数m的值.【题目详解】当时，，故不合题意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故选：C5、C【解题分析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.【题目详解】.故选：C6、D【解题分析】求得，根据的面积列方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【题目详解】依题意，双曲线的一条渐近线为，则，所以，所以，所以.所以双曲线渐近线方程为.故选：D【题目点拨】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算，属于中档题.7、B【解题分析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确【题目详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，则，，所以A不正确；因为在以为直径的圆上，所以，所以，所以B正确；在△中，由勾股定理可得，即，所以离心率，所以C不正确；由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，即，所以D不正确；故选：B8、A【解题分析】先根据前三项的系数成等差数列求，再根据古典概型概率公式求结果【题目详解】因为前三项的系数为，，，当时，为有理项，从而概率为.故选：A.9、C【解题分析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质10、C【解题分析】利用，把代入中，即可求出答案.【题目详解】当时，.当时，.故选：C.11、C【解题分析】由等差数列的前项和公式和性质进行求解.【题目详解】由题意，得.故选：C.12、B【解题分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【题目详解】因为抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式可得.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】取BC中点G，证明平面平面确定点P的轨迹，再计算作答.【题目详解】在正方体中，取BC中点G，连接，如图，因E、F分别是棱、的中点，则，而平面，平面，则有平面，因，则，而，则有四边形为平行四边形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即线段AG是点P在底面ABCD内的轨迹，，所以点P的轨迹长度为.故答案为：14、【解题分析】由于直线过定点，所以当时，弦AB的长度最短，然后先求出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出三角形ABC的面积【题目详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为，所以当时，弦AB的长度最短，因为，所以，所以三角形ABC的面积为，故答案为：15、【解题分析】数形结合分析出的最小值为点到平面的距离，然后利用等体积法求出距离即可.【题目详解】因为，且平面，平面，所以平面，所以的最小值为点到平面的距离，设到平面的距离为，则，所以，即，解得，故答案为：.16、①.；②..【解题分析】建立空间直角坐标系.空一：利用空间两点间距离公式，结合平面两点间距离公式进行求解即可；空二：根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【题目详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有.空一：，代数式表示横轴上一点到点和点的距离之和，如下图所示：设关于横轴的对称点为，当线段与横轴的交点为点时，有最小值，最小值为；空二：设，为垂足，则有，，，因为，所以，因此，化简得：，当时，即时，此时，有最小值，即最小值为，故答案为：；【题目点拨】关键点睛：利用空间向量垂直的性质进行求解是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）椭圆的标准方程为（2）面积的最大值为【解题分析】（1）由题意得，再由，标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取；②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，又直线的距离点到直线的距离为面积的最大值为.试题解析：（1）由题意得，解得，∵，∴，，故椭圆的标准方程为（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，设点到直线的距离因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴综上，面积的最大值为.【题目点拨】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得，再求得点到直线的距离为面积的最大值为.18、（1）（2）【解题分析】（1）根据椭圆的焦距为，点在C上，由求解；（2）设，，，的斜率不存在时，则的方程为，与椭圆的方程联立求得M，N的坐标，由，，成等差数列求解；的斜率存在时，设的方程为，与椭圆的方程联立，然后由，，成等差数列，结合韦达定理求解；【小问1详解】解：由题意得，解得，，所以C的方程为.【小问2详解】设，，，当的斜率不存在时，则的方程为，将代入，得.因为，，成等差数列，所以，即，显然当时，方程恒成立.当的斜率存在时，设的方程为，联立得，则，.，.因为，，成等差数列，所以，即恒成立.则，解得.综上所述，的方程为.19、（1）（2）【解题分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【小问1详解】设的公差为，由已知得，解得，所以.【小问2详解】所以.20、（1）①，在上单减；②，在上单增，单减；（2）.【解题分析】（1），根据函数定义域，分，，讨论求解；（2）根据（1）知：分，，，讨论求解.【小问1详解】解：(1)定义域，①时，成立，所以在上递减；②时，当时，，当时，，所以在上单增，单减；【小问2详解】由（1）知：时，在单减，所以；时，在单减，所以；时，在上单增，上递减，所以；时，在单增，所以；综上：.21、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一个零点，理由见解析【解题分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）由，可得，令，，，，利用导数法求解.【小问1详解】解：，所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；【小问2详解】由，可得，令，，所以，①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，又因为g（0）=0，所以g（x）在上无零点；②当时，令，所以h′（x）=2cosx