上海市民办瑞虹中学2021年高三数学文联考试题含解析

上海市民办瑞虹中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66参考答案：B【考点】循环结构．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1?n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2?12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3?22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4?32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10?92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2y-3x的最大值为()(A)-3 (B)2 (C)4 (D)5参考答案：C略3.已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．5参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A．【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．4.执行如图所示的程序框图，输出的k值为A.7 B.9C.11 D.13参考答案：C5.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（

）A. B.

C.

D.参考答案：A6.在△ABC中，a=9，b=3；A=120°，则sin（π﹣B）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用已知及正弦定理即可求得sinB，结合诱导公式即可得解．【解答】解：由正弦定理：，可得sinB===，解得：sin（π﹣B）=sinB=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式的综合应用，属于基础题．7.函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.设函数y=2sin（x+）cos（x+）的图象各点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象的对称中心可以是（）A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】由倍角公式可求函数解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求y=cos4x，由4x=kπ+，k∈Z，即可解得函数的对称中心．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x+）=sin[2（x+）]=sin（2x+），∴图象各点的横坐标缩短为原来的，可得函数y=sin（4x+），再向左平移个单位，得到函数y=sin[4（x+）+]=cos4x，∴由4x=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的图象的对称中心为：（，0）．故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，是基础题．9.曲线上到直线距离等于1的点的个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C10.函数的值域是

()A．(－∞，－1]

B．[3，＋∞)C．[－1,3]

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．参考答案：

【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．【解答】解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：12.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数t，的最小值是

。参考答案：13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．参考答案：12【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

参考答案：1215.已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为

．参考答案：16.设

的最大值为16，则

。参考答案：17.已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，?=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，当Sn最大时，n=

．参考答案：8或9考点：数列的求和；平面向量的基本定理及其意义．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出?的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．解答： 解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则?=?=2+（n﹣1）?=4（n﹣1）=，由?=≥0，解得n≤9，即当n=9时，?=0，则当n=8或9时，Sn最大，故答案为：8或9．点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在中，内角分别对应的边是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．参考答案：解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．

2分联立方程组解得，．

6分所以的面积．13分19.已知在数列{an}中，（t>0且t≠1）．是函数的一个极值点．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，当t=2时，数列的前n项和为Sn，求使Sn>2012的n的最小值；

（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）．由题意，即．…………1分∴∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列…………2分以上各式两边分别相加得，∴，当时，上式也成立，∴…………5分

（2）当t=2时，…7分

由，得，，

…………8分当，因此n的最小值为1005．

…………10分则

20.（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）时，证明：；（Ⅱ），若，求a的取值范围.参考答案：（1）证明详见解析；（2）.

进行讨论，证明的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p(x)＝f?(x)＝ex－x－1，p?(x)＝ex－1，（2）当a＞1时，h?(0)＜0，x∈(－1，0)时，h?(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．即x∈(，0)时h?(x)＜0，h(x)单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分（3）当0＜a＜1时，h?(0)＞0，x∈(0，＋∞)时，h?(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．即x∈(0，)时h?(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分综上，a的取值为1． …12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.21.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值（元）的概率分布和期望E().参考答案：解：（1）P=1-=1-=.即该顾客中奖的概率为.

(2)的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

且P（=0）==，P